第二章 一元函数微分学_考研资料.pdf

2022 考研数学满分过关 1501第第二二章章一一元元函函数数微微分分学学重重点点题题型型一一导导数数与与微微分分的的概概念念【例例 2.1】（中国人民大学 2001）设12(1)1()arcsin1xxxxf xex，则(1)f.【详详解解】【例例 2.2】设23 1,0()1ln(1)2,02xexxf xxxxx.若()(0)nf存在，则n的最大值为.【详详解解】【例例 2.3】（江苏省 1996 年竞赛题）设1350121lim1 coscoscos,01()lim 11,0!(),0nnnxnxxxnnnnf xxx dxxnfxx（I）讨论()f x在0 x 处的可导性；（II）求()f x在,上的最大值.2022 考研数学满分过关 1502【详详解解】【例例 2.4】（1）（江苏省 1994 年竞赛题）设)(xf在0 x 处可导，且(0)0f，求极限22212limnnfffnnn；（2）设)(xf在0 xx处可导，,nn为趋于零的正项数列，求极限00()()limnnnnnf xf x.【详详解解】【例例 2.5】（1）设()f x在(0,)内有定义，且(1)1f.若对任意,(0,)x y，有()()()f xyf xf y，求()f x；（2）设()f x连续，且()0f x，(1)2f.若对任意,(,)x h ，有2(1)()()()x hxt tf xhdtf xf t，求()f x.【详详解解】2022 考研数学满分过关 1503重重点点题题型型二二导导数数与与微微分分的的计计算算【例例 2.6】设()f x在0 x 处二阶可导，反函数为()xy，且20()1lim1xf xxx，则(1).【详详解解】【例例 2.7】设()yf x由参数方程231210y tuxtttedu 确定，则220td ydx.【例例 2.8】（1）设22021()(1)f xx，则(2021)(2021)(1)(1)ff；（2）（江苏省 1994 年竞赛题）设22()(32)cos16nf xxxx，则()(2)nf；（3）设()f x满足22()()01xfxf xxx，且(1)ln2f.若3n，则()()nfx.【详详解解】2022 考研数学满分过关 1504【例例 2.9】（1）设21()124f xxx，则(2020)(0)f，(2021)(0)f；（2）设1()arctan1xf xx，求(2020)(0)f，(2021)(0)f；（3）设01sin,0(),0 xtdt xf xxtAx连续，则(8)(0)f，(9)(0)f；（4）（武汉大学 2012）设201cos,0(),0 xt dt xf xxAx连续，则(8)(0)f，(10)(0)f.【详详解解】（2022 考研数学满分过关 1505重重点点题题型型三三导导数数应应用用求求切切线线与与法法线线【例例 2.10】设连续曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为1yx，求极限22020(1)limlncosxtxtxe fee dtxx.【详详解解】重重点点题题型型四四导导数数应应用用求求渐渐近近线线【例例 2.11】曲线11arctanxxxxeexyxee有【】（A）三条渐近线和一个第一类间断点（B）三条渐近线和两个第一类间断点（C）两条渐近线和两个第一类间断点（D）两条渐近线和一个第一类间断点【详详解解】【例例 2.12】求下列曲线的渐近线：（1）1(1)1xxxyex；（2）121xyex；2022 考研数学满分过关 1506（3）122(23)(1)arctanxxxeyxx.【详详解解】重重点点题题型型五五导导数数应应用用求求极极值值与与最最值值【例例 2.13】设(),()f x g x在0 xx处可导，且00()()0f xg x，00()()0fx g x，则【】（A）0 x不是()()f x g x的驻点（B）0 x是()()f x g x的驻点，但不是极值点（C）0 x是()()f x g x的驻点也是极小值点（D）0 x是()()f x g x的驻点也是极大值点【详详解解】【例例 2.14】（江苏省 2010 年竞赛题）当0 x 时，2axxe恒成立，则a的最小值为.【详详解解】2022 考研数学满分过关 1507【例例 2.15】2220()(1 5)1xdtF xtt的值域是.