高数第2讲：一元函数微分学-打印版.pdf

高数第2讲：一元 函数微分学 导数定义 抽象函数在一点 特指点x0 泛指点x 分段函数（含绝对值函数）在分段点 四则运算中的特殊点 太复杂的点 f=f1+f2+.f=f1f2.不成立的点 微分的定义 y=Ax+o(x)线性主部Ax 误差o(x)微分dy=Ax=f(x)dx y=dy+o(x)导数计算 基本求导公式 xk,ln x,ex,ax sin,cos,tan,sec,csc,cot arcsin,arccos,arctan,arccot lnx+(x2a2)符号写法 dx2=(dx)2 d(x2)=2xdx 复合函数求导 由外向内，层层求导 隐函数求导 两边同时求导 反函数求导 dx/dy=1/(dy/dx)=1/f(x)分段函数（含绝对值）求导 区间：用公式 分段点：用定义 多项乘除、开方、乘方 uv化为e(vlnu)两边同时取对数 参数方程确定的函数求导 dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)高阶导数（结合无穷级数）归纳法 莱布尼兹公式(uv)(n)泰勒展开式（10个公式）抽象展开 具体展开 由展开式的唯一性，比较系数 导数应用 几何应用62 物理应用1 经济应用3 导数证明题 证明：中值定理问题 证明：不等式问题30 证明：等式问题43 高数第2讲：一元 函数微分学 导数定义15 导数计算29 导数应用 几何应用 研究对象 祖孙三代 f 具体 抽象 函数族fn(x)f1f2.fn f,f,.f(axn)分段函数（含绝对值）参数方程 x=x(t),y=y(t)x=rcos,y=rsin,r=r()隐函数F(x,y)=0 研究内容 切线、法线、截距 切线方程y-y0=k(x-x0),k=y(x0)法线方程y-y0=k(x-x0),k=-1/y(x0)截距 与x轴交点的横坐标 与y轴交点的纵坐标 不是距离，可正可负 单调性、极值 单调性 某一区间 f0，f单调增加 f0，f凹函数 fx0，y-铅垂渐近线x=x0 水平渐近线 x-，y-c(存在)水平渐近线y=c 斜渐近线 x-，y-x-，k=lim(y/x)，b=lim(y-kx)斜渐近线y=kx+b 曲率（弯曲程度）曲率k=|y|/(1+y2)(3/2)曲率半径R=1/k 相关变化率 dA/dB=(dA/dC)(dC/dB)物理应用 A对B的变化率 经济应用 经济学常见函数 边际 弹性 导数证明题 证明：中值定理问题 证明：不等式问题30 证明：等式问题43 dA/dB=(dA/dC)(dC/dB)高数第2讲：一元 函数微分学 导数定义15 导数计算29 导数应用70 导数证明题 证明：中值定理问题 确定区间 在数轴上标出所有可能用到的点，确定区间 确定辅助函数 简单情形 题设f(x)，则辅助函数为f(x)复杂情形 乘积求导公式的逆用 f+f F=fe f+f F=fex f-f F=fe(-x)f+kf F=fe(kx)ff F=f2 ff+f2 F=ff F=f2 商求导公式的逆用 f/f F=ln f ff-f2 F=f/f F=ln f fx-f F=f(x)/x 见到定积分【a,b】f(x)dx F=【a,x】f(t)dt 题设给出F(x)或F(a)，则辅助函数为F(x)确定使用定理 零点定理 证f(c)=0 介值定理 证f(c)=费马定理 证f()=0（为可导的极值点）罗尔定理 f(a)=f(b)证f()=0 f(a)=f(b)=f(c)证f()=0 证n阶导数f(n)()=0 拉格朗日中值定理 f(b)-f(a)=f()(b-a)f(b)-f(a)f(b)-0 ln f(b)/f(a)=ln f(b)-ln f(a)f与f 证f()0或0或0或0或x0,limf/(x-x0)=A 结论 f(x0)=0 f(x0)=A 极限保号性 条件 x-x0+,limf/(x-x0)0,x(x0,x0+),有f(x)0 两边同时取极限 用零点定理 条件 f(a)f(b)0 结论 c(a,b),f(c)=0 用介值定理 条件 f(a)=A,f(b)=B,A【a,b】g(x)dx,a=Fmin F=0 凹函数 F(x1)+F(x2)/2=F(x1+x2)/2 1,2(0,1)，1+2=1，1F(x1)+2F(x2)=F(1x1+2x2)F=0 凸函数 F(x1)+F(x2)/2=F(x1+x2)/2 1,2(0,1)，1+2=1，1F(x1)+2F(x2)=A 结论 F(b)-F(a)=A(a,b)用柯西中值定理 条件 x(a,b)，F(x)/G(x)=A 结论 F(b)-F(a)/G(b)-G(a)=A 用泰勒公式（带拉格朗日余项）关键是x=x0是哪一个点 k阶导数存在且0（或0），则展开到k阶 证明：等式问题43 高数第2讲：一元 函数微分学 导数定义15 导数计算29 导数应用70 导数证明题 证明：中值定理问题 证明：不等式问题30 证明：等式问题 题型 方程的根 函数的零点 曲线的交点 理论依据 零点定理 闭区间a,b f(a)f(b)0 开区间(a,b)f(a+0)f(b-0)0 负无穷0 导数工具 f 单调性 f 凹凸性 罗尔定理推论 条件 f(n)(x)=0至多有k个根 结论 f(x)=0至多有k+n个根 实系数奇次方程 条件 实系数奇次方程f(x)=0 结论 f(x)=0至少有1个实根 考法 含参数讨论 导数不含参数 最值（极值）含参数k k定位置关系 导数含参数k k定单调性 再求最值（极值）函数零点个数 至少几个 至多几个 恰有几个 证明恒等式 方程列 区间列