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1 2016 全国研究生入学考试考研数学三解析 2016 全国研究生入学考试考研数学三解析 本试卷满分 150，考试时间 180 分钟 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上.（1）（1）设 函 数()yf x在-+，内 连 续，其 导 数 的 图 像，如 图 所 示，则（A）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点（B）函数()f x有 2 个极值点，曲线()yf x有 3 个拐点（C）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 1 个拐点（D）函数()f x有 3 个极值点，曲线()yf x有 2 个拐点【答案答案】：（B）【解析】：（B）【解析】由图可知曲线有两个点左右两边导数符号不一样，有三个点左右两边导函数单调性不一样，故有 2 个极值点，3 个拐点.（2）（2）已知函数,xef x yxy，则（A）0 xyff （B）+0 xyff （C）xyfff （D）xyfff【答案】：【答案】：（D）【解析】【解析】22,xxxxyxyeeefffffxyxyxy.（3）（3）设3=1,2,3,iiDJxydxdy i其中 2 2123,|01,01,=,|01,0,|01,1Dx yxyDx yxyxDx yxxy，（A）123JJJ（B）312JJJ （C）231JJJ （D）213JJJ【答案】：【答案】：（B）【解析】【解析】123DDD，如图 易知在12DD中30 xy，在 13DD中30 xy，可知1213JJJJ，故选 B（4）（4）级数111sin1nnknn，k为常数（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛性与k有关【答案】：【答案】：（A）【解析】【解析】321111111sin=111112nnnknnnnn nn nnnn 由于级数31212nn是收敛的，故原级数绝对收敛.（5）（5）设,A B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）ATA与TB相似 B 1A与1B相似 C TAA与TBB相似 D1AA与1BB相似【答案答案】：C【解析】：【解析】：因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得1,P APB两端取转置与逆可得：1TTTTP APB,111P A PB,111PAAPBB,可知 A、B、D均正确，故选择 C。（6）（6）设二次型22212312312231 3,222f x x xa xxxx xx xx x的正负惯性指数分别为1,2，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3 则（A）1a （B）2a （C）-21a （D）12aa或 【答案】【答案】（C）【解析】【解析】二次型矩阵为111111aaa，其特征值为1,1,2aaa，可知10,20aa，即21a，故选择（C）（7）（7）设,A B为两个随机事件，且0()1,0()1P AP B,如果|1P A B,则（A）|1P B A （B）|0P A B （C）P AB()=1 （D）|1P B A 【答案】：【答案】：（A）【解析】【解析】|1P ABP A BP B,可知 ,0P ABP BP ABP BP AB 可知|=1P BAP AP ABP B AP AP A（8）（8）设随机变量X与Y相互独立，且12,1XNYN，4,则D XY （A）6 （B）8 （C）14 （D）15【答案答案】：（C）【解析】【解析】222D XYEX YEXY，22221,3 515,=14EXYEXEYEX YEX EYD XY 则。故选（C）二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上.指定位置上.（9）已知函数()f x满足301()sin21lim21xxf xxe，则0lim()xf x_.【答案答案】：6 【解析】【解析】301()sin21lim21xxf xxe 由等价无穷小替换得，01()sin22lim23xf xxx,01()22lim23xf xxx。因此0lim()6xf x （10）极限2112limsin2sinsinnnnnnnn_.【答案】：【答案】：cos1 sin1 4 【解析】【解析】221111211limsin2sinsinlimsinlimsinnnnnniiniiininnnnnnnnn 1110001sincoscoscoscos1 sin10 xxdxxdxxxxdx （11）设 函 数,fu v可 微，,zzx y由 方 程221,xzyx f xz y确 定，则0,1_dz【答案答案】：0,12d zd xd y 【解析解析】：由一阶微分形式不变性，2212(1)22(,)(,)(,)zdxxdzydyxf xz y dxx fxz ydxdzx fxz y dy 将0,1,1xyz代入，20dxdzdy,所以，0,12dzdxdy （12）设=,|1,11Dx yxyx，则22=yDx edxdy_【答案答案】：e3231【解析解析】：2222111222300021222333yyyyyDDx edxdyx edxdydyx edxy edye（其中1D为D在第一象限部分）（13）行列式100010_0014321【答案答案】：432234【解析解析】：令-1000-10=00-1432+14D 由展开定理地递推公式2433224,3,2DDDDD，故（14）设袋中有红、白、黑球各 1 个，从中有放回地取球，每次取 1 个，直到三种颜色的球都取到时停止，则取球次数恰好为 4 的概率为_.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5 【答案】【答案】29【解析解析】：要求前三次必须恰好取到两种不同颜色的球，第四次取到剩下一种颜色的球 前三次恰好取到两种不同颜色球的概率为233322233C，在前三次恰好取到两种不同颜色的球的前提下，最后一次取到剩下一种颜色的球的概率为13。故所求概率为29。