补充讲义 高数-14.pdf

1 一、不定积分的计算 补充内容 一、一、表格积分法表格积分法 设uv和有直到第1n+的连续导数，则根据分部积分公式有()()()()()()()()1112111nnnnnnnnuvdxuvu vu vuvuvdx+=+.事实上，可写成如下表格 u的各阶导数 u u u u ()1nu+()1nv+的各阶原函数()1nv+()nv()1nv()2nv v【例1】求下列不定积分（1）22xx e dx；（2）2cos3xxdx；（3）22sinxexdx 2 二、定积分的概念与性质 补充内容（一）一、一、定积分的概念定积分的概念 1.定积分的定义：定积分的定义：设函数在上有界，在中任意插入若干个分点 把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点（1,iiixx），作乘积并作出和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当0时，和总趋于确定的极限，我们称这个极限为函数在区间上的定积分定积分（简称积分积分）.记作()baf x dx，即()()01limnbiiaif x dxIfx=其中()fx叫做被积函数被积函数，()f x dx叫做被积表达式被积表达式，x叫做积分变量积分变量，a叫做积分下限积分下限，b叫做积分上限积分上限，,a b叫做积分区间积分区间.【例1】函数10()sgn0,01,0 xf xxxx=，在区间 2,2上（）（A）可积且存在原函数；（B）可积但不存在原函数；（C）不可积但存在原函数；（D）不可积且不存在原函数.)(xf,ba,babxxxxxann=1210,ban1=iiixxx),2,1(=iiiixf)(),2,1(=iiinixfS=)(1,max21nxxx=,ba,1iixxiSII)(xf,ba 3 【例2】222222111lim.12nnnnn+=+_.【例3】求证：2101xe dxe.补充内容（二）定积分基本性质 补充（8）（9）（8）推广的积分中值定理推广的积分中值定理 设()(),f x g x在积分区间,a b连续，()0g x，则在,a b上至少存在一点，使下式成立：()()()()bbaaf x g x dxfg x dx=（9）柯西不等式：柯西不等式：设()(),f x g x在积分区间,a b连续，则()()222()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx