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第 1 页 共 11 页 2011 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案 一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 指定位置上(1)【答案】(C)【解析】记1111,1,0yxyy，2222(2),2(2),2,yxyxy 32333(3),3(3),6(3),yxyxyx 432444(4),4(4),12(4),yxyxyx(3)()yxP x，其中(3)0P，30 xy，在3x 两侧，二阶导数符号变化，故选(C)(2)【答案】(C)【解析】观察选项：(A)，(B)，(C)，(D)四个选项的收敛半径均为 1，幂级数收敛区间的中心在1x 处，故(A)，(B)错误；因为 na单调减少，lim0nna，所以0na，所以1nna为正项级数，将2x 代入幂级数得1nna，而已知Sn=1nkka无界，故原幂级数在2x 处发散，(D)不正确当0 x 时，交错级数1(1)nnna满足莱布尼茨判别法收敛，故0 x 时1(1)nnna收敛故正确答案为(C)(3)【答案】(A)【解析】(0,0)(0,0)|()ln()|(0)ln(0)0zfxf yffx,(0,0)(0,0)()|()|(0)0,()zfyf xfyf y故(0)0f,2(0,0)(0,0)2|()ln()|(0)ln(0)0,zAfxf yffx 22(0,0)(0,0)()(0)|()|0,()(0)zfyfBfxx yf yf 222(0,0)(0,0)22()()()(0)|()|(0)(0).()(0)zfy f yfyfCf xffyfyf 又22(0)ln(0)0,ACBff故(0)1,(0)0ff (4)【答案】(B)【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，第 2 页 共 11 页 又因ln x是单调递增的函数，所以lnsinlncoslncotxxx 故正确答案为(B)(5)【答案】(D)【解析】由于将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，故 100110001AB，即1APB，11ABP 由于交换B的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故 100001010BE，即2,PBE故122BPP因此，12 1APP，故选(D)(6)【答案】(D)【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()4 13r A ，即130，且0A 由 此 可 得*|A AA EO，即*1234(,)AO ，这说明1234,是*0A x 的解 由于()3r A，130，所以234,线性无关 又由于()3r A，所以*()1r A，因此*0A x 的基础解系中含有4 13 个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x 的解，所以234,可作为*0A x 的基础解系，故选(D)(7)【答案】(D)【解析】选项(D)1122()()()()f x F xfx F x dx2211()()()()F x dF xF x dF x 21()()d F x F x12()()|F x F x1 所以1221()()f F xf F x为概率密度 (8)【答案】(B)【解析】因为,max,XXYUX YYXY ,min,YXYVX YXXY 所以，UVXY，于是()()E UVE XY()()E X E Y 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 第 3 页 共 11 页 二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸二、填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 指定位置上(9)【答案】ln 12【解析】选取x为参数，则弧微元 2211 tansecdsydxxdxxdx 所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(10)【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex edxC (cos)xexdxC (sin)xexC 由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11)【答案】4【解析】2sin1()Fxyyxxy，2222 2cossin21()Fyxyxyxyyxxy，故2(0,2)2|4Fx (12)【答案】【解析】取22:0,1S xyzxy，取上侧，则由斯托克斯公式得，原式=22SSdydzdzdxdxdyydydzxdzdxdxdyxyzyxzx 因,1,1.xyzxy zz由转换投影法得 221(1)(1)1Sxyydydzxdzdxdxdyyxdxdy 第 4 页 共 11 页 221(1)xyxydxdy 221xydxdy(13)【答案】1a 【解析】由于二次型通过正交变换所得到的标准形前面的系数为二次型对应矩阵A的特征值，故A的特征值为 0，1，4二次型所对应的矩阵 1131111aAa，由于310iiA，故113101111aaa(14)【答案】22 【解析】根据题意，二维随机变量,X Y服从22,;,;0N 因为0 xy，所以由二维正态分布的性质知随机变量,X Y独立，所以2,X Y从而有 22222E XYE X E YD YEY 三、解答题：1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸三、解答题：1523 小题，共 94 分请将解答写在答题纸指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 指定的位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(15)(本题满分 10 分)【解析】110ln(1)limxexxx0ln(1)1lim1.1xxxxee 20ln(1)limxxxxe22201()2limxxxo xxxe 22201()2limxxo xxe12e(16)(本题满分 9 分)【解析】,()zf xy yg x 12,(),()()zfxy yg xyfxy yg xyg xx 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 第 5 页 共 11 页 211112,()(,()(,()()zfxy yg xy fxy yg x xfxy yg x g xx y 21222(),()(),(),()()g xfxy yg xyg xfxy yg xxfxy yg x g x 因为()g x在1x 