三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求极限410lim cos22 sinxxxxx【解析解析】由重要极限得，原式为 243444444000111112221()()cos22 sin1224613limlimlim3xxxxxx xxo xxo xxxxxxxeeee （16）(本题满分 10 分)设某商品的最大需求量为1200件，该商品的需求函数 QQ p，需求弹性0120pp，p为单价（万元）（）求需求函数的表达式（）求100p 万元时的边际收益，并说明其经济意义。【解析解析】（1）由弹性的计算公式P dQQ dP 可得，120P dQPQ dPP。分离变量，得120dQdPQP；两边同时积分，可得lnln(120)QPC，即(1 2 0)Q CP（C为任意常数）。由于最大需求量为1200，可知 01200Q，故10C，因此10(120)QP（）10(120)RQPP P 边际收益为1(120020)()212010dRdR dPPPdQdP dQ，从而10080PdRdQ。它的经济意义是需求量每提高 1 件，收益增加 80 万元。6 （17）(本题满分 10 分)设函数 12200f xtx dtx，求 fx，并求 f x的最小值。【解析解析】：01x 时，1222232041()33xxf xxt dttx dtxx 当1x 时，122201()3f xxt dtx 所以，32241,0133()1,13xxxf xxx，从而242,01()2,1xxxfxx x 由导数的定义可知(1)2,f，可知242,01()2,1xxxfxx x 易知，当10,2x时，()0fx；当1,12x时，()0fx；当1,x时，()0fx。可知，()f x的最小值为1124f（18）（18）(本题满分 10 分)设函数 f x连续，且满足 001xxxf xt dtxt f t dte，求 f x【解析】：【解析】：0 xf xt dt做变量替换uxt，则 000 xxxf xt dtf uduf u du 则代入方程可得：0001xxxxf u duxf t dttf t dte 两边同时求导数可得：01xxf xf t dte 由于 f x连续，可知 0 xf t dt可导，从而 f x也可导，故对上式两边在求导可得：xfxf xe 由 1式两边令0 x 可得到，01f 解微分方程可得：1122xxf xee 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 （19）（19）(本题满分 10 分)求幂级数2201 21nnxnn的收敛域及和函数。【解析解析】：易知022)12)(1(nnnnx的收敛半径为1,且当1x与1x时，级数收敛,可知幂级数的收敛域为 1,1.令022)12)(1()(nnnnxxf，两边同时求导可得：012122)(nnnxxf.两边再求导可得202122)(xxxfnn.积分可得Cxxxf11ln)(.由于0)0(f，可知)1ln()1ln()(xxxf，再积分可得Cxxxxxf)1ln()1()1ln()1()(.由于0)0(f，可知)1ln()1()1ln()1()(xxxxxf.又，2ln2)1(f；2ln2)1-(f 因此，)1,1(,1,2ln2)1ln()1()1ln()1()(xxxxxxxf,.（20）（本题满分 11 分)设矩阵11101111aaaaA，2210a，且方程组Ax无解.（1）求a的值.（2）求方程组TTAAxA的通解.8 【解析】：【解析】：（1）21110012100022aAaaa a，方程组Ax无解，可知0a。（2）322222222TA A，122TA 3221100 1222201122222000 0TTA A A，则通解为0112,10kkR （21）(本题满分 11 分)已知矩阵000032110A.（1）求99A.（2）设三阶矩阵),(321B满足BAB 2，记),(321100B，将321,分别表示为321,的线性组合。【解析】：【解析】：（1）2112303200EA，可知A的特征值为：0,1,2。3100112230011000000A，则0的特征向量为322 111110220001001000AE，则1的特征向量为110 11021122210001002000AE，则2的特征向量为120 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 令311212200P，则1012P AP ,1AP P,则有 9999989999110010099991003110221 22222121212221 22220021000112APP（2）2BBA可知 10099BBA，即 99999810010099123123221 222221 222000，则991001122222，991002121 21 2，98993122222（22）(本题满分11分)设二维随机变量),(YX在区域2(,)|01,Dx yxxyx服从均匀分布，令YXYXU01（1）写出),(YX的概率密度.（2）问U与X是否相互独立，说明理由。（3）求XUZ的分布函数)(ZF.【解析】：【解析】：（1）D的面积31)(102dxxxS，则),(YX的概率密度其他0),(3),(Dyxyxf.（2）其他，010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX xXXxxxxxdttfxF1110200)()(323 10 当0U 时，2300320111xP Xxxxxx，可知X与U有关，故不独立。（3）)(zUXPzZPzF 0|211|1210|01|1UzXPUzXPUzYXPUPUzUXPUP 其中323220000|03201,|143011111xxP Xx UxxxP Xx Uxxxxx 故322011|14(1)3(1)1212zP XzUzzzz 2300|0320111zP Xz Uzzzz.从而233220,0132,012()114(1)3(1),12221,2zzzzF zzzzz（23）(本题满分 11 分)设总体X的概率密度为f(X;q)=3x2q3,0 x q0,，其中),0(为未知参数，321,XXX为来自总体X的简单随机样本,令,max321XXXT （1）求T的概率密度。（2）确定a，使得)(aTE.大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 【解析】：【解析】：（1）T的分布函数为,)(321xXxXxXPxTPxFT 331)(xFxXPii （)(xF为X的分布函数）.则T的概率密度为82990()3()()0TxxfxF xf x其他.(2)1099)(099dxxdxxxfETT，则109)(aaETaTE，可知910a.