【详详解解】【例例 2.16】设)(xf在2x处连续，且20ln(2)lim41 cosxxf xex，证明2x是)(xf的驻点也是极值点.【详详解解】【推推广广】设)(xf在0 x处连续，且0()lim(1)kxf xkx存在，则(0)0f，(0)0f.【例例 2.17】证明：当0 x 时，2201()sin(22)(23)xntttdtnn，其中n为自然数.【详详解解一一】【详详解解二二】2022 考研数学满分过关 1508【例例 2.18】证明：当0 x 时，11(1)14xxxx，当且仅当1x 时等号成立.【详详解解】【例例 2.19】证明：当02x时，2224112tan3xx.【详详解解】【例例 2.20】（浙江省 2003 年竞赛题）2022 考研数学满分过关 1509（I）证明：当01x时，11111ln2ln(1)2xx；（II）求使得不等式1111nnenn对所有正整数n都成立的最大的数与最小的数.【详详解解】（I）【2017，数数三三】设方程11ln(1)kxx在(0,1)内有实根，求k的取值范围.重重点点题题型型六六导导数数应应用用求求凹凹凸凸性性与与拐拐点点【例例 2.21】设()f x满足()(1 cos)()()sinfxx fxxf xx，且(0)2f，则【】（A）0 x 是()f x的极小值点（B）0 x 是()f x的极大值点（C）曲线()yf x在点(0,(0)f的左侧邻近是凹的，右侧邻近是凸的（D）曲线()yf x在点(0,(0)f的左侧邻近是凸的，右侧邻近是凹的【详详解解】【例例 2.22】下列命题正确的是【】（A）设点00(,()xf x是()yf x的拐点，则0 xx不是()f x的极值点（B）设()f x在0 xx处二阶可导，0 xx是()f x的极小值点，则0()0fx，0()0fx（C）设()f x在(,)a b内只有一个驻点0 x，且0 xx是()f x的极小值点，则0()f x是()f x的最小值（D）设()0fb，则()f b不是()f x在,a b上的最大值【详详解解】2022 考研数学满分过关 15010【例例 2.23】（江苏省 1996 年竞赛题）曲线222()(1)(3)f xxxx拐点的个数为.【详详解解】重重点点题题型型七七导导数数应应用用证证明明不不等等式式【例例 2.24】（1）（莫斯科 1977 年竞赛题）证明：当0 x 且1x 时，ln11xxx；（2）证明：当0 x 时，0arctanxte dtx.【详详解解】（1）（2）令0()arctan,0 xtf xxe dt x，则2022 考研数学满分过关 15011【例例 2.25】（1）证明：当0 x 时，211ln 121(1)xxxx；（2）设()f x在0,内可导，且(0)1f，()()fxf x.证明：当0 x 时，()xf xe；【详详解解】【例例 2.26】设()f x在,a b上二阶可导，且()0fx.证明：（I）对任意12,xxa b，有1212()()22xxf xf xf；（II）1()()()22baabf af bff x dxba.【详详解解】（I）【方方法法一一】.【方方法法二二】（II）【方方法法一一】【方方法法二二】【2014，数数一一、数数二二、数数三三】设()f x二阶可导，()(0)(1)(1)g xfxfx，则在0,1上（A）当()0fx时，()()f xg x（B）当()0fx时，()()f xg x（C）当()0fx时，()()f xg x（D）当()0fx时，()()f xg x2022 考研数学满分过关 15012重重点点题题型型八八导导数数应应用用求求方方程程的的根根【例例 2.27】方程111012150 xxx实根的个数为.【详详解解】【例例 2.28】求方程230 xtedtxx实根的个数.【详详解解】【例例 2.29】（天津市 2003 年竞赛题）设21111()(1)2tF xext edt，证明()0F x 在(1,1)内只有两个实根.【详详解解】【例例 2.30】设()Df txyt dxdy，其中(,)|01,01Dx yxy，0,1t.（I）求()f t；（II）证明()0f t在(0,1)内只有一个实根.2022 考研数学满分过关 15013【详详解解】【例例 2.31】（1）讨论方程lnaxx实根的个数；（2）（北京市 2004 年竞赛题）设方程logbaxx有实根，其中1a，0b，求,a b的取值范围.