01.V研客2022考研数学-基础班-高数第一章-姜晓千 (1)考研资料.pdf

V研客众志成城，抗疫必胜V高等数学 电子讲义2022考研 数学 基础阶段主讲：姜晓千考研数学主讲：晓千老师1第第一一章章函函数数极极限限连连续续第第一一节节函函数数一一、函函数数概概念念函数定义x 数集D，存在唯一的y与之对应称y为x的函数，记 yf x.x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，所有的函数值的集合称为值域，记fR。分段函数定义在自变量的不同变化范围，有不同的表达式的函数例如：（1）绝对值函数：yx（2）符号函数：sgnyx（3）取整函数：yx不超过x的最大整数性质：1xxx；11xx.（4）Dirichlet 函数 1,0,qxD xpx为有理数为无理数复合函数定义 yf u，定义域为fD，ug x定义域为gD，值域为gR，若gfRD，称 yf g x，gxD为 yf u与 ug x的复合函数.例如：euyf u，2ug xx，则 2exyf g x注：并不是两个函数都能复合例如：lnyf uu，2ug xx 反函数定义 yf x定义域为D，值域为fR，fyR，唯一的xD，使 f xy，记作 1xfy，V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师2称为 yf x的反函数.注：（1）有时将 1xfy写作 1yfx，yf x与 1xfy图象重合，yf x与 1yfx图象关于yx对称；（2）1ff xx，1ffyy.基本初等函数定义：（1）幂函数yx（2）指数函数0,1xyaaa（3）对数函数log0,1ayx aa，特别的lnyx三角函数与反三角函数（1）三角函数sinyx，cosyx，tanyx，cotyx1seccosyxx，1cscsinyxx（2）反三角函数arcsinyx；arccosyx；arctanyx；arccotyx初等函数定义：基本初等函数经过有限次四则运算或复合得到的函数称为初等函数，例如：2sinexxy二二、函函数数性性质质（4 条）（一）单调性定义：12xx区间I，有 12f xf x（或 12f xf x），称 f x在I上（或）判定：（1）xI，有 0fx（或 0fx），则 f x在I上（或）Pr：12xxI，由拉氏 Th，f bf afba，ab12,x x，使 21210f xf xfxx（0f，110 xx），从而 21f xf x，故 f x.注：个别点的导数为 0，不影响单调性V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师3例如：3yx，320030 xxxx（2）xI，有 0fx（或 0fx），则 f x在I上单调不减（或单调不增）（二）有界性定义：（1）0M，xI，有 fxM，称 f x在I上有界（2）0M，xI，有 f xM，称 f x在 I 上有上界（3）0M，xI，有 f xM，称 f x在 I 上有下界例如：sin1x，cos1x，arcsin2x，arccosx，arctan2x，arccot x判定：（1）f x在,a b上连续，则 f x在,a b上有界（在闭区间连续函数的有界 Tb）（2）f x在,a b内连续，且 limxaf x与 limxbf x均存在，则 f x在,a b内有界.Pr：由极限局部有界限，10M和10，当1axa，1fxM，20M和20，当2bxb，2fxM.由闭区间连续函数的有界 Tb，30M,当12axb，3fxM，令123max,MM MM，则 fxM，故 f x在,a b内有界.（3）fx在有限区间I上有界，则 f x在I上有界.Pr：xI，由拉氏 Th，介于x与2ab之间，使 22ababfxffx则 22ababf xffxM，故 f x在I上有界.（三）奇偶性定义：f x定义域D关于原点对称，xD，有 fxf x（或 fxf x），称 f x为奇函数（偶函数）例如：3x，sinx，tan x，cot x，arcsinx，arctan x，e1e1xx，1ln1xx，2ln1xx，f xfx均为奇函数；2x，cosx，f xfx均为偶函数.V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师4性质（1）四则运算奇奇奇，偶偶偶，奇偶非奇非偶奇/奇偶，偶/偶偶，奇/偶奇（2）复合函数奇（奇）奇，例如3sin x偶（偶）偶数奇（偶）偶，例如2sin x偶（奇）偶，例如3cosx（3）导函数可导的奇函数的导函数为偶函数Pr：fxf x，fxfx，1fxfx，故 fx为偶函数.可导的偶函数的导函数为奇函数Pr：fxf x，fxfx，1fxfx，故 fx为奇函数.（4）原函数3xC23x连续的奇函数的原函数均为偶函数，连续的偶函数的原函数只有一个为奇函数.Pr：强化.（四）周期性定义：f x定义域为D，0T，xD，有 f xTf x，称 f x为周期函数，T为周期.例如：sinx，cosx以2为周期；tan x，cot x，sin2x，sin x以为周期.