3988cfc0-5589-11eb-a37e-e580c0970d9b考研数学高分必刷800题（第1、2章）考研资料.pdf

2022 考研数学高分必刷800题 周洋鑫 目 录 第一篇 高等数学.1 第一章 函数、极限和连续.2 第二章 一元函数微分学.8 第三章 不定积分百题斩.14 第四章 定积分及其应用.18 第五章 常微分方程.24 第六章 中值定理.27 第七章 多元函数微分学.29 第八章 二重积分.32 第九章 无穷级数（数一、三）.35 第十章 数一专题.39 第二篇 线性代数.43 第一章 行列式.44 第二章 矩阵.47 第三章 矩阵、方程组.55 第四章 特征值.65 第五章 二次型.71 第三篇 概率论与数理统计（数一数三）.75 第一章 随机事件及其概率.76 第二章 一维随机变量及其分布.80 第三章 二维随机变量及其分布.84 第四章 随机变量的数字特征.89 第五章 数理统计.93 第一篇高等数学 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 2 第一章 函数、极限和连续 考点 1 无穷小及其阶问题【1】设 32xxfxab，其中a，b是大于 1 的常数，且3abe，则当0 x时，（A）,fx y与x是等价的无穷小.（B）fx与 x 是同阶但非等价的无穷小.（C）fx是比 x 高阶的无穷小.（D）fx是比 x 低阶的无穷小.【2】当0 x时，21xeaxbx是比2x高阶的无穷小，则常数a ，b .【3】当0 x时，sincos cos2xxxx与bax为等价无穷小，则常数a ，b .【4】当0 x时，ln 11xex与nx为同阶无穷小，则常数n .【5】当0 x时，()sinf xxax与2()ln(1)g xxbx是等价无穷小量，则（A）11,6ab （B）11,6ab （C）11,6ab （D）11,6ab【6】当0 x时，下列无穷小量中比其他三个都高阶的是（）.（A）lnxx.（B）21cos x.（C）3211x.（D）tansinxx.【7】已知函数11()sinxf xxx，记0lim()xaf x.（）求a的值；（）若当0 x 时，()f xa与kx是同阶无穷小量，求常数k的值.【8】试确定常数 a，b，c 的值，使得 2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 3 23ln 11axxcxxo xbx，其中3o x是0 x时比 x3高阶的无穷小.考点 2 函数极限计算【9】下列命题正确的是（）.（A）若 0limxxfxg x存在，则 000limlimlimxxxxxxfxg xf xg x.（B）若 0limxxfx g x存在，则 000limlimlimxxxxxxfx g xfxg x.（C）若 0limxxfxg x与 0limxxfx都存在，则 0limxxg x存在.（D）若 0limxxfx g x与 0limxxfx都存在，则 0limxxg x存在.【10】下列各式中正确的是（）（A）01lim 1xxex （B）sin1sinlim 1xxxxex（C）1lim 1xxex （D）sinsinlim 1xxxxex【11】31lim sinln(1)sinln(1)xxxx【12】222220sincoslim1 ln 1tanxxxxxx ex 【13】032sintanlim111sin1xxxxx 【14】021tan1sinlim1sinxxxxxx【15】222021112limcossinxxxxxex【16】02sin1lim11xxexx【17】012sin1limln 1xxxxx【18】440(1cos)ln(1tan)1limsinxxxxxex 2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 4【19】22 2cos40eelimxxxx【20】sin20eelimln 1arcsinxxxxxxx【21】3012coslim13xxxx【22】22201coslimsinxxxx【23】21limln 1xxxx【24】666565limxxxxx【25】1332lim21xxxxxe 【26】求极限 120limxxnxxxeeen，其中n是给定的自然数.【27】1cossin4lim tanxxxx【28】21lim sincosxxxx【29】2limxxxxaxb【30】410lim(cos22 sin)xxxxx.【31】考查下列极限：101lim01xxe；101lim11xxe；1110lim1xxxxeee；1110lim0 xxxxeee。其中正确的个数为（A）1 个（B）2 个（C）3 个 （D）4 个【32】求 210ln(1)lim2ln(1)xxxexe.2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 5【33】设322lim82xxaxbx，求,a b.【34】设220ln(1)()lim2xxaxbxx，求,a b.【35】20tan(1cos)lim2ln(12)(1e)xxaxbxcxd，其中220ac，则必有（A）4bd.（B）4bd.（C）4ac.（D）4ac.【36】设tan0lim0 xxkxeec cx，求,c k.【37】若011lime1xxaxx，求a.考点 4 数列极限【38】下列数列收敛的是（）.