第二章 一元函数微分学(无答案版)考研资料.pdf

2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150501第二章第二章一元函数微分学一元函数微分学重点题型一重点题型一导数与微分的概念导数与微分的概念【例【例 2.1】（中国人民大学 2001）设12(1)1()arcsin1xxxxf xex，则(1)f.【详解】【详解】【例【例 2.2】设23 1,0()1ln(1)2,02xexxf xxxxx.若()(0)nf存在，则n的最大值为.【详解】【详解】【例【例 2.3】（江苏省 1996 年竞赛题）设1350121lim1 coscoscos,01()lim 11,0!(),0nnnxnxxxnnnnf xxx dxxnfxx（I）讨论()f x在0 x 处的可导性；（II）求()f x在,上的最大值.2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150502【详解】【详解】【例【例 2.4】（1）（江苏省 1994 年竞赛题）设)(xf在0 x 处可导，且(0)0f，求极限22212limnnfffnnn；（2）设)(xf在0 xx处可导，,nn为趋于零的正项数列，求极限00()()limnnnnnf xf x.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150503【例【例 2.5】（1）设()f x在(0,)内有定义，且(1)1f.若对任意,(0,)x y，有()()()f xyf xf y，求()f x；（2）设()f x连续，且()0f x，(1)2f.若对任意,(,)x h ，有2(1)()()()x hxt tf xhdtf xf t，求()f x.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150504重点题型二重点题型二导数与微分的计算导数与微分的计算【例【例 2.6】设()f x在0 x 处二阶可导，反函数为()xy，且20()1lim1xf xxx，则(1).【详解】【详解】【例【例 2.7】设()yf x由参数方程231210y tuxtttedu 确定，则220td ydx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150505【例【例 2.8】（1）设22021()(1)f xx，则(2021)(2021)(1)(1)ff；（2）（江苏省 1994 年竞赛题）设22()(32)cos16nf xxxx，则()(2)nf；（3）设()f x满足22()()01xfxf xxx，且(1)ln2f.若3n，则()()nfx.【详解】【详解】【例【例 2.9】（1）设21()124f xxx，则(2020)(0)f，(2021)(0)f；（2）设1()arctan1xf xx，求(2020)(0)f，(2021)(0)f；（3）设01sin,0(),0 xtdt xf xxtAx连续，则(8)(0)f，(9)(0)f；（4）（武汉大学 2012）设201cos,0(),0 xt dt xf xxAx连续，则(8)(0)f，(10)(0)f.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150506重点题型三重点题型三导数应用求切线与法线导数应用求切线与法线【例【例 2.10】设连续曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为1yx，求极限22020(1)limlncosxtxtxe fee dtxx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150507重点题型四重点题型四导数应用求渐近线导数应用求渐近线【例【例 2.11】曲线11arctanxxxxeexyxee有【】（A）三条渐近线和一个第一类间断点（B）三条渐近线和两个第一类间断点（C）两条渐近线和两个第一类间断点（D）两条渐近线和一个第一类间断点【详解】【详解】【例【例 2.12】求下列曲线的渐近线：（1）1(1)1xxxyex；（2）121xyex；（3）122(23)(1)arctanxxxeyxx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505082 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 150509重点题型五重点题型五导数应用求极值与最值导数应用求极值与最值【例【例 2.13】设(),()f x g x在0 xx处可导，且00()()0f xg x，00()()0fx g x，则【】（A）0 x不是()()f x g x的驻点（B）0 x是()()f x g x的驻点，但不是极值点（C）0 x是()()f x g x的驻点也是极小值点（D）0 x是()()f x g x的驻点也是极大值点【详解】【详解】【例【例 2.14】（江苏省 2010 年竞赛题）当0 x 时，2axxe恒成立，则a的最小值为.【详解】【详解】【例【例 2.15】2220()(1 5)1xdtF xtt的值域是.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505010【例【例 2.16】设)(xf在2x处连续，且20ln(2)lim41 cosxxf xex，证明2x是)(xf的驻点也是极值点.【详解】【详解】.【例【例 2.17】证明：当0 x 时，2201()sin(22)(23)xntttdtnn，其中n为自然数.【详解一】【详解一】【详解二】【详解二】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505011【例【例 2.18】证明：当0 x 时，11(1)14xxxx，当且仅当1x 时等号成立.【详解】【详解】【例【例 2.19】证明：当02x时，2224112tan3xx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505012【例【例 2.20】（浙江省 2003 年竞赛题）（I）证明：当01x时，11111ln2ln(1)2xx；（II）求使得不等式1111nnenn对所有正整数n都成立的最大的数与最小的数.