22强化521线代答案全集（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 第 1 章 线代 行列式 1.1 代数余子式线性和问题代数余子式线性和问题【1】设3112513420111533D=，D的(),i j元的代数余子式记作ijA，求 31323334+322AAAA+.解析：代数余子式的线性和问题解析：代数余子式的线性和问题.313233343112132251345134+3221322311215331533AAAA+=1322132213220167608540854240854016760032085508550001=.1.2 数值型行列式计算数值型行列式计算【2】计算行列式1000100014321=+解析：43210010100010=01+4110+2+3+4.00132+101432+1=（-）【3】120na aa，111222111nnnaaaaaaaaa+=+.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 解析：111122221111110101nnnnaaaaaaaaaaaa+=+1221001001nnaaaaa+=121naaa=+.【4】111111 1naaaaDaaa=.解析：将行列式按照第一行展开可得：解析：将行列式按照第一行展开可得：()()()1 212111nnnDa DaD+=+即()121nnnDa DaD=+，其中()22111,111aaDaa Daa=+=112211nnnnDaDDaDDaD+=+=+=故 11nnDaD=+，所以11111nnDa Daa=+，即11nDa+是以111Da+为首项，以a为公比的等比数列，所以()21111nnaDaaa=+，即()1111nnnaDa+=+.【5】计算()11111111011111111xxDxyyy+=+.解析：221111111000000000000000 xxxxxDx yxyyxyy+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 1.3 抽象型行列式计算抽象型行列式计算【6】设A是 三 阶 方 阵，A是A的 伴 随 矩 阵，A的 行 列 式12=A.求 行 列 式()132AA=.解析：()111111123222333=AAAA AAAA，所以()31122116323327=AAAA.【7】设A是n阶矩阵，满足T=AAE（E是n阶单位阵，TA是A的转置矩阵），0A，求+AE=.解析：根据T=AAE有 TTTT|()|()|()|+=+=+=+=+AEAAAA EAA EAAEA|=+=+A EAA AE 移项得 (1|)|0+=AAE.因为0A，故(1|)0A，所以|0+=AE.【8】已知实矩阵()3 3ija=A满足条件：（1）(),1,2,3ijijAai j=，其中ijA是ija的代数余子式；（2）110a.计算行列式A.解析：由于(),1,2,3ijijAai j=，所以*T=AA，两边取行列式得 2=AA，解得0=A或1，A沿第 1 行展开得1112132221111121213130a Aa Aa Aaaa=+=+A，所以1=A.【9】设()T1,01=，矩阵T=A，n为正整数，则na=EA .解析：显然T=A的特征值为0,0,2.故 naEA的特征值为,2na a a，所以()22nnaaa=EA.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 第 2 章 线代 矩阵 2.1 矩阵运算矩阵运算【10】设n维向量()T,0,0,0aaa=，E为n阶单位矩阵，矩阵T=AE，T1a=+BE，又B是A的逆矩阵，则a=.解析：解析：()TT1aABEE=+TTTT11=aaE+TTT111aa=E+，又T222002aaa=+=，T11 2aa=EE+=，所以T11 2O=aa，又 是非零列向量，所以TO.故1120=aa，解得1a=或102=a（不符合题干条件，舍去）.【11】设3113=A，求32A和33A.解析：231311001313010=A，所以()16161632216100100010010=AA，16333216163131100101313010=AAA.【12】设1010100,001=ABPAP，其 中P为 三 阶 可 逆 矩 阵，则200422=BA .解析：200412004=BP AP，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 2010010100100100010001001001=A，所以()1002100220042100100010010001001=AAE，所以200421100100300220102010030001001001=BAP EPE.【13】设100100=A，求6A.解析：100100100100000 =+AE，记010001000=B()666660=kkkkCAEBB=+，65465426560006000156150000600000000000EBB=+=+6546566150600=.