1989数学三真题答案解析（试卷四）.pdf

一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)一、填空题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)曲线2sinyxx在点(,1)22处的切线方程是1yx.(2)幂级数11nnnx的收敛域是 1,1).(3)齐次线性方程组000123123123xxxxxxxxx只有零解，则应满足的条件是1.(4)设随机变量X的分布函数为()F x00sin0/21/2xAxxx若若若,则 A=1 ；P|x|6=2/1.(5)设随机变量 X 的数学期望 EX=,方差 DX=2，则由切比雪夫(chebyshev)不等式，有3 PX 1/9.二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)二、选择题：(本题满分 15 分，每小题 3 分)(1)设()232xxf x,则当 x0 时，(B)(A)()f x与x是等价无穷小量(B)()f x与x是同阶但非等价无穷小量(C)()f x是比x较高阶的无穷小量(D)()f x是比x较低阶的无穷小量(2)在下列等式中，正确的结果是 (C)(A)()()f xdxfx(B)()()xf xdf(C)()()f xdxf xdxd(D)()()f xdxdf x(4)设.A 和?B 均为?n n 矩阵,则必有 (C)(A)ABAB(B)ABBA(C)ABBA(D)111()ABABA(3)设.A 是?4 阶矩阵，且?A 的行列式(A)必有一列元素全为?0；(B)必有两列元素对应成比例；?(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D)任一列向量是其余列向量的线性组合.(C)1989 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数学试题参考解答及评分标准数数 学（试卷四）学（试卷四）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(C)“甲种产品滞销”(D)“甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分 15 分，每小题 5 分)三、计算题(本题满分 15 分，每小题 5 分)(1)求极限11lim(sincos)xxxx解：解：设1ux，则当x时，0u.01sincos)lim0lim(sincos)uuuuln(uu原式.1 分 而00ln(sincos)cossinlimlim1sincosuuuuuuu4 分 于是原式e.5 分(2)已知(,)zf u v,uxy vxy，且(,)f u v的二阶偏导数都连续,求x yz 2.解：解：zfufvxuxvxffyuv2 分 2222222zfufvfufvfyx yuyu vyv uyvyv 4 分 222222fffffxyxyuu vv uvv 22222()ffffxyxyuu vvv.5 分(3)求微分方程xyyye 562 的通解.解：解：由特征方程为256(2)(3)0rrrr，知特征根为2,3.1 分 于是对应齐次微分方程的通解为2312()xxy xCeC e.2 分 其中12,C C为任意常数.设所给非齐次方程的特解为*()xyxAe.3 分 将*()y x代入原方程，可得1A，故所给非齐次微分方程的特解为*()xy xe.4 分 从而，所给微分方程的通解为2312()xxxy xCeC ee.5 分 四、（本题满分 9 分）四、（本题满分 9 分）设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为2()10 xpp xe且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格.（1）求该商品的边际收益函数；（2 分）（2）求使收益最大时的产量，最大收益和相应价格.（4 分）（3）画出收益函数的图形.（3 分）(5)以 A 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件A为 (D)(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销”(B)“甲，乙产品均畅销”关注公众号【考研题库】保存更多高清资料解：解：(1)收益函数为2()10,06;xR xpxxex 1 分 边际收益函数为25(2)xdRMRx edx.2 分(2)由25(2)0 xRx e，得驻点02x.由于12005|(4)502xxxRxee.4 分 可见()R x在点2x 处达到极大值，亦即最大值122(2)1020 xxRxee.于是当产量为时，收益取最大值120e，而相应的价格为110e.6 分(3)由上面的计算结果，易得下表x0,2 2 2,4 44,6 R 0 R 0R单增，凸极大值20e单减，凸240(4,)e单减，凹9 分 收益函数的图形为五、（本题满分 9 分）五、（本题满分 9 分）已知函数21201()xxxxf x若若，试计算下列各题：(1)200()xSf x e dx，（4 分）；(2)412(2)xSf xe dx，（2 分）；(3)222(2)nxnnSf xn e dx（n=2,3,）（1 分）；(4)0nnSS.