【详详解解】【2021，数数二二、数数三三】设()ln(0)f xaxbx a有两个零点，则ba的取值范围是（A）(,)e（B）(0,)e（C）10,e（D）1,e【例例 2.32】（北京市 1994 年竞赛题）设2()(2,3,)nnfxxxxn.（I）证明方程()1nfx 在0,内只有一个实根nx；（II）求limnnx.【详详解解】【2012，数数二二】（I）证明方程11nnxxx（n为大于 1 的整数）在1,21内只有一个实根；（II）记（I）中的实根为nx，证明nnxlim存在，并求此极限.2022 考研数学满分过关 15014重重点点题题型型九九Rolle 中中值值定定理理证证明明题题【例例 2.33】设()f x在(,)a b内可导，则下列结论正确的是【】（A）设()f x在(,)a b内只有一个零点，则()fx在(,)a b内没有零点（B）设()fx在(,)a b内至少有一个零点，则()f x在(,)a b内至少有两个零点（C）设()fx在(,)a b内没有零点，则()f x在(,)a b内至多有一个零点（D）()f x在(,)a b内没有零点，则()fx在(,)a b内至多有一个零点【详详解解】【例例 2.34】设连续函数()f x在,a b上单调递增，且()0f a，()0baf x dx.证明：（I）存在(,)a b，使得()0af x dx；（II）存在(,)a b，使得()()af x dxf.【详详解解】【例例 2.35】设()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导.证明：（I）若21130(1)3()xfef x dx，则存在(0,1)，使得()2()ff；2022 考研数学满分过关 15015（II）若(1)0f，2()01arctan2f xexdx，则存在(0,1)，使得2(1)()arctan1f.【详详解解】【2001，数数三三】设()f x在0,1上连续，在(0,1)内可导，且110(1)()(1)xkfkxef x dx k.证明：存在(0,1)，使得1()(1)()ff.【例例 2.36】设()f x在0,1上二阶可导，且0()lim1xf xx，1()lim21xf xx.证明：（I）存在(0,1)，使得()0f；（II）存在两个不同的点12,(0,1)，使得()()(1,2)iiffi；（III）存在(0,1)，使得()()ff.【详详解解】【例例 2.37】（1）（江苏省 2004 年竞赛题）设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，且()f aa，221()()2baf x dxba.证明：存在(,)a b，使得()()1ff；（2）设(),()f x g x在0,1上连续，在)1,0(内可导，且(0)(1)1ff，101()2f x dx.证明：存在(0,1)，使得()()()1fgf；（3）设)(),(xgxf在0,1上连续，在)1,0(内可导，且11203()3()f x dxf x dx.证明：存在两个不同的点)1,0(,，使得()()()()fgff.【详详解解】2022 考研数学满分过关 15016【例例 2.38】设()f x在10,2上二阶可导，且(0)(0)ff，102f.证明：存在10,2，使得3()()1 2ff.【详详解解】【例例 2.39】（1）设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导.证明：存在(,)a b，使得()()()()bf baf affba；（2）设()f x在,a c上二阶可导，abc，证明：存在(,)a c，使得()()()1()()()()()()()2f af bf cfab acba bcca cb；（3）（南京大学 1995）设()f x在(0,1)内三阶可导，01ab，证明：存在(,)a b，使得31()()()()()()()212baf bf abafaf bf.【详详解解】2022 考研数学满分过关 15017【例例 2.40】（江苏省 2002 年竞赛题）设()f x在,a b上连续，且()()0bbxaaf x dxf x e dx，证明()f x在(,)a b内至少有两个零点.【详详解解一一】.【详详解解二二【推推广广】设()g x在,a b上有一阶连续导数，对任意(,)xa b，有()0g x.若()f x在,a b上连续，且()()()0bbaaf x dxf x g x dx，则()f x在(,)a b内至少有两个零点.