【14】设=APP，其中1111102,11115=P，求()()8256=+AAEAA.解析：60=P，所以P可逆，=APP，右乘1P得1=AP P，所以()()8281911015656=+=+AAEAAPPPPPP()8910156=+PP11111210201110=P1 1 14 1 1 11 1 1=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 2.2 逆矩阵逆矩阵【15】设121000000000000nnaaaa=A，其中0,1,2,iain=则1=A_.解析：由于 1110000CBBC=，则11211000100010001000nnaaAaa=【16】设11,+A B AB AB均为n阶可逆矩阵，则()111+AB等于（A）11+AB.（B）+AB.（C）()1+A ABB.（D）()1+AB.解析：()1111111111AB=EAB EB BAB AABBA A+=+=+故()()()-1-11111AB=BBA AA BA B+=+，应选（C）.【17】设,A B均为2阶矩阵，*,A B分别为,A B的伴随矩阵，若2,3=AB，则分块矩阵OABO的伴随矩阵为（A）*32OBAO（B）*23OBAO（C）*32OABO（D）*23OABO.解析：解析：()112 211=OAOAOAOBA BBOBOBOAO 1123=OA B BOA BOBA B AOB AOAO 故选（B）.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 【18】设矩阵A的伴随矩阵1000010010100308=A，且113=+ABABAE，其中E为4阶单位矩阵，求矩阵B.解析：113=+ABABAE，两边右乘A，得3=+ABBA，再左乘A得*1*1*3=+A ABA AA BA AAEA，又38,=AA于是2=A 且2=A AE.代入上式得*23=+BA BA A，即()*26=EABE，所以()11*1000600001000600261010606003060301=BEA.【19】设矩阵3101101aaa=AAO且（I）求a的值；（II）若矩阵22,+=XXXAAXAXAE E满足为3阶单位矩阵，求X 解析：（I）由3=AO，330=AA，所以31011001aaaa=A，故可得0a=（II）由条件22+=XXAAXAXAE，可知 222()()()()A=X EAX EAEA X EAE 故 1212121()()()()()EA=XEAEAEAEAA 因为2011111112=EAA，可得21312()111211=EAA，所以312111211=X 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 8 2.3 初等矩阵与初等变换初等矩阵与初等变换【20】A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵，记1100110001=P，2100001,010=P则=A（A）12PP.（B）112P P.（C）21P P.（D）121P P.解析：()21231,AEB E BE=，所以()23211E AEE=，()1121001100011PE=，322100001010EP=，所以21=P APE，得1121A=P P，又122=PP，所以121A=P P，应选 D.【21】设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且1100010002=P AP，若()123,=P ，()1223,=+Q ，则1=Q AQ （A）100020001.（B）100010002.（C）200010002.（D）200020001.解析：【法【法 1 1】211231223(,)(,)cc+=+P Q ，所以()211PEQ=.所以()()111212111Q AQEP APE=()()212110010010101010002002EE=，选 B.【法【法 2 2】1223123100(,)(,)110001Q =+=,所以111100100110110001001=Q AQP AP 100100100100110010110010001002001002=所以选 B.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 9 【22】设,A P均为3阶 矩阵，TP为P的转置 矩阵，且T100=010002P AP，若()()1231223,=+P Q ，则TQ AQ为（A）210110002（B）110120002（C）200010002（D）100020002 解析：【法【法 1 1】211231223(,)(,)cc+=+P Q ，所以()211PEQ=.所以()()TTT212111Q AQEP APE=()()212110021010101110002002EE=，选 A.