（A）11,11,.nnf nnn为奇数，为偶数（B）13,313,.3nnnnnf nn 为奇数，为偶数（C）21231.1nnf nn （D）1,21,.1nnf nnn为奇数，为偶数【39】sinyxx，且2sinyxx，则当 n 充分大时有（A）21sinyxx（B）2naa（C）1naan（D）1naan【40】1lim tan4nnn=.【41】lim5nnnnn .【42】22212lim.3213223nnnnnnnn .【43】111lim235nnnnn .【44】01limxxx .2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 6【45】设对任意的正整数n，总有nnnyxz，且lim0nnnzy，则limnnx（）.（A）存在且一定等于零.（B）存在但不一定等于零.（C）一定不存在.（D）不一定存在.【46】设1103,(3)(1,2,)nnnxxxxn，证明 nx的极限存在，并求此极限.【47】设数列 nx满足10 x，1sin(1,2,)nnxx n.证明：（）证明limnnx存在，并求该极限；（）计算211limnxnnnxx.【48】设数列 nx满足110,1(1,2,)nxnxexn（1）证明limnnx存在，并求出极限；（2）求11limnxnnnxx 考点 5 函数连续与间断【49】若2sin 21,0(),0axxexf xxa x，在(,)上连续，则a.【50】设函数2,1,1,0,()(),10,1,0,0.axxxf xg xxxxxbx 若()()f xg x在R上连续，则（A）3,1ab.（B）3,2ab.（C）3,1ab.（D）3,2ab.【51】设 211 arctan,1,10,1,xxfxxx 则函数 fx（）.（A）在1x 处连续，在1x 处间断.（B）在1x 处间断，在1x 处连续.（C）在1x，1x处都连续.（D）在1x，1x处都间断.【52】下列函数中，以0 x 为跳跃间断点的是（）.2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 7（A）sin,0,1,0.xxfxxx（B）1,0,0,0.xexfxx（C）1arctan,0,1,0.xf xxx（D）1arccot,0,0,0.xf xxx【53】函数2221()11xxf xxx的无穷间断点数为（A）0（B）1 （C）2（D）3【54】设函数ln()sin1xf xxx，则()f x有（A）1个可去间断点，1个跳跃间断点.（B）1个可去间断点，1个无穷间断点.（C）2个跳跃间断点.（D）2个无穷间断点.【55】设函数11()e1xxf x，则 （A）0 x，1x都是()f x的第一类间断点.（B）0 x，1x都是()f x的第二类间断点.（C）0 x是()f x的第一类间断点，1x是()f x的第二类间断点.（D）0 x是()f x的第二类间断点，1x是()f x的第一类间断点.【56】设函数lncos(1),1,1sin()21,1.xxxf xx问函数()f x在1x 处是否连续?若不连续，修改函数在1x 处的定义使之连续.【57】求极限sinsinsinlimsinxtxtxtx，记此极限为()f x，求函数()f x的间断点并指出其类型.【58】设1111(),1)sin(1)2f xxxxx试补充定义(1)f使得()f x在1,12上连续【59】已知函数tanxyx，求该函数的所有间断点，并且判别间断点的类型.微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 8 第二章 一元函数微分学 考点 1 导数定义【60】设()(1)(2)()f xx xxxn，则(0)f _.【61】设函数()f x在0 x 处可导，(0)0,(0)ffb，若函数()sin,0,(),0.f xaxxF xxAx在0 x 处连续，则常数A=_.【62】设 221sin,0,11cos,0,xxxfxxxx则 fx在0 x 处（）.（A）极限不存在.（B）极限存在但不连续.（C）连续但不可导.（D）可导.【63】设()f x在xa的某个领域内有定义，则()f x在xa处可导的一个充分条件是（A）1lim()()hh f af ah存在（B）0(2)()limhf ahf ahh存在（C）0()()lim2hf ahf ahh存在（D）0()()limhf af ahh存在【64】已知函数()f x在0 x处可导，且(0)0f，则2330()2()limxx f xf xx（A）2(0)f.（B）(0)f.（C）(0)f.（D）0.【65】设函数3()lim 1nnnf xx，则()f x在(,)内（A）处处可导.（B）恰有一个不可导点.（C）恰有两个不可导点.（D）至少有三个不可导点.【66】设函数()f x在0 x 的某邻域内具有一阶导数，且 00,00ff，若2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 9()(2)(0)af hbfhf在0h 时是比h高阶的无穷小，试确定,a b的值.考点 2 导数计算【67】计算函数导数（1）422cos.1xxyxln（2）2sinxyex；【68】计算函数导数2arcsin11ln.211xxyxx 【69】设函数sin2cosxxyxx，求.y【70】设函数()g x可微，1()()e,(1)1,(1)2g xh xhg，则(1)g等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln 21.（D）ln 21.