性质：（1）可导的周期函数的导函数为周期函数Pr：f xTf x，故 fx以T为周期，fxTfx.（2）连续的周期函数的原函数为周期函数 0d0Tf xxPr：强化【例 1】（2005）以下四个命题中正确的是（）V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师5（A）若 fx在0,1内连续，则 f x在0,1内有界（B）若 f x在0,1内连续，则 fx在0,1内有界（C）若 fx在0,1内有界，则 f x在0,1内有界（D）若 f x在0,1内有界，则 fx在0,1内有界第第二二节节极极限限一一、极极限限概概念念（2 个）（一）数列极限limnnxa定义：0，正整数N，当nN，nxa，称 nx极限为a或 nx收敛于a，记作limnnxa或nxa n几何意义：注：为小的正数，不依赖于n例如：nxa10nxa10e1nxa数列极限的性质：（1）（唯一性）aannlim且bannlim，则ba.（2）（有界性）aannlim，则na有界。（3）（局部保号性）aannlim0,则存在 N0,当 nN 时,0na.数列极限充要条件：limnnxa 子列均收敛于a221limlimnnnnxxaaxxxnnnnnn23133limlimlim（二二）函函数数极极限限V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师6（1）0 xx 0limxxf xA定义：0，0，当00 xx，f xA.称当0 xx时，f x极限为a或收敛于a.记作 0limxxf xa或 0f xa xx.几何意义：注：函数极限0 xx但不等于0 x例如：0sinlim0 xxxx.类似的0 xx，00 xxx，0limxxfxA，右极限0 xx，00 xxx，0limxxfxA，左极限函数极限存在充要条件 000limlimlimxxxxxxfxAfxfxA例如：10limexx10lim eexx，10lim ee0 xx.21arctanlim,21arctanlim,1arctanlim000 xxxxxx（2）x limxf xA定义：0，0X，当xX，f xA，称当x 时，f x极限为A或 f x收敛于A.记作 limxf xA或 f xA x类似的x ，xX limxf xAx xX limxf xA函数极限充要条件：limlimlimxxxf xAf xf xA.例如：21limxxx，2,0,0 xxxxxx21lim11xx，21lim11xx V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师7函数极限的性质（4 条）（1）唯一性若 0limxxfx，则极限唯一Pr：设 0limxxf xA，0limxxf xB，AB，不妨设AB.令2BA，10，当010 xx，2BAfxA，得 2BAf x，2BAf xA.当20，当020 xx，2BAfxB，得 2ABf x，2ABf xB.令12min,，当00 xx，2ABf x且 2ABf x，矛盾，故AB.（二）局部有界性若 0limxxf xA，则0M和0，当00 xx，fxM.Pr：令1，0当00 xx，1f xA，得 1fxA令1MA，则 fxM.（三）局部保号性若 0limxxf xA，0A（或0A），则0，当00 xx，0f x（或 0f x）.Pr：令2A，0，当00 xx，2Af xA，得 02Afx，2Af xA推论：（1）在0U x内 0f x（或 0f x）且 0limxxf xA，则0A.例如：110n；（2）在0U x内 f xg x（或 f xg x）且 0limxxf xA，0limxxg xB，则AB.例如：210nn（四）四则运算法则若 0limxxf xA，0limxxg xB，则（1）0limxxf xg xAB；（2）0limxxf xg xAB；（3）0lim0 xxf xABg xB.注：四则运算法则求极限即加减乘除拆开分别求极限要求：V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师8每个极限均存在，分母极限不为 0.例如：22222453 3-4+53 limlim3423422xxxxxxxxxxx四则运算同除推论：（1）若 0lim0 xxf xA，则 00limlimxxxxf xg xAg x（提非零因子）例如：00ln 1limelim1sinxxxxxxx.（2）0limxxfxg x，0g x，则 0f x（分母极限为 0，推分子极限为 0）例如：f x在0 x 处连续，0lim0 xf xAx，则 0f_，0f _.00f，000limxf xffAx.（3）0lim0 xxf xAg x，0f x，则 0g x（分子极限为 0，推分母极限为 0）.