2022强化521线代全集（1-3章）（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 第 1 章 线代 行列式 1.1 代数代数余子式余子式线性和线性和问题问题【1】设3112513420111533D=，D的(),i j元的代数余子式记作ijA，求 31323334+322AAAA+.1.2 数值数值型型行列式行列式计算计算【2】计算行列式1000100014321=+【3】120na aa，111222111nnnaaaaaaaaa+=+.【4】111111 1naaaaDaaa=.【5】计算()11111111011111111xxDxyyy+=+.1.3 抽象抽象型型行列式行列式计算计算【6】设A是 三 阶 方 阵，A是A的 伴 随 矩 阵，A的 行 列 式12=A.求 行 列 式一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 ()132AA=.【7】设A是n阶矩阵，满足T=AAE（E是n阶单位阵，TA是A的转置矩阵），0A，求+AE=.【8】已知实矩阵()3 3ija=A满足条件：（1）(),1,2,3ijijAai j=，其中ijA是ija的代数余子式；（2）110a.计算行列式A.【9】设()T1,01=，矩阵T=A，n为正整数，则na=EA .第 2 章 线代 矩阵 2.1 矩阵运算矩阵运算【10】设n维向量()T,0,0,0aaa=，E为n阶单位矩阵，矩阵T=AE，T1a=+BE，又B是A的逆矩阵，则a=.【11】设3113=A，求32A和33A.【12】设1010100,001=ABPAP，其 中P为 三 阶 可 逆 矩 阵，则200422=BA .【13】设100100=A，求6A.【14】设=APP，其中1111102,11115=P，求()()8256=+AAEAA.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 2.2 逆矩阵逆矩阵【15】设121000000000000nnaaaa=A，其中0,1,2,iain=则1=A_.【16】设11,+A B AB AB均为n阶可逆矩阵，则()111+AB等于（A）11+AB.（B）+AB.（C）()1+A ABB.（D）()1+AB.【17】设,A B均为2阶矩阵，*,A B分别为,A B的伴随矩阵，若2,3=AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（A）*32OBAO（B）*23OBAO（C）*32OABO（D）*23OABO.【18】设矩阵A的伴随矩阵1000010010100308=A，且113=+ABABAE，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.【19】设矩阵3101101aaa=AAO且（I）求a的值；（II）若矩阵22,+=XXXAAXAXAE E满足为3阶单位矩阵，求X 2.3 初等初等矩阵与初等矩阵与初等变换变换【20】A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001=P，2100001,010=P则=A（A）12PP.（B）112P P.（C）21P P.（D）121P P.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 【21】设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002=P AP，若()123,=P ，()1223,=+Q ，则1=Q AQ （A）100020001.（B）100010002.（C）200010002.（D）200020001.【22】设,A P均 为3阶矩阵，TP为P的转 置矩阵，且T100=010002P AP，若()()1231223,=+P Q ，则TQ AQ为（A）210110002（B）110120002（C）200010002（D）100020002 2.4 矩阵的秩矩阵的秩 【23】设矩阵0100001000010000=A，则3A的秩为 .【24】设 矩 阵101112011=A，123,为 线 性 无 关 的3维 列 向 量，则 向 量 组123,AAA的秩为 【25】若A和B都是n阶非零方阵，矩阵A存在一个非零1n阶子式，且=ABO，则()r=A .【26】设12243311t=A，B为三阶非零矩阵，且ABO=，则t=.【27】已知实矩阵()3 3ija=A满足条件：（1）(),1,2,3ijijAai j=，其中ijA是ija的代数一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 余子式；（2）110a.则其伴随矩阵A的秩为 .第 3 章 线代 向量与方程组 3.1 线性相关性线性相关性【28】设任意两个n维向量组12,m 和1,m 若存在两组不全为 0 的数1,m和1,mkk 使()()()()111111mmmmmmkkkk+=0，则（）.（A）12,m 和1,m都线性相关.（B）12,m 和1,m都线性无关.（C）1111,mmmm+线性无关.（D）1111,mmmm+线性相关.【29】设A为m n矩阵 齐次线性方程组=0Ax仅有零解的充分条件是（）.（A）A的列向量线性无关.（B）A的列向量线性相关.（C）A的行向量线性无关.（D）A的行向量线性相关.【30】设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中nm，E是单位矩阵，若=ABE，证明B的列向量组线性无关.【31】设向量组：12,r 可由向量组：12,s 线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则r s （B）若向量组线性相关，则rs（C）若向量组线性无关，则r s （D）若向量组线性相关，则rs.【32】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由123,线性表示，则对于任意常数k，必有（A）12312,k+线性无关.（B）12312,k+线性相关.（C）12312,k+线性无关.