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数学(二)试题 第 1 页(共 13 页)2013 年全国硕士研究生入学统一考试 2013 年全国硕士研究生入学统一考试 数学二试题 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.（1）设cos1sin()xxx，其中()2x，则当0 x 时，()x是（）（A）比x高阶的无穷小 （B）比x低阶的无穷小（C）与x同阶但不等价的无穷小 （D）与x等价的无穷小（2）设函数()yf x由方程1lncosxyxy确定，则2lim()1nn fn（）（A）2 （B）1 （C）1 （D）2（3）设函数sin,0()=2,2xxf xx，0()()xF xf t dt，则（）（A）x 是函数()F x的跳跃间断点（B）x 是函数()F x的可去间断点（C）()F x在x处连续但不可导 （D）()F x在x处可导（4）设函数111,1(1)()=1,lnxexf xxexx，若反常积分1()f x dx收敛，则（）（A）2 （B）2 （C）20 （D）02（5）设()yzf xyx，其中函数f可微，则xzzy xy（）（A）2()yfxy （B）2()yfxy （C）2()f xyx （D）2()f xyx（6）设kD是圆域22(,)|1Dx yxy在第k象限的部分，记()(1,2,3,4)kkDIyx dxdy k，则（）（A）10I （B）20I （C）30I （D）40I （7）设矩阵 A,B,C 均为 n 阶矩阵，若BCAB且,可逆，则（）（A）矩阵 C 的行向量组与矩阵 A 的行向量组等价（B）矩阵 C 的列向量组与矩阵 A 的列向量组等价（C）矩阵 C 的行向量组与矩阵 B 的行向量组等价（D）矩阵 C 的列向量组与矩阵 B 的列向量组等价 数学(二)试题 第 2 页(共 13 页)（8）矩阵1111aabaa与2000b0000相似的充分必要条件为（A）a0,b2（B）为任意常数ba,0（C）0,2ba（D）为任意常数ba,2 二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.(9)xxxx10)1ln(2lim (10)设 函 数1()1xtf xe dt，则()yf x的 反 函 数1()xfy在0y 处 的 导 数0ydxdy (11)设封闭曲线 L 的极坐标方程为cos3()66r，则 L 所围成的平面图形的面积为 (12)曲线2arctanln 1xtyt上对应于1t 的点处的法线方程为 (13)已知321xxyexe，22xxyexe，23xyxe 是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，该方程满足条件00 xy01xy的解为y （14）设ijA(a)是 三 阶 非 零 矩 阵，|A|为 A 的 行 列 式，ijA为ija的 代 数 余 子 式，若ijijaA0(i,j1,2,3),_A则 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 3 页(共 13 页)三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸请将解答写在答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）当0 x 时，1 coscos2cos3xxx与nax为等价无穷小，求n与a的值。（16）（本题满分 10 分）设D是由曲线13yx，直线(0)xa a及x轴所围成的平面图形，,xyV V分别是D绕x轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积，若10yxVV，求a的值。（17）（本题满分 10 分）设平面内区域D由直线3,3xy yx及8xy围成.计算2Dx dxdy。（18）（本题满分 10 分）设奇函数()f x在 1,1上具有二阶导数，且(1)1f.证明：（I）存在0,1（），使得()1f；（II）存在h(-1,1)，使得()()1ff。数学(二)试题 第 4 页(共 13 页)（19）（本题满分 11 分）求曲线331(0,0)xxyyxy上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。（20）（本题满分 11 分）设函数xxxf1ln)(，（I）求()f x的最小值（II）设数列 nx满足11ln1nnxx，证明limnnx存在，并求此极限.（21）（本题满分 11 分）设曲线L的方程为211ln(1)42yxxxe，（1）求L的弧长；（2）设D是由曲线L，直线1,xxe及x轴所围平面图形，求D的形心的横坐标。大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 数学(二)试题 第 5 页(共 13 页)（22）（本题满分 11 分）设101,101aABb，当,a b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求所有矩阵C。（23）（本题满分 11 分）设二次型221231 122331 12233,2f x x xa xa xa xb xb xb x，记112233,ababab。（I）证明二次型f对应的矩阵为2aaT+bbT；（II）若,正交且均为单位向量，证明二次型f在正交变化下的标准形为二次型22122yy。