二二、无无穷穷小小与与无无穷穷大大（一）无穷小定义：lim0 xf x，（：0 x，）称 f x为x 时的无穷小无穷小性质：（1）有限个无穷小的和为无穷小（无穷个无穷小的和并不一定是无穷小，例如11nn）（2）有限个无穷小的积为无穷小（3）无穷小乘有界量为无穷小例如：01lim sin0 xxx，sin1limlimsin0 xxxxxx无穷小阶的比较：lim0 xf x，lim0 xg x（1）高阶无穷小：lim0 xf xg x，称 f x为 g x的高阶无穷小，记作 f xo g x例如：4300lim00 xxx，43xo xV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师9（2）同阶无穷小：lim0 xf xCg x，称 f(x)为 g(x)的同阶无穷小；特别的，当 C=1 时，也即 lim1xf xg x，称 f x与 g x等价，记作 f xg x.（3）k阶无穷小：lim0kxf xCg x，称 f x为 g x的k阶无穷小.高阶无穷小的性质（当0 x时）（1）,min),()()(nmlxoxoxolnm例如)()()(223xoxoxo。（2）)()(nnxoxok例如)()(233xoxo。（3）)()()()()(nmnmnmnmxoxoxoxoxxxo（4）)()(nmxoxxonmnm。无穷小与函数极限关系：若 limxf xA，则 f xA，其中为无穷小。（二）无穷大无穷大定义：（1）0M，0，当00 xx，fxM，称 f x为0 xx时的无穷大.记为 0limxxf x（2）0M，0X，当xX，fxM，称 f x为x 时的无穷大.记作 limxf x无穷大的性质1.无穷大与无穷小关系当x，若 f x为无穷大，则 1f x为无穷小；V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师10若 f x为无穷小，且 0f x，则 1f x为无穷大.2.无穷大与无界量关系000,MxIf xM无穷大一定是无界量，但无界量不一定是无穷大.例如：sinf xxx，令2nxn，0nf x；令22nxn，22nfxn.f(x)为x 时的无界量但不是无穷大.类似有函数)0(1sin1)(xxxxf。3.无穷大阶的比较（1）x ln,01xxxxaax Pr：ln1limlim0 xxxxx洛（2）n ln,01!nnnnaann 三三、洛洛必必达达法法则则（1）0limxxfxg x为00或（2）,f xg x在0U x可导且0)(xg；（3）0limxxfxgx或（振荡不可以）则 00limlimxxxxfxfxg xgx。类似的有x 时的情况（1）limxf xg x为00或（2）0 x，当xX，,f xg x可导且0)(xg.V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师11（3）0limxxfxgx或（振荡不可以），则 00limlimxxxxfxfxg xgx。注：洛必达用于00或0000001或例如xxxxsinlim【例 2】计算极限20211limxxxx四四、等等价价代代换换（3 组3 618个）【例 3】（2008 年真题）计算极限40sin)sin(sin(sinlimxxxxx。当0 x 时（1）sin tanxxx，arcsin arctanxxx，e1 ln 1xxx（2）(1)1xx，特别的xx2111，xnxn111。1lnxaxa，2ln(1)1 cos2xxxx3sin arcsin6xxxxxPr：32000:sin1 cos0limlim162xxxxxxx法一洛33301Taylor3lim16xxxxo xx法二公式3tanarctan3xxxxxV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师123tansin arcsinarctan2xxxxx注：等价代换求极限00ln 1limlim1sinxxxxxx（1）0 x 可以推广为0例如：22ln 1xx，331sinsinsinsin(0)66xxxxx（2）.乘除可以代换，加减不抵消时可以代换（最简形式不抵消）例如：ln(1)sinxx222231 cos22xxxxx.【例 4】求极限30arctanlimln 12xxxx.【例 5】求极限30arctansinlimxxxx.【例 6】当0 x 时，arctankxxcx，则c _，k _.五五、Taylor 公公式式（8 个）f x在0U x内1n阶可导，则 1200000001!2!nnfxfxfxf xf xxxxxxxn 11001!nnnfxxno xx，介于x与0 x之间，拉氏余项用于证明，Peano 余项用于计算特别的00 x，Maclaurin 公式 200002!nnnfff xffxxxo xn（一）八个常见函数的 Taylor 公式（1）221e12!xxxo x，eexxV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师13（2）3322113ln 12xo xxxxo x，1ln 11xx，121111xxx，23112 1xx （3）221112!xxxo x 111xx，1211 1xx 特别的22111128xxxo x，22111xxo xx，22111xxo xx（4）4422114!cos12!xo xxxo x cossinxx，sincosxx，cossinxx，sincosxx（5）331sin3!xxxo x正负互换（6）331arcsin3!xxxo x（7）331tan3xxxo x去掉阶乘（8）331arctan3xxxo x正负互换注：Taylor 公式求极限.