【2000，数数一一、数数二二、数数三三】设()f x在0,上连续，且0()0f x dx，0()cos0f xxdx.证明：在(0,)内至少存在两个不同的点12,，使得12()()0ff.重重点点题题型型十十Lagrange 中中值值定定理理证证明明题题【例例 2.41】（莫斯科 1975 年竞赛题）设()f x在(0,)内可导，lim()xfx存在，且lim()()xfxf xl，则lim()xfx；lim()xf x.【详详解解】【例例 2.42】（1）（莫斯科 1976 年竞赛题）当1x 时，222arctanarcsin1xxx；（2）当02x时，22sincos00arcsinarccosxxtdttdt.【详详解解】2022 考研数学满分过关 15018【例例2.43】（全国大学生2020年竞赛题）设()f x在01，上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f.证明：（I）存在(0,1)，使得()23f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得1()1()4ff.【详详解解】【2005，数数一一、数数二二】已知函数()f x在01，上连续，在(0,1)内可导，且(0)0f，(1)1f.证明：（I）存在(0,1)，使得1)(f；（II）存在两个不同的点)1,0(,，使得.1)()(ff【例例 2.44】设()f x在,a b上连续，在(,)a b内二阶可导，且()()0f af b，()0fa.证明：存在(,)a b，使得()0f.【详详解解一一】【详详解解二二】【详详解解三三】2022 考研数学满分过关 15019【2008，数数二二】证明：（I）设()f x在,a b上连续，则存在,a b，使得()()()baf x dxfba；（II）设()x二阶可导，且(2)(1)，32(2)()x dx，则存在(1,3)，使得()0.【2019，数数二二】设()f x在0,1上二阶可导，且(0)0f，(1)1f，10()1f x dx.证明：（I）存在(0,1)，使得()0f；（II）存在(0,1)，使得()2f.重重点点题题型型十十一一Cauchy 中中值值定定理理证证明明题题【例例 2.45】设()f x在,a b上连续，在(,)a b内可导，其中0a.证明：存在,(,)a b ，使得22()()()()()ln2baffbeebafea【详详解解】【例例 2.46】（1）证明：当02时，coscos11；（2）证明：当0 x，0y 且xy时，11xyxyeexy.【详详解解】2022 考研数学满分过关 15020【例例 2.47】证明：（I）当01x时，1ln(1)1arcsinxxxx；（II）当2x时，1 sinln(1sin)1sinxxxx.【详详解解】（I）.【方方法法二二】（II）.【例例 2.48】证明：当0 x 时，22221(arctan)ln(1)1arctanxxxxxxxx.【详详解解一一】【详详解解二二】重重点点题题型型十十二二Taylor 公公式式证证明明题题【例例 2.49】（1）设()f x在,a b上二阶可导，且()()0faf b.证明：存在(,)a b，使得24()()()()ff bf aba；（2）（莫斯科 1977 年竞赛题）设()f x在0,1上二阶可导，且(0)(1)0ff，0,1min()1xf x，证明0,1max()8xfx.2022 考研数学满分过关 15021【详详解解】（1）【例例 2.50】设()f x在,a b上有二阶连续导数.证明：存在(,)a b，使得3()()()()224baabbaf x dxba ff.【详详解解】【例例 2.51】（1）（北京市 1990 年竞赛题）设)(xf在0,2上二阶可导，且()1f x，()1fx，证明()2fx；（2）设)(xf在0,1上二阶可导，且1()f xM，2()fxM，证明21()22MfxM.【详详解解】2022 考研数学满分过关 15022【例例 2.52】（1）（莫斯科 1977 年竞赛题）设()f x二阶可导，且lim()xf xA，lim()0 xfx，证明lim()0 xfx；（2）设)(xf三阶可导，且lim()xf xA，lim()0 xfx，证明lim()lim()0 xxfxfx.【详详解解】（1）.