2021高数冲刺讲义.pdf

冲刺班讲义 高等数学（讲义中绝大多数题来自考前必做 100 题）1 求,A B C，使下式当0 x 时成立：sin2221()sinxeBxCxxxxAx+=+2 设()f x在点0 x=处有定义，(0)1f=，且20ln(1)sin()lim01xxxf xe+=.证()f x在0 x=处可导，并求(0)f.（补）222011 4limxxxx（请用 5 种解法）3 12lim(1 coscosxxxnnn+1cos)nxn+4 证：当x充分小时，不等式2240tan xxx 设21tannxnk=+，求limnnx 5 221()1xxf xxx+=+，求(4)(0)f 6 已知222222(1)2(1)()0d ydydyxxxydxdxdx+=，002,1xxdyydx=令sinxt=，化为y关于t的函数的初值问题 求上述方程的解 7 设()f x在)+上有连续的二阶导数，(1)0,(1)1ff=，2222()()zxyf xy=+满足22220zzxy+=，求 ()f x的表达式 ()f x在)+上的最大值 ()f x的拐点和渐近线 在431,2,3,4,nn中，求出一个最大数 证：当12exx时，112221lnlnxxxxxx ()(1)yf x x=绕x轴旋转一周形成的体积 V 8 设()f x在2 2 上可导，且()()0fxf x，则（）（A）(2)1(1)ff （B）(0)(1)fef （C）2(1)(1)fef （D）3(2)(1)fef 9 设()f x在)+上可导 若lim()0 xfxk+=，证lim()xf x+=+若lim()()()xfxf xll+=+，求lim()xf x+和lim()xfx+10 设()f x在上二阶可导，且0()lim1xf xx=，1()lim21xf xx=，证：(0,1)a，使()0f a=(1,2)(0,1)ii=，且12，使()()iiff=(0,1)，使()()ff=11 设()f x在0,1上有一阶连续导数，(0)0f=，证：，使10()2()ff x dx=12 设()f x在(0,1)内可导，证明()f x的任何两个不同的零点之间一定有()()f xfx+的一个零点，并由此证方程1ln(1)01xxxx+=+在(0,1)有且仅有一个根.13 当0 x 时，()f x可导，(0)1f=，01()()()01xf xfxf t dtx+=+求()fx 当0 x 时，()1xef x 14 证：222()()()()bbaaf x g x dxfx gx dx()0f x，()1baf x dx=22()cos)()sin)1bbaaf xkxdxf xkxdx+15 求1arctan1xxdxx 16 设1201nnaxx dx=，证21(2,3,2nnnaann=+)17 设()f x为非负连续函数，且40()()sinxf xf xt dtx=，求()f x在2上的平均值.18 求sin(0)xyex x=与x轴之间图形的面积 19 设22(,)(,)xyg x yf exy=+，且2210(,)1lim0(1)xyf x yxyxy+=+，证(,)g x y在(0,0)处取极值，并求出其极值.20 已知木板的面密度为221xy+，区域为,0,0axyb xy+，求木板对原点的转动惯量.21 设平面区域22(,)1,0Dx y xyxy=+，求22221 21Dxxydxdyxy+22 设平面区域D由曲线sinxtt=1 cosyt=(02)t 与x轴围成，计算(2)Dxy dxdy+23 求0(0)axbxeedx bax+24 设1(1)2nnnna=收敛，则1nna=（）（A）发散 （B）条件收敛 （C）绝对收敛 （D）无法判定 25 求1(1)(21)3nnnnn=的和 26 设2020sintan2lim1(1)xxtdtxxx+=+，求211sinnnn=的和 27 设00(),0nnny xa xxa=+=，且满足10(1)nxnnnnaa xe+=+=，求()y x 28()f x=21arctan,0 xx xx+1,0 x=，求()f x展开成幂级数 29 已知0sinnnnaxx dx=，讨论1(1)nnna=的敛散性 30 已知120(1),1,2,nnaxx dx n=，证1nna=收敛并求其和 31 向量场22(,),ln(1)zu x y zxyye xz=+在(1,1,0)处的散度divu=_;rotu=_ 32 2222444LxyxyIdxdyxyxy+=+，其中L是222xy+=，方向为逆时针方向 33 设为上半球面2221(0)xyzz+=的上侧，22333(,)2(,)1f x yxyxx dydzy dzdxzf x yzdxdy=+，求(,)f x y