【详解】【详解】【2017，数三】，数三】设方程11ln(1)kxx在(0,1)内有实根，求k的取值范围.2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505013重点题型六重点题型六导数应用求凹凸性与拐点导数应用求凹凸性与拐点【例【例 2.21】设()f x满足()(1 cos)()()sinfxx fxxf xx，且(0)2f，则【】（A）0 x 是()f x的极小值点（B）0 x 是()f x的极大值点（C）曲线()yf x在点(0,(0)f的左侧邻近是凹的，右侧邻近是凸的（D）曲线()yf x在点(0,(0)f的左侧邻近是凸的，右侧邻近是凹的【详解】【详解】【例【例 2.22】下列命题正确的是【】（A）设点00(,()xf x是()yf x的拐点，则0 xx不是()f x的极值点（B）设()f x在0 xx处二阶可导，0 xx是()f x的极小值点，则0()0fx，0()0fx（C）设()f x在(,)a b内只有一个驻点0 x，且0 xx是()f x的极小值点，则0()f x是()f x的最小值（D）设()0fb，则()f b不是()f x在,a b上的最大值【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505014【例【例 2.23】（江苏省 1996 年竞赛题）曲线222()(1)(3)f xxxx拐点的个数为.【详解】【详解】重点题型七重点题型七导数应用证明不等式导数应用证明不等式【例【例 2.24】（1）（莫斯科 1977 年竞赛题）证明：当0 x 且1x 时，ln11xxx；（2）证明：当0 x 时，0arctanxte dtx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505015【例【例 2.25】（1）证明：当0 x 时，211ln 121(1)xxxx；（2）设()f x在0,内可导，且(0)1f，()()fxf x.证明：当0 x 时，()xf xe；【详解】【详解】【例【例 2.26】设()f x在,a b上二阶可导，且()0fx.证明：（I）对任意12,xxa b，有1212()()22xxf xf xf；（II）1()()()22baabf af bff x dxba.【详解【详解】（I）【方法一】【方法一】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505016【方法二】【方法二】（II）【方法一】【方法一】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505017【方法二】【方法二】【2014，数一、数二、数三数一、数二、数三】设()f x二阶可导，()(0)(1)(1)g xfxfx，则在0,1上（A）当()0fx时，()()f xg x（B）当()0fx时，()()f xg x（C）当()0fx时，()()f xg x（D）当()0fx时，()()f xg x重点题型八重点题型八导数应用求方程的根导数应用求方程的根【例【例 2.27】方程111012150 xxx实根的个数为.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505018【例【例 2.28】求方程230 xtedtxx实根的个数.【详解】【详解】【例【例 2.29】（天津市 2003 年竞赛题）设21111()(1)2tF xext edt，证明()0F x 在(1,1)内只有两个实根.【详解】【详解】【例【例 2.30】设()Df txyt dxdy，其中(,)|01,01Dx yxy，0,1t.（I）求()f t；（II）证明()0f t在(0,1)内只有一个实根.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505019【例例 2.31】（1）讨论方程lnaxx实根的个数；（2）（北京市 2004 年竞赛题）设方程logbaxx有实根，其中1a，0b，求,a b的取值范围.【详解】详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505020【2021，数二、数三】，数二、数三】设()ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是（A）(,)e（B）(0,)e（C）10,e（D）1,e【例【例 2.32】（北京市 1994 年竞赛题）设2()(2,3,)nnfxxxxn.（I）证明方程()1nfx 在0,内只有一个实根nx；（II）求limnnx.【详解】【详解】【2012，数二】，数二】（I）证明方程11nnxxx（n为大于 1 的整数）在1,21内只有一个实根；（II）记（I）中的实根为nx，证明nnxlim存在，并求此极限.2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505021重点题型九重点题型九Rolle 中值定理证明题中值定理证明题【例【例 2.33】设()f x在(,)a b内可导，则下列结论正确的是【】（A）设()f x在(,)a b内只有一个零点，则()fx在(,)a b内没有零点（B）设()fx在(,)a b内至少有一个零点，则()f x在(,)a b内至少有两个零点（C）设()fx在(,)a b内没有零点，则()f x在(,)a b内至多有一个零点（D）()f x在(,)a b内没有零点，则()fx在(,)a b内至多有一个零点【详解】【详解】【例【例 2.34】设连续函数()f x在,a b上单调递增，且()0f a，()0baf x dx.证明：（I）存在(,)a b，使得()0af x dx；（II）存在(,)a b，使得()()af x dxf.【详解】【详解】【例【例 2.35】设()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导.证明：（I）若21130(1)3()xfef x dx，则存在(0,1)，使得()2()ff；（II）若(1)0f，2()01arctan2f xexdx，则存在(0,1)，使得2(1)()arctan1f.2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505022【详解】【详解】【2001，数三】，数三】设()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且110(1)()(1)xkfkxef x dx k.证明：存在(0,1)，使得1()(1)()ff.【例【例 2.36】设()f x在0,1上二阶可导，且0()lim1xf xx，1()lim21xf xx.证明：（I）存在(0,1)，使得()0f；（II）存在两个不同的点12,(0,1)，使得()()(1,2)iiffi；（III）存在(0,1)，使得()()ff.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505023【例【例 2.37】（1）（江苏省 2004 年竞赛题）设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()f aa，221()()2baf x dxba.