（2 分）解：解：(1)12001(2)xxSxe dxx e dx.1 分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料其中11110001 2xxxxe dxxee dxe，2 分 2222111(2)(2)xxxx e dxx ee dxe.3 分 从而121 201 2(1)Seee.4 分(2)令2tx，则42221020(2)()xtSf xe dxf t edtS e.6 分(3)令2txn，则22200()tnnnSf t edtS e.7 分(4)2200000()nnnnnnSSS eSe8 分 02111Seee.9 分 六、（本题满分 6 分）六、（本题满分 6 分）假设函数()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()0 fx，记xadtf txaF x()1()，证明在(,)a b内()0F x.证：证：由于()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，因此 21111()()()()()()xxaaF xf xf t dtf xf t dtxaxaxaxa.2 分 由积分中值定理知，存在,ax，使1()()xaff t dtxa.因此1()()()F xf xfxa.4 分 又由于()0fx，知()f x在(,)a b上非增函数，所以当x时，()f xf.因10 xa，故由此可知()0F x.6 分 七、（本题满分 5 分）七、（本题满分 5 分）已知 X=AX+B,其中010111101A,112053B,求矩阵 X.解：解：以E表示 3 阶单位矩阵，由X=AX+B，有(-)E A XB.1 分 其中110101102EA.2 分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料其逆矩阵为102/31/3()12/31/301/3 1/3 EA；4 分 于是102/31/31131()12/31/3202001/3 1/35311 XEAB.5 分 八、（本题满分 6 分）八、（本题满分 6 分）设1,1,11，1,2,32，t1,3,3，(1)问当 t 为何值时，向量组123,线性无关？（3 分）(2)问当 t 为何值时，向量组123,线性相关？（1 分）(3)当向量组123,线性相关时，将3表示为1和2的线性组合.（2 分）解：解：设有实数123,k k k，使1212330k aakk a，则得方程组：123123123023030kkkkkkkkk t（*），其系数行列式为 111123513Dtt.2 分(1)当5t 时，0D，方程组（*）只有零解：1230kkk.这时，向量组12,3,a a a线性无关.3 分(2)当5t 时，0D，方程组（*）有非零解，即不存在不全为 0 的常数123,k k k，使1212330k aakk a，这时，向量12,3,a a a线性相关.4 分(3)设5t.由111111123012135000知方程组（*）可化为1323020kkkk.令31k，得121,2kk.因此，有12320aaa.从而3a可以通过1a和,2a表示为3122aaa.6 分 九、（本题满分 5 分）九、（本题满分 5 分）设122212221A，(1)试求 A 矩阵的特征值.（2 分）(2)利用(1)小题的结果，求矩阵1EA的特征值.其中 E 是三阶单位矩阵（3 分）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料解：（解：（1）矩阵 A 的特征方程为2122|212(1)(5)0221 EA，由此得矩阵 A 的特征值1,1,5.2 分（2）由于矩阵 A 的特征值1,1,5，可知1A的特征值为11,1,5.3 分 因此，有1|0E A，11()05EA.由此可见1|(1 1)()|0EEA，11|(1)()|05EEA，即1|2()|0EE A，14|()|05EEA.于是，矩阵1EA的特征值42,2,5.5 分 十、(本题满分 7 分)十、(本题满分 7 分)已知随机变量 X 和 Y 的联合密度为 其他若00,0(,)()xyef x yx y，试求：(1)P XY (5 分)；（2）()E XY(2 分)解：解：(1)(,)X YP XYf x y dxdy2 分()000001(1)2yyx yyxyyedxdye dye dyeedy.5 分(2)()0000()1x yxyE XYxyedxdyxe dxye dy.7 分 十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分)设随机变量在 2,5上服从均匀分布.现在对 X 进行三次独立观 测.试求至少有两次观测值大于 3 的概率.解：解：以 A 表示事件“对X的观测值大于 3”，即 A3X，由条件知，X的密度函数为125()30 xf x若其他，5312()333P AP Xdx.4 分 以3u表示三次观测值大于 3 的次数（即在三次独立观测中事件 A 出现的次数）.显然，3u服从参数为3n，23p 的二项分布，因此，所求概率为2233333212202()()33327P uCC.8 分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料