【法【法 2 2】1223123100100(,)(,)110110001001=+=QP ，所以 TTTT100100100100110110110110001001001001=Q AQPAPP AP 110100100210010010110110001002001002=，故选 A 2.4 矩阵的秩矩阵的秩 【23】设矩阵0100001000010000=A，则3A的秩为 .解析：30100000100100000,0001000000000000AA=，所以3A的秩为 1.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 10 【24】设 矩 阵101112011=A，123,为 线 性 无 关 的3维 列 向 量，则 向 量 组123,AAA的秩为 解析：由于123,线性无关，则()123,3r =，123(,)为可逆矩阵 则123123(,)(,)()rrr=AAAAA .又101011000A，得123()2(,)rr AAA=A，所以123,AAA的秩为2【25】若A和B都是n阶非零方阵，矩阵A存在一个非零1n阶子式，且=ABO，则()r=A .解析：A和B都是非零方阵，所以()()1,1rrAB，矩阵A存在一个非零1n阶子式，所以()1rnA，=ABO，所以()()rrn+AB，联立()1r B，所以()1rnA，故()1rn=A.【26】设12243311t=A，B为三阶非零矩阵，且ABO=，则t=.解析：由题意可知()2r A，又因为B为三阶非零矩阵，所以()1r B，=ABO，所以()()3rr+AB，联立()1r B，所以()2r A，故()2r=A，1221221224308110113110770811ttt=A122011003t+，所以3t=.【27】已知实矩阵()3 3ija=A满足条件：（1）(),1,2,3ijijAai j=，其中ijA是ija的代数余子式；（2）110a.则其伴随矩阵A的秩为 .解析：(),1,2,3ijijAai j=，所以*T=AA，两边取行列式得 2=AA，解得0=A或1，A沿第 1 行展开得1112132221111121213130a Aa Aa Aaaa=+=+A，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 11 所以10=A，所以()3r=A，进而知()3r=A.第 3 章 线代 向量与方程组 3.1 线性相关性线性相关性【28】设任意两个n维向量组12,m 和1,m 若存在两组不全为 0 的数1,m和1,mkk 使()()()()111111mmmmmmkkkk+=0，则（）.（A）12,m 和1,m都线性相关.（B）12,m 和1,m都线性无关.（C）1111,mmmm+线性无关.（D）1111,mmmm+线性相关.解析：已知条件111111()()()()0mmmmmm +=可化为()()()()1111110mmmmmm +=,又1,m与1,m不全为零,故1111,mmmm+线性相关.故选(D).【29】设A为m n矩阵 齐次线性方程组=0Ax仅有零解的充分条件是（）.（A）A的列向量线性无关.（B）A的列向量线性相关.（C）A的行向量线性无关.（D）A的行向量线性相关.解析：Ax=0仅有零解等价于()A=rn，由于A列向量组的秩=A的列数，故A列向量线性无关，选 A.【30】设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中nm，E是单位矩阵，若=ABE，证明B的列向量组线性无关.解析：根据矩阵乘法知=ABE是n阶矩阵，所以 ()()ABE=rrn，又()()ABBrr，所以()Bn r，又()BB=的列数rn，所以()B=rn.由线性无关的充要条件知B的列向量组线性无关.【31】设向量组：12,r 可由向量组：12,s 线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则r s （B）若向量组线性相关，则rs（C）若向量组线性无关，则r s （D）若向量组线性相关，则rs.解析：因为向量组可由向量组线性表示，所以12(,)rr 12(,)sr ，又矩阵12(,)s 的列数为s，所以12(,)srs ，所以12(,)rr 12(,)srs ，对于（A），向量组线性无关，则12(,)=rrr ，代入上式，所以r s.故选 A【32】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 12 123,线性表示，则对于任意常数k，必有（A）12312,k+线性无关.（B）12312,k+线性相关.（C）12312,k+线性无关.（D）12312,k+线性相关 解析：因为向量组123,线性无关，所以()123,3r =；向量1 可由123,线性表示，所以存在一组数123,k k k使得1122331kkk+=成 立，且()()1231123,3rr =；向量2 不能由123,线性表示，所以()()1232123,rr ，即()1232,4r=.又()()123121232,k+，所以()()123121232,4rkr+=，故12312,k+线性无关，应选（A）.