【71】设2sin()yf x，其中f具有二阶导数，求22d ydx【72】（数一、二）设3()(1)txf tyf e其中f可导，且(0)0f，则0tdydx 【73】（数一、二）3arctan,3.xtytt则221ddtyx 【74】设函数 xyy 由方程261yexyx确定，求 0y【75】设21arctan,0()0,0 xxf xxx试讨论()fx在0 x 处的连续性.【76】设ln(1)xyex-=+，求ln2ydxdy=，22ln2yd xdy=.【77】设函数 f u二阶可导且 0lim0 xfu，若lnyfx，则22d xdy（）.（A）2lnlnlnfxfxfx.（B）2lnlnlnfxxfxfx.（C）3lnlnlnxfxfxfx.（D）3lnlnlnxfxxfxfx.【78】（1）证明：21arcsin1xx；（2）已知曲线2yxaxb和2arcsin1yxx在点0,1处相切，求参数,a b.2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 10【79】设 2ln 352fxxx，则 nfx .【80】设232xyx，求(20).y【81】设(),0,()00,xg xexf xxx，其中()g x有二阶导数，且(0)1,(0)1gg.（1）求()fx；（2）讨论()fx在(,)上的连续性.考点 3 微分定义与计算【82】设()(ln)f xyfx e，其中f可微，则dy.【83】设ln(13)xy，则dy.【84】设方程yxy确定y是x的函数，则dy.【85】设函数()yy x由方程2xyxy所确定，则0.xdy【86】设函数()f u可导，2()yf x当自变量x在1x 处取得增量0.1x 时，相应的函数增量y 的线性主部为0.1，则(1)f=（）（A）1（B）0.1（C）1（D）0.5【87】设函数 f x的图形如下图所示，试在下图 ,abcd中分别标出在0 x处的,y dyydy，并说明其正负.2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 11 考点 4 切线方程与法线方程【88】曲线tane4yxy在点0,0处的切线方程为 .【89】设函数()yf x由方程2cos()1xyexye所确定，则曲线()yf x在点（0，1）处的法线方程为 .【90】设 曲 线()nf xx在 点（1，1）处 的 切 线 与x轴 的 交 点 为(,0)n则lim()nnf .【91】（数一、二）曲线sin2costtxetyet，在点（0，1）处的法线方程为 .【92】（数一、二）已知曲线的极坐标方程是1cosr ，求该曲线上对应于6处的切线与法线的直角坐标方程.【93】若曲线2yxaxb和321yxy 在点(1,1)处相切，其中,a b是常数，则（A）0,2ab （B）1,3ab （C）3,1ab （D）1,1ab 考点 5 导数应用【94】设函数()f x在定义域内可导，()yf x的图形如右图所示，则导函数()yfx 的图形为 【95】试证明函数1()(1)xf xx在区间(0,)内单调增加.【96】证明下列不等式：当0 x 时，有不等式1arctan2xx；当1x 时，有不等式ln(1)ln1xxxx；2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 12 当0 x 时，221ln11xxxx；当4x 时，22xx.【97】设常数0k，函数 lnxf xxke在0,内零点个数为（）.（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.【98】对函数21xyx，填写下表：单调减少区间 单调增加区间 极值点 极值 凹区间 凸区间 拐点 渐近线 【99】已知函数()y x由方程333320 xyxy确定，求)(xy的极值.【100】设函数(),()f xg x具有二阶导数，且()0gx，0()g xa是()g x的极值，则()f g x在0 x取极大值的一个充分条件是（A）()0fa （B）()0fa（C）()0fa （D）()0fa【101】设函数 fx的导数在xa处连续，又()lim1,xafxxa 则（A）xa是 fx的极小值点.（B）xa是 fx的极大值点.（C）,a f a是曲线 yfx的拐点.（D）xa不是 fx的极值点，,a f a也不是曲线 yfx的拐点.【102】设函数()f x在(,)内有定义，00 x是函数()f x的极大点，则（A）0 x必是()f x的驻点 2022 周洋鑫考研数学高分必刷 800 题微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 13（B）0 x必是()fx的极小点（C）0 x必是()f x的极小点（D）对一切x都有0()()f xf x【103】若()()f xfx，在(0,)内()0,()0fxfx，则()f x在(,0)内（A）()0,()0fxfx（B）()0,()0fxfx（C）()0,()0fxfx（D）()0,()0fxfx【104】设函数()f x及()g x都在xa处取得极大值，则函数()()()F xf x g x在xa处（A）必取极大值 （B）必取极小值（C）不可能取极值 （D）是否取极值不能确定【105】若曲线 0f 有拐点 0f，则b .【106】曲线2221xyx的拐点为 .【107】函数ln 1e1xxyx的斜渐近线为 .【108】曲线221e1exxy（A）没有渐近线.（B）仅有水平渐近线.（C）仅有铅直渐近线.（D）既有水平渐近线又有铅直渐近线.【109】曲线322arctan(1)1xyxx的斜渐近线方程为 【110】求函数arctan21xyxe的极值与渐近线。【111】（数一数二）曲线上曲率为22的点的坐标是 .