可导，且为极值,所以(1)0g，则 21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy(17)(本题满分 10 分)【解析】显然0 x 为方程一个实根 当0 x 时，令,arctanxfxkx 22arctan1arctanxxxfxx 令 2arctan1xg xxxRx，222222211220111xxxxgxxxx，即,0 xR gx 又因为 00g，即当0 x 时，0g x；当0 x 时，0g x 当0 x 时，0fx；当0 x 时，0fx 所以当0 x 时，fx单调递减，当0 x 时，fx单调递增 又由 00limlim1arctanxxxf xkkx，limlimarctanxxxf xkx，所以当10k时，由零点定理可知 f x在(,0)，(0,)内各有一个零点；当10k时，则 f x在(,0)，(0,)内均无零点 综上所述，当1k 时，原方程有三个根当1k 时，原方程有一个根 第 6 页 共 11 页(18)(本题满分 10 分)【解析】()设 1ln 1,0,f xxxn 显然()f x在10,n上满足拉格朗日的条件，1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn 所以10,n时，111111111 01nnnn，即：111111nnn，亦即：111ln 11nnn 结论得证（II）设111111lnln23nnkannnk 先证数列 na单调递减 111111111ln1lnlnln 1111nnnnkknaannkknnnn，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1nn，所以11ln 101nn得到1nnaa，即数列 na单调递减 再证数列 na有下界 1111lnln 1lnnnnkkannkk，11112 3 41ln 1lnlnln11 2 3nnkkknnkkn，1111lnln 1lnln1ln0nnnkkannnnkk 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 第 7 页 共 11 页 得到数列 na有下界利用单调递减数列且有下界得到 na收敛(19)(本题满分 11 分)【解析】1100(,)xyIxdxyfx y dy1100(,)xxdxydfx y 111000,|,xxxdx yfx yfx y dy 1100(,1)(,)xxxdx fxfx y dy 因为(,1)0f x，所以(,1)0 xfx 1100(,)xIxdxfx y dy 1100(,)xdyxfx y dx 111000(,)|(,)dy xf x yf x y dx 1100(1,)(,)dy fyf x y dx Dfdxdya(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于123,不能由123,线性表示，对123123(,)进行初等行变换：123123113101(,)12401313115a 113101011112023014a113101011112005210a 当5a 时，1231231(,)2(,)3rr ，此时，1不能由123,线性表示，故123,不能由123,线性表示(II)对123123(,)进行初等行变换：123123101113(,)013 124115 135 101113013124014022101113013124001102 第 8 页 共 11 页 1002150104210001102，故112324，2122，31235102(21)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于111100001111A，设121,0,1,1,0,1TT，则 1212,A ，即1122,AA，而120,0，知A的特征值为121,1，对应的特征向量分别为1110kk，2220kk 由于 2r A，故0A，所以30 由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3123,Tx x x，则 13230,0,TT 即13130,0 xxxx 解此方程组，得30,1,0T，故30对应的特征向量为3330kk(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022TTT 令123,Q ，则110TQ AQ ，TAQ Q 22022220122220011022022010022 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 第 9 页 共 11 页 22022220001222200000002210022010022（22）（本题满分 11 分）【解析】(I)因为221P XY，所以222210 P XYP XY 即 0,10,11,00P XYP XYP XY 利用边缘概率和联合概率的关系得到 10,000,10,13P XYP XP XYP XY；11,110,13P XYP YP XY ；11,110,13P XYP YP XY 即,X Y的概率分布为 (II)Z的所有可能取值为1,0,1 111,13P ZP XY 111,13P ZP XY 101113P ZP ZP Z ZXY的概率分布为 (III)因为()()()()XYCov XYE XYE XE YD XD YD XD Y，其中 Z-1 0 1 P 1/3 1/3 1/3 X Y-1 0 1 0 1/3 0 1 0 1/3 0 1/3 第 10 页 共 11 页 1111010333E XYE Z ，1111010333E Y 所以 0E XYE XE Y，即X，Y的相关系数0XY（23）（本题满分 11 分）【解析】因为总体X服从正态分布，故设X的概率密度为202()21()2xf xe，x(I)似然函数 22002211()()222222111()(;)(2)2niiixnnnxiiiLf xee；取对数：222021()ln()ln(2)22niixnL；求导：22022221()ln()()22()niixdLnd 2202211()2()niix 令22ln()0()dLd，解得22011()niixn 2的最大似然估计量为02211()niiXn(II)方法 1：20(,)iXN，令20(0,)iiYXN，则2211niiYn 2212221()()()()()niiiiiEEYE YD YE Yn 2222212221111()()()()niniiDDYD YYYD Ynnn 442244112()()(3)iiE YE Ynnn 方法 2：20(,)iXN，则0(0,1)iXN，得 到 2201niiXYn，即2201niiYX 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 第 11 页 共 11 页 222222011111()niiEEXEYE Ynnnnn 22444022222111112()2niiDDXDYD Ynnnnnn