小课堂：()()()()()1122334123121232,ckckckckk+，当0k=时，()()12312123,03rkr+=，12312,k+线性相关；当0k 时，()()()1231212321232,4rkrkr+=，12312,k+线性无关.【33】设12,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则1，()12+A 线性无关的充分必要条件是（A）01.（B）02.（C）01=.（D）02=.解析：111222,=A A，且12,线性无关.则向量组()()1112111221221,(),(,)0+=+=A .因为12,线性无关，所以()12,2r=，进而知()111221,()0rr+=A，所以1和12()+A 线性无关的充要条件是122100=，故答案选 B.【34】设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1的特征向量，向量3满足323=+A.证明123,线性无关.解析：因为12,为A的分别属于特征值1,1特征向量，所以1122,=A A，且12,线性无关.【法【法 1 1】记112233kkk+=0 左乘A得1122323()kkk+=0，即1123233()kkkk+=0 由得11322kk=0，由于12,线性无关，所以130kk=，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 13 回代得22k=0，不难得20k=，综上，仅当1230kkk=时，式才成立，所以123,线性无关【法【法 2 2】记112233kkk+=0 左乘AE得，11322kk+=0，由于12,线性无关，所以130kk=，回代得22k=0，不难得20k=，综上，仅当1230kkk=时，式才成立，所以123,线性无关 【35】设()()T12,1,2,;iiiinaaair rn=是n维实向量，且12,r 线性无关.已知()T12,nb bb=是线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnrrrnna xa xa xa xa xa xa xa xa x+=+=+=的非零解向量.试判断向量组12,r 的线性相关性.解析：记()()T12,1,2,iiiinaaair=，由方程组得，()TT0 1,2,iiir=x x.因为()12,nb bb=是0=Ax的解，所以()T01,2,iir=，记11220rrkkkk+=左乘T 得T0k=因为0，所以T0 ，进而知0k=，回代得11220rrkkk+=因为12,r 线性无关，所以120rkkk=，回代得0k=，因为0，所以0k=.综上，仅当120rkkkk=，式才成立，所以向量组12,r 的线性无关.3.2 线性表出线性表出【36】已知()()()()TTTT1231,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,3,10,4ab=问：（I）,a b取何值时，不能由123,线性表出？（II）,a b取何值时，可由123,线性表出？并写出此表达式.解析：令()123,=A ，()120347110,011234ba=A 1203011200100002ab（I）当2b 时，()(,)r Ar A，故 不能由123,线性表出.（II）当2,1ba=时,()(,)3=r Ar A,表示法唯一，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 14 此时()1203100101120102,0010001000000000aA 解得()T1,2,0=x，代入()123,=x 得122.=+当2,1ba=时,()(,)2=r Ar A,表示法不唯一，此时()1203102101120112,0000000000000000A，解得212kkk=+x，代入()123,=x 得123(21)(2)kkk=+.【37】已知1=()1,0,2,3 2=()1,1,3,5 3=()1,1,2,1a+4=()1,2,4,8a+及=()1,1,3,5b+.（）,a b为何值时，不能表示成1234,的线性组合？（）,a b为何值时，有1234,的唯一的线性表达式？并写出该表示式.解析：记()()TTTTT1234,=AAA，111111111101121011212324301213518 50225 2ababaa=+A111110112 1.001000010aba+（）当1,0ab=时，()()r Ar A 不能表示成1234、的线性组合.（）当1a 时，()()4.rr=AA表示法唯一，此时方程组的唯一解为T21(,0)111babbaaa+，故12321111+=+babbaaa.【38】设向量组，()()()()TTTT123,2,10,2,1,5,1,1,4,1,ab c=，试问,a b c满足什么条件时，（I）可由123,线性表出，且表示唯一？（II）不能由123,线性表出？（III）可由123,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.