（1）0 x 可以推广为0例如)(!211e4422xoxxx（2）分子分母同阶原则，加减不抵消原则【例 7】求极限2240coselimxxxx.【例 8】当0 x 时，2ecos 2 xkxcx，求,c k.【例 9】当0 x 时，3ln 1sinf xxaxbxxcx，求,a b c.六六、七七类类未未定定式式类型：00，0，00，0，1V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师14方法：5 个：洛，等价，Taylor，导数定义，拉氏 Th【例 10】求极限20esin1lim11xxxx.【例 11】求极限22411limsinxxxxxx.【例 12】求极限limarctan41xxxx.【例 13】求极限011limln 1sinxxx.【例 14】求极限limxxxxx.【例 15】求极限21limln 1xxxx.【例 16】求极限tan01limxxx.【例 17】求极限11 cos0arcsinlimxxxx.【例 18】求极限1sinlimsinx axaxa.八八、单单调调有有界界定定理理nx（或）有上界（或有下界），则limnnx单调有界 Th 求递推公式1nnxf x类型的数列极限（1）先证有界性（适当放缩）（2）再证单调性 i 作差1nnxx；ii 作商1nnxx；iii 求导（3）令limnnxa，等式1nnxf x两端取极限，得 af a，解得a.【例 19】（2006）设10 x，1sinnnxx，（）证明limnnx，并求之；V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师15（）求211limnxnnnxx.Pr：（1）10 x，210sin1xx，0nx，nx有界.1sinnnnxxx注：三个重要不等式（1）sintanxxx，02xsinxx，0 x;0,sinxxx.（2）)0(1exxx.（3）ln 11xxxx，0 x ln 1xx，1x 且0 x.1sinnnnxxx，nx由单调有界 Th 知limnnx令limnnxa，等式1sinnnxx两端取极限，得sinaa，解得0a.（2）2211101sinlimlimnxxnnnxnxxxxxx323001 sin16limlim6eeexxxx xxxx.八八、夹夹逼逼准准则则定理：如果数列nnnzyx且azxnnnnlimlim，则aynnlim。注：对于一个数列，如果想用夹逼准则，则进行放缩后两边的极限必须相等，否则不能得出结果。【例 20】求极限)2211(lim222nnnnnn .【例 21】若0,1 maa，求nnmnnaa 1lim.注：（1）)0(1limaann；（2）1limnnn.夹逼准则重要结论n 次根号下 n 次方的和的极限为最大值.V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师16【例 22】求nnnnbalim，其中0ba.【例 23】求极限nnnx31lim_.【例 24】求极限nnnnxx)2(1lim2，0 x.九九、定定积积分分定定义义1.定积分定义的核心：分割，取点，求和。2.定积分最初的想法：求曲边梯形的面积，将曲边梯形进行无限的分割，将分割成的每个小的曲边梯形近似成矩形，曲边梯形的面积即可表示为iiixf n10)(lim ，其中ix 代表小矩形的底，)(if代表小矩形的高。将ix 改写为dx，)(if改写为)(xf，ni 10lim改写为ba，则iiixf n10)(lim 便可写为xxfbad)(，从而xxfxfbaiiid)()(limn10 。3.利用定积分的定义求数列的极限（这一部分是重点）由定积分的几何意义可知，在1,0区间上n等分，每个小区间上的函数值取端点上的函数值，则101d)(1)(limxxfnnifnin。注：利用定积分的定义求极限的三个要素为（1）1,0区间；（2）n等分；（3）取端点。以上三点的详细解释看相应的视频4.相关例题【例 25】求极限nnnn111lim.【例 26】求极限22222221limnnnnnnnn。【例 27】求极限)sin2sin21(sin1lim2nnnnnnn 。5.二重积分的定义V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师17与一重积分类似，二重积分求的是曲顶柱体的体积。