高数第6讲：二重积分[数二数三]-打印版.pdf

高数第5讲：二重 积分数二/数三 概念 f(x,y)dxdy 和式极限 D为长方形区域 对称性 普通对称性 D关于y轴对称 f(x,y)=-f(-x,y)，则fd=0 D关于x轴对称 f(x,y)=-f(x,-y)，则fd=0 D关于原点对称 f(x,y)=-f(-x,-y)，则fd=0 D关于y=x对称 f(x,y)=-f(y,x)，则fd=0 D关于y=a(0)对称 f(x,y)=-f(x,2a-y)，则fd=0 D关于x=a(0)对称 f(x,y)=-f(2a-x,y)，则fd=0 轮换对称性 在直角坐标系下，x,y对调后，D不变，则f(x,y)d=f(y,x)d 二重积分比大小 用对称性 用保号性 周期性 化为累次积分后，利用一元积分的周期性 计算98 应用 面积 S=d 柱体体积 z=z(x,y)V=|z|d 总质量 m=d 质心 x拔=(xd)/(d)y拔=(yd)/(d)转动惯量 Ix=(y2*)d Iy=(x2*)d Io=(x2+y2)*d 高数第5讲：二重 积分数二/数三 概念24 计算 直角坐标系与换序 后积先定限，限内画条线，先交写下限，后交写上限 类型 先y后x 先x后y 极坐标系与换序 极直互化 x=r*cos y=r*sin dxdy=rdrd 类型 先r后 先后r 关于积分区域D 图形变换 平移变换 左加右减 上加下减 对称变换 关于x轴对称-f(x)关于y轴对称f(-x)关于原点对称-f(-x)关于y=x对称f反(x)|f(x)|下翻上，去掉下 f(|x|)右翻左，去掉左 伸缩变换 水平伸缩f(k*x)k1缩短到1/k倍 0k1伸长到k倍 0k1缩短到k倍 直角坐标系方程给出 已知曲线 x+y=1 x2+y2=1 x+y=1 未知曲线 描特殊点，确定定义域、值域 用图形变换 用导数工具 一阶导数 定单调性 定驻点 二阶导数 定凹凸性 定拐点 极坐标系方程给出 已知曲线 心形线 r=a(1-cos)r=a(1+cos)阿基米德螺线 r=a 伯努利双纽线 r2=(a2)*(sin 2)r2=(a2)*(cos 2)未知曲线 描特殊点，确定定义域、值 域 用图形变换 极直互化 参数方程给出 已知曲线 摆线 x=a(t-sin t)y=a(1-cos t)0=t=2 星形线 x=a*(cos t)3 y=a*(sin t)3 未知曲线 描特殊点，确定定义域、值域 化为直角系/极坐标系方程 动区域（含其他参数）关于被积函数f(x,y)分段函数，含绝对值f(|x|)或|f(x)|最大值函数max，最小值函数min 取整函数f(x)符号函数sgn f(x)抽象函数f,g 复合函数f(u),u(x,y)偏导函数 换元法 一元积分 换被积函数 x=u(t)换积分区间 x(a,b)换为t(,)换微分 dx换为udt 二重积分f(x,y)dxdy 换被积函数 x=x(u,v)y=y(u,v)换积分区域D Dxy换为Duv 换微分 dxdy换为|J|dudv 应用14