解析：【法【法 1 1】设3 1221 3+=xxx.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 15 ()32112112111201214510031044=+aa,babcac 121012100431+aababc,（I）当4a 时，()()3213213=r,r,，方程组为唯一解，可由123,线性表出，且表出唯一.（II）当4a=且31bc时，()()321321r,r,，方程组无解，不可由123,线性表出.（III）当4a=且31=bc时，()()32132123=r,r,方程组有无穷多解，此时()3211241100210121012100000000+b,bb ，通解12302121212110 x+=+=xbbxkbkbxk，且()()1232121+=kkbb.【法【法 2 2】设1 12233+=xxx ()123212121121141054001A=+aa,a ,（I）4a 时，0A,方程组为唯一解，可由123,线性表出，且表出唯一.（II）当4a=时，0A,有可能无解或无穷多解，对增广矩阵作初等行变换得()1234211211211,211421100112105410540015=+bbbbcccb 2110011200031+bbcb（1）当4a=且310cb+时，有()()12312323r,r,=方程组无解，不能表示（2）当4a=且310cb+=时，()()1231232r,r,=方程组有无穷多解，此时()1232112101,0011200112000310000+bbbbcb 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 16 其通解为12310212102121x=+=+xkxkbkbxbb，得()()1232121+=kkbb.【39】已知向量组12301,2,1110ab =与向量组 1231392,0,6317 =具有相同的秩，且3 可由123,线性表出，求,a b.解析：139139206106121 23170010203bbbb()139120126000531 23bbbb+，所以()1232=,.又因为3可由123,线性表出，所以()()1231233 =,，综上()()12312332=,，进而知()531 203+=bb，解得5b.=由题意知，()()1231232=,，所以()1230505121121150110031=aa,a,解得15=a.综上15=a，5b.=【40】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由123,线性表示，求()1231,r ，()1232,r ，()12312,2r +，()12312,2r .解析：因为向量组123,线性无关，所以()123,3r =；向量1 可由123,线性表示，所以存在一组数123,k k k使得1122331kkk+=成 立，且()()1231123,3rr =；向量2 不能由123,线性表示，所以()()1232123,rr ，即()()1232123,14rr =+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 17 又()()123121232,2,+，()()()1231212321232,2,，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以()()()12312123121232,2,2,4rrr +=.【41】设向量组123,线性相关，设向量组234,线性无关，问：（）1 能否由23,线性表出？证明你的结论.（）4 能否由123,线性表出？证明你的结论.解析：（）即比较()()12323,rr 的大小关系.向量组234,线性无关，所以向量组23,线性无关，()23,2r=，向量组123,线性相关，所以()123,3r ，又()()12323,2=rr ，所以()123,2r=，综上()()12323,2rr=，所以1 能由23,线性表出.（）即比较()()1234123,rr 的大小关系.向量组234,线性无关，所以()234,3r=，进而知 又由（）知()123,2r=，所以()()1234123,rr ，故4 不能由123,线性表出.【42】若向量组,线性无关，,线性相关，则（A）必可由,线性表示.（B）必不可由,线性表示.（C）必可由,线性表示.（D）必不可由,线性表示.解析：向量组,线性无关，所以向量组,线性无关，又,线性相关，所以 可由向量组,线性表示，亦可由,线性表示.选C.3.3 向量组的秩与极大无关组向量组的秩与极大无关组【43】已 知 向 量 组()()()1231,2,1,1,2,0,0,0,4,5,2t=的 秩 为2，则t=.解析：解析：【法【法 1 1】初等变换法 12312111211121120004220422045204520030tttt=+，1232r=，所以3t=.【法【法 2 2】行列式 12312112000452t=，()()1234234,3rr=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 18 因为1232r=，所以矩阵123 中任意三阶子式均等于零.