对于函数Dyxyxfz),(),(，对曲顶柱体的底进行无限分割之后，体积可表示为jininjjiyxf110),(lim，进行相应的改写之后便可以得到Diininjiiyxyxfyxfdd),(),(lim110 。6.利用二重积分的定义求数列的极限说 明：利 用 二 重 积 分 求 数 列 的 极 限 也 是 将 已 有 的 式 子 进 行 相 应 的 改 写，改 写 为nnnjnifninjn11),(lim11的形式，进而转化为二重积分yxyxfdd),(1010。注：利用定积分的定义求极限的三个要素为（1）区间 1,0 1,0；（2）分别n等分；（3）取端点以上三点是利用二重积分求极限的关键，详细的讲解请看相对应的视频。7.相关的例子【例 28】(2010)求极限ninjnjninn1122)(lim。【例 29】求极限ninjnnij114lim。第第三三节节 连连续续与与间间断断点点专题一、连续1、连续的定义：（1）若)()(lim00 xfxfxx，称)(xf在0 x处连续。（2）若)()(lim00 xfxfxx，称)(xf在0 x处右连续。（3）若)()(lim0-0 xfxfxx，称)(xf在0 x处左连续。2、连续的充要条件：)(xf在0 x处连续的充要条件为)(xf在0 x处既左连续又右连续。3、连续的性质V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师18（1）连续函数经过有限次四则运算或复合运算得到的函数仍为连续函数。（2）基本初等函数在定义域内均连续，初等函数在定义区间均连续。4、闭区间上连续函数的定理)(xf在ba,上连续，（1）最值定理：)(xf在ba,区间上存在最大值M与最小值m。推论：有界定理：)(xf在ba,区间上有界。（2）介值定理：对baMcm,，使得cf)(。推论：baxxxn,21，ba,，使得nxfxfxffn)()()()(21。证明：由最值定理，知)(xf存在最大值M与最小值m，故MxfmMxfmn)(,)(1，从而Mnxfxfmn)()(1，由介值定理知ba,，使得nxfxff)()()(11。（3）零点定理：若0)()(bfaf（异号），则),(ba，使得0)(f。【例 30】设)(xf在10，上连续，)1()0(ff，证明1,0，使得)()41(ff。专题二、间断点1、间断点定义：)(xf在)(0 xUo内有定义，若)(xf满足以下三种情形之一：（1）)(xf在0 x处无定义；（2）)(xf在0 x处有定义，但)(lim0 xfxx不存在；（3）)(xf在0 x处有定义，且)(lim0 xfxx存在，但)()(lim00 xfxfxx，称0 x为)(xf的间断点（不连续点）。注：间断点的大前提是)(xf在)(0 xUo内有定义，没有这一条件就不能谈间断点。2、第一类间断点的定义：左右极限均存在的间断点。（1）可去间断点：左右极限均存在且相等的间断点。（2）跳跃间断点：左右极限均存在但不相等的间断点。3、第二类间断点的定义：左右极限至少有一个不存在的间断点。（1）无穷间断点：左右极限至少有一个为无穷的间断点。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师19例如：0 x为xxf1)(的无穷间断点。注：不可以说0 x为xxfln)(的无穷间断点，因为当0 x时，)(xf无定义。（2）震荡间断点：左右极限至少有一个不存在，但不为无穷的间断点。例如：0 x为xxf1sin)(的震荡间断点。【例 31】求xxxxfsin1ln)(的间断点及其类型。第第一一章章 例例题题答答案案【例 1】（2005）以下四个命题中正确的是（）（A）若 fx在0,1内连续，则 f x在0,1内有界（B）若 f x在0,1内连续，则 fx在0,1内有界（C）若 fx在0,1内有界，则 f x在0,1内有界（D）若 f x在0,1内有界，则 fx在0,1内有界注一：直接法 C注二：排除法令 1f xx，21fxx，连续无界，排除 A，B.令 fxx，12fxx，无界，排除D.【例 2】计算极限20211limxxxx原式xxxxxxxxxxxxxx1-1lim411111lim412121121lim00041)11(2lim410 xxxxx。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师20【例 3】求极限40sinsin(sin)sinlimxxxxx.原式4401sin16lim6xxx.【例 4】求极限30arctanlimln 12xxxx.原式33013lim26xxx.【例 5】求极限30arctansinlimxxxx.原式30arctansinlimxxxxxx拆项3330136lim6xxxx.【例 6】（2013，第一题）当0 x 时，arctankxxcx，则c _，k _.【答案】13，3。（2019，第一题）当0 x 时，tanxx是kx的同阶无穷小,则 k=_.【答案】3。