（D）12312,k+线性相关【33】设12,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则1，()12+A 线性无关的充分必要条件是（A）01.（B）02.（C）01=.（D）02=.【34】设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1的特征向量，向量3满足323=+A.证明123,线性无关.【35】设()()T12,1,2,;iiiinaaair rn=是n维实向量，且12,r 线性无关.已知()T12,nb bb=是线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnrrrnna xa xa xa xa xa xa xa xa x+=+=+=的非零解向量.试判断向量组12,r 的线性相关性.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 3.2 线性线性表表出出【36】已知()()()()TTTT1231,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,3,10,4ab=问：（I）,a b取何值时，不能由123,线性表出？（II）,a b取何值时，可由123,线性表出？并写出此表达式.【37】已知1=()1,0,2,3 2=()1,1,3,5 3=()1,1,2,1a+4=()1,2,4,8a+及=()1,1,3,5b+.（）,a b为何值时，不能表示成1234,的线性组合？（）,a b为何值时，有1234,的唯一的线性表达式？并写出该表示式.【38】设向量组，()()()()TTTT123,2,10,2,1,5,1,1,4,1,ab c=，试问,a b c满足什么条件时，（I）可由123,线性表出，且表示唯一？（II）不能由123,线性表出？（III）可由123,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.【39】已知向量组12301,2,1110ab =与向量组 1231392,0,6317 =具有相同的秩，且3 可由123,线性表出，求,a b.【40】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由123,线性表示，求()1231,r ，()1232,r ，()12312,2r +，()12312,2r .【41】设向量组123,线性相关，设向量组234,线性无关，问：（）1 能否由23,线性表出？证明你的结论.（）4 能否由123,线性表出？证明你的结论.【42】若向量组,线性无关，,线性相关，则（A）必可由,线性表示.（B）必不可由,线性表示.（C）必可由,线性表示.（D）必不可由,线性表示.3.3 向量组的秩与极大无关组向量组的秩与极大无关组【43】已 知 向 量 组()()()1231,2,1,1,2,0,0,0,4,5,2t=的 秩 为2，则t=.【44】已知向量组（I）123,;（II）124,;（III）1235,，如果各向量组的秩分别为()()III3rr=，()III4r=.证明:向量组12354,的秩为4.【45】设n维向量组()()TT121,1,1,1,2,2,2,2aa=+=+，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 ()()TT33,3,3,3,nan n nna=+=+，问a为何值时123,n 线性相关？当123,n 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.【46】设向量组()()()TTT1231,1,1,3,1,3,5,1,3,2,1,2p=+，()T42,6,10,p=（I）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量()T4,1,6,10=用124,线性表出；（II）p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.3.4 齐次线性方程组齐次线性方程组【47】齐次线性方程组21231231230,0,0 xxxxxxxxx+=+=+=的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵BO使得=ABO，则（A）2=且0=B.（B）2=且0B.（C）1=且0=B.（D）1=且0B.【48】已知三阶矩阵BO且B的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.xxxxxxxxx+=+=+=则（I）求的值;（II）证明0=B.【49】设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则线性方程组()=0AB x （A）当nm时仅有零解.（B）当nm时必有非零解.（C）当mn时仅有零解.（D）当mn时必有非零解.【50】设有齐次线性方程组()()()()123412341234123410,22220,33330,44440,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x+=+=+=+=试问a取何值时 该方程组有非零解 并求出其通解【51】设齐次线性方程组 1231231230,0,0,nnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax+=+=+=其中0,0,2abn，试讨论,a b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 8 【52】已知3阶矩阵A的第一行是(),a b ca b c不全为零，矩阵12324636k=B（k为常数），且=ABO，求线性方程组=Ax0的通解.【53】设n阶矩阵A的伴随矩阵*A0，若1234,是非齐次线性方程组=Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax0的基础解系（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量【54】设124,为线性方程组=Ax0的一个基础解系，112223,tt=+=+，334441,tt=+=+，试问实数t满足什么关系时，1234,也为=Ax0的一个基础解系.3.5 非齐次线性方程组非齐次线性方程组【55】非齐次线性方程组=Axb中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）rm=时，方程组=Axb有解.