证明：存在(,)a b，使得()()1ff；（2）设(),()f x g x在0,1上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)1ff，101()2f x dx.证明：存在(0,1)，使得()()()1fgf；（3）设)(),(xgxf在0,1上连续，在)1,0(内可导，且11203()3()f x dxf x dx.证明：存在两个不同的点)1,0(,，使得()()()()fgff.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505024【例【例 2.38】设()f x在10,2上二阶可导，且(0)(0)ff，102f.证明：存在10,2，使得3()()1 2ff.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505025【例【例 2.39】（1）设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导.证明：存在(,)a b，使得()()()()bf baf affba；（2）设()f x在,a c上二阶可导，abc，证明：存在(,)a c，使得()()()1()()()()()()()2f af bf cfab acba bcca cb；（3）（南京大学 1995）设()f x在(0,1)内三阶可导，01ab，证明：存在(,)a b，使得31()()()()()()()212baf bf abafaf bf.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505026【例【例 2.40】（江苏省 2002 年竞赛题）设()f x在,a b上连续，且()()0bbxaaf x dxf x e dx，证明()f x在(,)a b内至少有两个零点.【详解一】【详解一】【详解【详解】重点题型十重点题型十Lagrange 中值定理证明题中值定理证明题【例【例 2.41】（莫斯科 1975 年竞赛题）设()f x在(0,)内可导，lim()xfx存在，且lim()()xfxf xl，则lim()xfx；lim()xf x.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505027【例【例 2.42】（1）（莫斯科 1976 年竞赛题）当1x 时，222arctanarcsin1xxx；（2）当02x时，22sincos00arcsinarccosxxtdttdt.【详解】【详解】【例例2.43】（全国大学生2020年竞赛题）设()f x在01，上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f.证明：（I）存在(0,1)，使得()23f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得1()1()4ff.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505028【2005，数一数一、数二数二】已知函数()f x在01，上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f.证明：（I）存在(0,1)，使得1)(f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff【例【例 2.44】设()f x在,a b上连续，在(,)a b内二阶可导，且()()0f af b，()0fa.证明：存在(,)a b，使得()0f.【详解一】【详解一】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505029【2008，数二】，数二】证明：（I）设()f x在,a b上连续，则存在,a b，使得()()()baf x dxfba；（II）设()x二阶可导，且(2)(1)，32(2)()x dx，则存在(1,3)，使得()0.【2019，数二】，数二】设()f x在0,1上二阶可导，且(0)0f，(1)1f，10()1f x dx.证明：（I）存在(0,1)，使得()0f；（II）存在(0,1)，使得()2f.重点题型十一重点题型十一Cauchy 中值定理证明题中值定理证明题【例【例 2.45】设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，其中0a.证明：存在,(,)a b ，使得22()()()()()ln2baffbeebafea【详解】【详解】【例【例 2.46】（1）证明：当02时，coscos11；（2）证明：当0 x，0y 且xy时，11xyxyeexy.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505030【例【例 2.47】证明：（I）当01x时，1ln(1)1arcsinxxxx；（II）当2x时，1 sinln(1sin)1sinxxxx.【详解【详解】（I）【方法一】【方法一】【方法二】【方法二】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505031【例【例 2.48】证明：当0 x 时，22221(arctan)ln(1)1arctanxxxxxxxx.【详解一】【详解一】【详解二】【详解二】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505032重点题型十二重点题型十二Taylor 公式证明题公式证明题【例【例 2.49】（1）设()f x在,a b上二阶可导，且()()0faf b.证明：存在(,)a b，使得24()()()()ff bf aba；（2）（莫斯科 1977 年竞赛题）设()f x在0,1上二阶可导，且(0)(1)0ff，0,1min()1xf x，证明0,1max()8xfx.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505033【例【例 2.50】设()f x在,a b上有二阶连续导数.证明：存在(,)a b，使得3()()()()224baabbaf x dxba ff.【详解】【详解】【例【例 2.51】（1）（北京市 1990 年竞赛题）设)(xf在0,2上二阶可导，且()1f x，()1fx，证明()2fx；（2）设)(xf在0,1上二阶可导，且1()f xM，2()fxM，证明21()22MfxM.【详解】【详解】2 2022022 考研数学考研数学真题同源压轴真题同源压轴 1 1505034【例【例 2.52】（1）（莫斯科 1977 年竞赛题）设()f x二阶可导，且lim()xf xA，lim()0 xfx，证明lim()0 xfx；（2）设)(xf三阶可导，且lim()xf xA，lim()0 xfx，证明lim()lim()0 xxfxfx.【详解】【详解】