【例 7】求极限2240coselimxxxx.24411cos12!4!xxxo x 222241e12!xxxo x 原式44401112lim12xxo xx【例 8】当0 x 时，2ecos 2 xkxcx，求,c k.222241e12!xxxo x 24411cos21222!4!xxxo x 244411ecos233xxxo xx，故13c，4k V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师21【例 9】当0 x 时，3ln 1sinf xxaxbxxcx，求,a b c.23333111233!fxxa xxxo xbx xxo x233123aaa xbxxo x3 cx得10023aabac，故1a ，12b ，13c .【例 10】求极限20esin1lim11xxxx.1112xx，22111 2xx注：00，洛必达之前先等价或 Taylor原式02esin1lim12xxxx方法一：洛必达原式00ecoslimlim(esin)1xxxxxxx方法二：Taylor原式22330211112!3!lim12xxxo xxxo xx12)(2lim2220 xxoxx。【例 11】求极限22411limsinxxxxxx.法一：同除2x（或x）V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师22原式2211141lim1sin1xxxxxx 法二：抓大头原式224lim1xxxx注：洛必达之前同除（x的最高次幂）或抓大头（保留x的最高次幂）【例 12】求极限limarctan41xxxx.注：0，同除简单因式转化为00或法一：同除.原式arctan41lim1xxxx22222211(1)01i110limlim1(1)2xxxxxxxxx洛011iiarctan41limtxttt令2200 1110lim21111ttt 洛法二：拉氏 Th arctanf xx，f bf afba，ab原式limarctan1 arctan1xxxx21lim111xxxx，111x111lim212xxx抓大头提非零因子V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师23【例 13】求极限011limln 1sinxxx.原式200sinln 1sinln 1limlimln 1sinxxxxxxxxx法一：洛必达原式01cos1lim2xxxx201sin11lim22xxx法二：拆项等价原式322200sinln 162limlimxxxxxxxxxx法三：Taylor 公式原式3322201113!2lim2xxxo xxxo xx.【例 14】求极限limxxxxx.法一：有理化原式limxxxxxxx1lim2xxxx抓大头.法二：提x（x的最高次幂）原式lim11xxxxx11lim22xxxxx抓大头【例 15】求极限21limln 1xxxx.法一：倒代换.令1xtV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师24原式2200ln 1ln 11limlimtttttttt22012lim2ttt.法二：提2x（x的最高次幂）原式211limln 1xxxx221 11lim2xxx x.法三：同除2x原式222111 1ln 112limlim112xxxxxxx.法四：Taylor 公式原式22211 111lim22xxxoxxx.注：1xt通分 有分数有理化 有根式倒代换 令【例 16】求极限tan01limxxx.法：00或0lnlimlimevvxx幂指转化（1）lnlneebbabaa（2）lnlnlnabab（3）lnlnlnaabbV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师25（4）lnloglnabba原式0011lim tanlnlimln02eee1xxxxxx 推广：0limln0,0 xxx 为无穷大例如：0limln0 xxx【例 17】求极限11 cos0arcsinlimxxxx.法：1（1）limln 1limln 1lim 1eexxvvvx例如：322lim 1lim 13xxxxxx6e，（2）lim1limlim 11exvvxxv拆项原式33006lim1arcsin1lim1 cos32eeexxxx xxxx.【例 18】求极限1sinlimsinx axaxa.原式1sinsinlimsinexaxax aa1sinsinlimsinexaxaax a提非零常数法一：洛必达sinsinlimlimcoscosxaxaxaxaxa法二：拉氏 Th，sinf xxcossinsinlimlimxaxaxaxaxaxa，介于x与a之间.cosa法三：导数定义 0000limxxfxfxfxxxV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师26sinsinlimsincosxax axaxaxa故原式coscotsineeaaa【例 19】（2006）设10 x，1sinnnxx，（）证明limnnx，并求之；（）求211limnxnnnxx.Pr：（1）10 x，210sin1xx，0nx，nx有界.1sinnnnxxx注：四个重要不等式（1）sintanxxx，02x（2）sinxx，0 x（3）ln 11xxxx，0 x（4）ln 1xx，1x 且0 x.1sinnnnxxx，nx由单调有界 Th 知limnnx令limnnxa，等式1sinnnxx两端取极限，得sinaa，解得0a.