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第 1 页 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题答案 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.（1）当0 x 时，用()o x表示比x高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）（A）23()()x o xo x（B）23()()()o x o xo x（C）222()()()o xo xo x（D）22()()()o xo xo x【答案】D【解析】2()()()o xo xo x，故 D 错误。（2）函数|1()(1)ln|xxf xx xx的可去间断点的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3【答案】C【解析】由题意可知()f x的间断点为0,1。又 lnx0 x0 x0 x011lnlim()limlimlim1(1)ln(1)ln(1)lnxxxxexxf xx xxx xxx xxln()x0 x0 x0 x0()11ln()lim()limlimlim1(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxf xx xxx xxx xxlnx1x1x1x111ln1lim()limlimlim(1)ln(1)ln(1)ln2xxxxexxf xx xxx xxx xx ln()x1x1x1x1()11ln()lim()limlimlim(1)ln()(1)ln()(1)ln()xxxxexxf xx xxx xxx xx故()f x的可去间断点有 2 个。第 2 页（3）设kD是圆域22(,)|1Dx yxy位于第k象限的部分，记()kkDIyx dxdy1,2,3,4k，则（）（A）10I（B）20I（C）30I（D）40I【答案】B【解析】令cos,sinxryr，则有 101()(s i nc o s)(c o ss i n)3kkDIyx d x d yr d rrrd 故当2k 时，,2，此时有220.3I 故正确答案选 B。（4）设na为正项数列，下列选项正确的是（）（A）若111,(1)nnnnnaaa则收敛（B）11(1)nnna若收敛，则1nnaa（C）1nna若收敛，则存在常数1P,使limPnnn a存在（D）若存在常数1P，使limPnnn a存在，则1nna收敛【答案】D【解析】根据正项级数的比较判别法，当1P 时，11pnn收敛，且limPnnn a存在，则1nna与11pnn同敛散，故1nna收敛.（5）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若ABC，且B可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的列向量组等价大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 3 页【答案】（B）【解析】由ABC 可知 C 的列向量组可以由 A 的列向量组线性表示，又 B 可逆，故有1CBA，从而A 的列向量组也可以由 C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B）。（6）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）0,2ab（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2【答案】(B)【解析】由于1111aabaa为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为1111aabaa的特征值为0,2 b。又211()(2)211aEAababaa ，从而为任意常数ba,0。（7）设123XXX，是随机变量，且22123N(0,1)N(5,3)XN，X0,2），X,22(1,2,3),jjPPXj 则（）（A）123PPP（B）213PPP（C）312PPP（D）132PPP【答案】（A）【解析】由221230,1,0,2,5,3XNXNXN知，第 4 页 111222221pPXP X ，222222211pPXP X ，故12pp.由根据235,3XN及概率密度的对称性知，123ppp，故选（A）（8）设随机变量 X 和 Y 相互独立，则 X 和 Y 的概率分布分别为，则2P XY()（A）112（B）18（C）16（D）12【答案】（C）【解析】21,12,03,1P XYP XYP XYP XY，又根据题意,X Y独立，故 121120316P XYP XP YP XP YP XP Y，选（C）.二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）设曲线)(xfy 和xxy2在点)0,1(处有公共的切线，则2limnnnfn_。【答案】2【解析】2yxx在(1,0)处的导数是(1)1y，故(1)1,(1)0ff，2(1)(1)22lim()lim(1)(2)22222nnffnnnnffnnn （10）设函数),(yxzz 由方程xyyzx)(确定，则)2,1(xz_。【答案】22ln2【解析】原式为ln(),xz yexy左右两边求导得：ln(),1,2xzxyzyxyxyzy 令大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 5 页 得0,2(1 ln2)xzz（11）求dxxx12)1(ln_。【答案】2ln【解析】2ln1ln1lnln()+ln(1)11(1)11xxxxdxxddxxxxxxxx 211lnlnlnlim+ln+lnln2(1)1111xxxxxxxdxxxxxx（12）微分方程041 yyy通解为y_。【答案】2121CxCex【解析】特征方程为2110,()42二重根，所以通解为1212xyeC xC（13）设ijA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，ijA为ija的 代 数 余 子 式，若ijijaA0(i,j1,2,3),_A则【答案】1【解析】0ijijaA由可知，*TAA 1122331122333322110iiiiiijjjjjjijijjiAa Aa Aa Aa Aa Aa Aaa 2*,=-1.TAAAAA 从而有故（14）设随机变量 X 服从标准正态分布N(0,1)X,则2()XE Xe=_。