其中一个三阶子式121121121200420420045045003tttt=+=+=解得3t=【44】已知向量组（I）123,;（II）124,;（III）1235,，如果各向量组的秩分别为()()III3rr=，()III4r=.证明:向量组12354,的秩为4.解析：解析：因为(I)(II)3rr=，所以4可由123,线性表示，进而知()()123541235,，因为初等变换不改变矩阵的秩，所以()()123541235,4rr =，【45】设n维向量组()()TT121,1,1,1,2,2,2,2aa=+=+，()()TT33,3,3,3,nan n nna=+=+，问a为何值时123,n 线性相关？当123,n 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出.解析：解析：记矩阵12(,)n=A，则()11231231()1232123nanann naaanna+=+A.于是当0a=或()12n na+=时，12,n 线性相关.（1）当0a=时，1 为12,n 的一个极大线性无关组，且213112,3,nn=.（2）当()12n na+=时,对A作初等行变换 123123123001230012300anananaaanaanaaa+=+消成比例元素A 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 19 1230000110011001010101010011001an+倍乘消公因子消第一行，故23,n 为12,n 的一个极大线性无关组，且123n=.小课堂：()12n na+=时0=A，所以()1rnA，又由123111100010001an+知()1rnA，所以()1rn=A，注意到矩阵123111100010001an+的后1n行线性无关，必可表示第一行，故第一行可直接消为零.【46】设向量组()()()TTT1231,1,1,3,1,3,5,1,3,2,1,2p=+，()T42,6,10,p=（I）p为何值时，该向量组线性无关？并在此时将向量()T4,1,6,10=用124,线性表出；（II）p为何值时，该向量组线性相关？并此时求出它的秩和一个极大线性无关组.解析：解析：()12341132402143,001010002 1pp ，（I）当2p 时，()1234,4r=，1234,线性无关.此时()12341132402143,001010002 1pp 解得T3412,1,22pppp=x，得1234341222pppp=+.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 20 （II）当2p=时，()123411320214,00100000 ，()1234,34r=，1234,线性相关，且123,是极大无关组.3.4 齐次线性方程组齐次线性方程组【47】齐次线性方程组21231231230,0,0 xxxxxxxxx+=+=+=的系数矩阵记为A.若存在三阶矩阵BO使得=ABO，则（A）2=且0=B.（B）2=且0B.（C）1=且0=B.（D）1=且0B.解析：解析：0B，()1r B，=ABO，所以B的列向量均是0=Ax的解，且()()3rr+AB.所以0=Ax有非零解，由克拉默法则知()222211010111011101111111=A()210=，解得1=.排除 A，B.此时()1r=A，代入()()3rr+AB得()2r B，所以|0B=.选 C 【48】已知三阶矩阵BO且B的每一个列向量都是以下方程组的解:123123123220,20,30.xxxxxxxxx+=+=+=则（I）求的值;（II）证明0=B.解析：解析：（I）=ABO所以B的列向量均是0=Ax的解，又BO，所以0=Ax有非零解，进而知()1221002125425540311355=+=+=A，解得1=.（II）此时122122122211055011311055000=A，所以()1r=A，所以基础解系的向量个数2S=，因为B的列向量均是0=Ax的解，所以B的列向量均可由0=Ax的基础解系表示，所以()2Sr B=，所以0B=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 21 【49】设A是m n矩阵，B是n m矩阵，则线性方程组()=0AB x （A）当nm时仅有零解.（B）当nm时必有非零解.（C）当mn时仅有零解.（D）当mn时必有非零解.解析：A是m n矩阵，B是n m矩阵，AB是m阶方阵，（注：比较()r AB与m的大小关系.）当mn时，()()rrnmABA，此时方程组()0=AB x必有非零解.选 D.【50】设有齐次线性方程组()()()()123412341234123410,22220,33330,44440,a xxxxxa xxxxxa xxxxxa x+=+=+=+=试问a取何值时,该方程组有非零解,并求出其通解 解析：解析：1111222233334444aaaa+=+A3(10)aa=+当0=A，即0a=或10a=时,方程组有非零解.