（3）2211101sinlimlimnxnxnnxnxxxxxx323001 sin16limlim6eeexxxx xxxx.【例 20】求极限)2211(lim222nnnnnn 。解：因为2)1(11)2211(12)1(22222 nnnnnnnnnnnn，而2112)1(lim2)1(11lim22nnnnnnnnn，故由夹逼准则可得V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师2721)2211(lim222 nnnnnn。【例 21】若0,1 maa，求nnmnnaa 1lim。解：记,.,maxm1maxaaa因为maxmaxm1maxmax.ammaaaaannnnnnnn，又因为maxmaxlimaamnn，所以,.,maxlimm11aaaannmnn 。注：因为)(101naan，)(1eeln1ln11nnnnnnn，所以（1）1limnna；（2）1limnnn。（3）n 次根号下 n 次方的和的极限为根号下的所有数取最大值。【例 22】求nnnnbalim，其中0ba。解：将根号下的数改写为 n 次方的形式，即nnaa)1(，nnbb)1(，由于0ba故nnba)1()1(。由上题的结论知本题的答案为b1。【例 23】求极限nnnx31lim_.解：原式1,11,3xxx【例 24】求极限nnnnxx)2(1lim2，0 x。解：当需要比较三个或三个以上的函数的时候用画图法。将题目中的“1”改写为“n1”，此时需要比较1y，xy，22xy 这三个函数的大小。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师28由图知2221101)2(1lim22xxxxxxxnnnn，专题十 定积分定义【例 25】求极限nnnn111lim.解：分析-如果想用夹逼定理，则对原式进行放缩得1111nnnnnnnn，但21limnnnn，11limnnn，故用夹逼定理是不可行的。2ln)1(lnd11111lim1lim111lim101011xxxnniinnnnninninn。【例 26】求极限22222221limnnnnnnnn。解：。4arctand111)(11lim1lim21lim10102121222222222 xxxnnininnnnnnnnnninninn【例 27】求极限)sin2sin21(sin1lim2nnnnnnn 。解：1cos1sinsin1cosdcoscoscosddsin1sinlimsin1lim)sin2sin21(sin1lim10101010101122 xxxxxxxxxxnnininiinnnnnnnninninn【例 28】(2010)求极限ninjnjninn1122)(lim。解：V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师292ln4arctan)1ln(d11d11dd)1)(1(11)(1)(1(lim)(lim10101012101221121122 yxyyxxyxyxnnjninjninnooninjnninjn【例 29】求极限ninjnnij114lim。解：412121dddd11limlim1021021010101011114 yxyyxxyxxynnnjninijninjnninjnV 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师30第三节 连续与间断点专题一、连续【例 30】设)(xf在10，上连续，)1()0(ff，证明1,0，使得)()41(ff。证明：即证0)()41(ff，令)()41()(xfxfxF，则，)43()1()43(),21()43()21(),41()21()41(),0()41()0(ffFffFffFffF从 而0)0()1()43()21()41()0(ffFFFF，由 介 值 定 理 的 推 论 知，1,0使 得04)43()21()41()0()(FFFFF，即0)()41(ff，故)()41(ff。专题二、间断点【例 31】求xxxxfsin1ln)(的间断点及其类型。解：1,0 x为间断点。0lnlimsinlnlim)(lim000 xxxxxfxxx，故0 x为可去间断点。又1sin1lim1sin1lnlim1sin)(lim10011xxxxfxxx洛必达法则，1sin1lim1sin1lnlim1