（B）rn=时，方程组=Axb有唯一解.（C）mn=时，方程组=Axb有唯一解.（D）rn时，方程组=Axb有无穷多解.【56】设A是m n矩阵，=Ax0是非齐次线性方程组=Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是（A）若=Ax0仅有零解，则=Axb有唯一解.（B）若=Ax0有非零解，则=Axb有无穷多个解.（C）若=Axb有无穷多个解，则=Ax0仅有零解.（D）若=Axb有无穷多个解，则=Ax0有非零解.【57】设矩阵22111112,14adad=Ab，若集合1,2=，则线性方程组=Axb有无穷多解的充分必要条件为（A）,ad （B）,ad（C）,ad （D）,ad【58】对于线性方程组1231231233,2,2.xxxxxxxxx+=+=+=讨论取何值时，方程组无解、有唯一解和有无穷解？在方程组有无穷解时，试用导出组的基础解系表示全部解.【59】k为何值时，线性方程组12321231234,24xxkxxkxxkxxx+=+=+=有惟一解 无解 有无穷多组解?有解情况下，求出其全部解.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 9 【60】设矩阵111010,111122aaaaa=+A，且方程组=Ax无解，（）求a的值；（）求方程组TT=A AxA 的通解【61】若 线 性 方 程 组121232343414,xxaxxaxxaxxa+=+=+=+=有 解，则 常 数1234,a a a a应 满 足 条件 .【62】已知线性方程组1234123412341234230,2641,3271,6,xxxxxxxxxxpxxxxxxt+=+=+=讨论参数,p t取何值时，方程组有解？无解？当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解.【63】已知非齐次线性方程组1234123412341,4351,31xxxxxxxxaxxxbx+=+=+=有3个线性无关的解，（）证明方程组系数矩阵A的秩()2r=A.（）求,a b的值及方程组的通解.【64】设123,是四元非齐次线性方程组=Axb的三个解向量，且秩()3=A，()()TT1231,2,3,4,0,1,2,3=+=，c表任意常数，则线性方程组=Axb的通解=x （A）11213141c +.（B）10213243c +.（C）12233445c +.（D）13243546c +.【65】设A为4 3矩阵，123,是非齐次线性方程组=Ax 的3个线性无关的解，12,k k为任意常数，则=Ax 的通解为（A）()231212k+.（B）()231212k+.（C）()()231212312kk+.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 10 （D）()()231212312kk+.【66】写出一个非齐次方程线性方程组的一个解 已 知4阶 方 阵()1234,=A ，1234,均 为4维 列 向 量.如 果1234=+，求试写出线性方程组=Ax 的一个解.已知()1234,=A，又123+=b，232+=0b，试写出=Axb的两个解.【67】设3阶矩阵()123,=A 有3个不同的特征值，3122=+.（I）证明()2r=A；（II）若123=+，求方程组=Ax 的解.3.6 矩阵方程矩阵方程【68】设41213221,2231131=AB，求X使=AXB.【69】设矩阵=302111104321A，E为3阶单位矩阵.（）求方程组=Ax0的一个基础解系；（）求满足EAB=的所有矩阵B【70】设101101ab=AB，.当ba,为何值时，存在矩阵C使得BCAAC=并求所有矩阵C.3.7 公共解与同解公共解与同解【71】设线性方程组 123123212302040 xxxxxaxxxa x+=+=+=（1）与方程 12321xxxa+=（2）有公共解，求a的值及所有公共解.【72】设四元线性齐次方程组()为12240,0,xxxx+=又已知某线性齐次方程组()的通解为()()TT120,1,1,01,2,2,1kk+；一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 11 （i）求线性方程组()的基础解系；（ii）问线性方程组()和()是否有非零公共解？若有，则求出所有的非零公共解.若没有，则说明理由.【73】设四元齐次线性方程组（I）为123123423020 xxxxxxx+=+=，而已知另一四元齐次线性方程组（II）的一个基础解系为()()TT122,1,2,1,1,2,4,8aa=+=+.（1）求方程组（I）的一个基础解系；（2）当a为何值时，方程组（I）与方程组（II）有非零公共解，并求出全部非零公共解.【74】设线性方程组()()123412341234022032441xxxxxxxxxxxx+=+=+=已知()T1,1,1,1=是该方程组的一个解.（I）试求方程组的全部解.（II）该方程组满足23xx=的全部解.【75】设有齐次线性方程组=0Ax和=0Bx，其中,A B均为nm矩阵，现有 4 个命题：若=0Ax的解均是=0Bx的解，则()()rrAB；若()()rrAB，则=0Ax的解均是=0Bx的解；若=0Ax与=0Bx同解，则()()rr=AB；若()()rr=AB，则=0Ax与=0Bx同解 以上命题中正确的是（A）（B）（C）（D）【76】设A为n阶实矩阵，TA是A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）:=AXO和（II）:T=A AXO，必有（A）（II）的解是（I）的解，（I）的解也是（II）的解.（B）（II）的解是（I）的解，但（I）的解不是（II）的解.（C）（I）的解不是（II）的解，（II）的解也不是（I）的解.（D）（I）的解是（II）的解，但（II）的解不是（I）的解.一笑而过 考研数学