（i）当0a=时，11111111222200003333000044440000=A 通解123111100010001kkk=+x.（123,k k k为任意常数）（ii）当10a=时,11111111222220033333004444400aaaaaaaaaaaA+=+1111210030104001a+0000210030104001.通解()T1,2,3,4k=x.（k为任意常数）【51】设齐次线性方程组 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 22 1231231230,0,0,nnnaxbxbxbxbxaxbxbxbxbxbxax+=+=+=其中0,0,2abn，试讨论,a b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.解析：解析：000000abbbabbbbabbbaabAbbabbaabbbbabaab=()()()110001000000nanbbbbabanbababab+=+.讨论（1）()1anbab 且时，0A，方程组仅有零解.（2）()1anbab=或时，0=A，方程组为无穷解.（i）当ab=时，1111000000000000000000000000bbbbbbbbbbbbAbbbbbbbb=通解121111100010001nkkk=+x.（121,nk kk为任意常数）（ii）当()1anb=时，000000abbbabbbbabbbaabAbbabbaabbbbabaab=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 23 0000110011001010101010011001abbb 通解()T1,1,1k=x.（k为任意常数）【52】已知3阶矩阵A的第一行是(),a b ca b c不全为零，矩阵12324636k=B（k为常数），且=ABO，求线性方程组=Ax0的通解.解析：解析：由=ABO知，B的每一列均为=AX0的解，且()()3rr+AB.（1）若9k，则()2r=B，于是()1r A，又因为AO，故()1r=A.此时=Ax0的基础解系的向量个数为3()2r=A.因为矩阵B的第一、三列线性无关，可作为其基础解系的解向量，故=Ax0的通解为 12121326,3kkk kk =+x为任意常数.（2）若9k=，则()1r=B，从而1()2r A.当()2r=A时，则=Ax0的通解为1112,3kk =x为任意常数.当()1r=A时，其第一行是(,)a b c，且矩阵A的各行元素对应成比例，故=Ax0的同解方程组为 0321=+cxbxax.不妨设0a，则其通解为 121210,01bcaakkk k=+x为任意常数.【53】设n阶矩阵A的伴随矩阵*A0，若1234,是非齐次线性方程组=Axb的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组=Ax0的基础解系（A）不存在 （B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量 （D）含有三个线性无关的解向量 解析：解析：*A0，所以()*1r A，进而知()1rn=A或()rn=A，又=Axb有无穷多解，所以()(),rrn=AA b，由此知()1rn=A，进而知=Ax0的基础解系的向量个数()1tnr=A，选 B.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 24 【54】设124,为线性方程组=Ax0的一个基础解系，112223,tt=+=+，334441,tt=+=+，试问实数t满足什么关系时，1234,也为=Ax0的一个基础解系.解析：解析：1234,为线性方程组=Ax0的一个基础解系，所以基础解系的向量个数4t=，1234,均是=Ax0的解，1234,线性无关.由齐次解的线性组合亦是齐次解知，1234,均是=Ax0的解，所以欲使1234,是=Ax0的一个基础解系，只需1234,线性无关即可.()()12341234100100,010001tttt=,记100100010001tttt=C.41001001010001ttttt=C，所以当1t 时，0C，此时()()1234,4rr=C ，即1234,线性无关，1234,亦是一个基础解系.3.5 非齐次线性方程组非齐次线性方程组【55】非齐次线性方程组=Axb中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则（A）rm=时，方程组=Axb有解.（B）rn=时，方程组=Axb有唯一解.（C）mn=时，方程组=Axb有唯一解.（D）rn时，方程组=Axb有无穷多解.解析：解析：对于选项 A，rm=，即系数矩阵A行满秩，则()(),rr=A bA，所以方程组=Axb有解，选 A.其他选项的条件均不能推出()(),rr=A bA.【56】设A是m n矩阵，=Ax0是非齐次线性方程组=Axb所对应的齐次线性方程组，则下列结