【答案】22e【解析】由0,1XN及随机变量函数的期望公式知221242222211222xxXxE Xexeedxxedxe.三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）第 6 页 当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。【解析】因为当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小所以01 coscos2cos3lim1nxxxxax又因为：1 coscos2cos31 coscoscoscos2coscos2coscos2cos31 coscos(1 cos2)coscos2(1 cos3)xxxxxxxxxxxxxxxxxx 即001 coscos2cos31 coscos(1 cos2)coscos2(1 cos3)limlimnnxxxxxxxxxxxaxax022222201 coscos(1 cos2)coscos2(1 cos3)lim()111()(2)()(3)()222lim()nnnxnnnxxxxxxxaxaxaxxo xxo xxo xaxaxax所以2n 且14917222aaaa（16）（本题满分 10 分）设D是由曲线13yx，直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形，,xyV V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。【解析】由题意可得：1523303()5axVxdxa17330627ayVx x dxa因为：10yxVV所以753363107 775aaa（17）（本题满分 10 分）设平面内区域D由直线3,3xy yx及8xy围成.计算2Dx dxdy。【解析】12222DDDx dxdyx dxdyx dxdy2368220233xxxxx dxdyx dxdy4163（18）（本题满分 10 分）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 7 页 设生产某产品的固定成本为 60000 元，可变成本为 20 元/件，价格函数为601000QP，（P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件），已知产销平衡，求：（1）该商品的边际利润。（2）当 P=50 时的边际利润，并解释其经济意义。（3）使得利润最大的定价 P。【解析】（I）设利润为l，则2(206000)4060001000QlPQQQ边际利润40500Ql（II）当50P 时，边际利润为 20，经济意义为：当50P 时，销量每增加一个，利润增加 20(III)令0,20000lQ得，此时60401000QP（19）（本题满分 10 分）设函数()f x在0,上可导，(0)0lim()2xff x且，证明（1）存在0a，使得()1f a （2）对（1）中的a，存在(0,),a使得1().fa【答案】（I）证明：3lim()2,()2xf xXxXf x当时，有，()0,f xX在上连续，根据连续函数介值定理，存在0,()1aXf a，使得（II）()f x在0,a上连续且可导，根据拉格朗日中值定理，()(0)()1,(0,)f affaa，故1(0,)()afa，使得（20）（本题满分 11 分）设101,101aABb，当,a b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。【解析】由题意可知矩阵 C 为 2 阶矩阵，故可设1234xxCxx，则由ACCAB可得线性方程组：2312413423011xaxaxxaxxxxxaxb（1）第 8 页 01001011110111101101010110111010001000100100101011101010000100001aaaaaaaaaabababaaaba 由于方程组（1）有解，故有10,10aba，即1,0,ab 从而有 01001011110101100101110000001000000aaaab，故有112211231421,.xkkxkkkxkxk 其中、任意从而有121121kkkCkk（21）（本题满分 11 分）设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2aaT+bbT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。【答案】(1)222222222111222333121212131313232323(2)(2)(2)(42)(4)(42)fabxabxabxa ab bx xa ab bx xa ab bx x222211121 2131 31121311 21 32222121 222232 3122231 222 32222131 3232 333132331 32 3322222222222TTaba abba abbaa aa abbbbbfa abbaba ab ba aaa abbbb ba abba ab baba aa aabbb bb则 的矩阵为（2）,2,TTTTTTAA 令A=2则22，则 1,2 均为 A 的特征值，又由于()(2)()()2TTTTr Arrr，故 0 为 A 的特征值，则三阶矩阵 A 的特征值为 2,1,0，故 f 在正交变换下的标准形为22122yy（22）（本题满分 11 分）大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214第 9 页 设,X Y是二维随机变量，X的边缘概率密度为 23,01,0,.Xxxfx其他，在给定01Xxx的条件下，Y的条件概率密度233,0,0,.Y Xyyxfy xx其他（I）求,X Y的概率密度,f x y；（II）Y的边缘概率密度 Yfy.【答案】（1）29,01,0,0,.XY Xyxyxf x yfy x fxx其他（2）29ln,01,0,.Yyyyfyf x y dx其他（23）（本题满分 11 分）设总体X的概率密度为 23,0,0,.xexf xx其它其中为未知参数且大于零，12,NXXX，为来自总体X的简单随机样本.（1）求的矩估计量；（2）求的最大似然估计量.【答案】(1)2300()()xxEXxf x dxxedxedxx，令EXX，故矩估计量为X.(2)2233111100()(;)00iinnxxnniiiiiiiiexexLf xxx其他其他当0ix 时，111ln()2 ln3lnnniiiiLnxx令1ln()210niidLndx，得121niinx，所以得极大似然估计量niiXn112.