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1 2017 全国研究生入学考试考研数学三解析 2017 全国研究生入学考试考研数学三解析 本试卷满分 150，考试时间 180 分钟 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上指定位置上.（1）若函数1 cos,0,(),0,xxf xaxbx在0 x，处连续，则（）（A）12ab （B）12ab （C）0ab （D）2ab 【答案】【答案】（A）【解析解析】由()f x在0 x 连续可得0lim()(0)xf xf 0011cos12limlim2xxxxaxaxa，(0)fb12ab（2）二元函数(3)zxyxy 的极值点是（）（A）(0,0)（B）(0,3)（C）(3,0)（D）(1,1)【答案】【答案】【解析解析】(3)(32)xzyxyxyyxy (3)(32)yzxxyxyxxy 2xxzy ，322xyzxy，2yyzx 验证可得（A）、（B）、（C）、（D）四个选项均满足00 xyzz 其中（D）选项对应(1,1)2xxAz，(1,1)1xyBz，(1,1)2yyCz 满足230ACB，所以该点为极值点.。（3）设函数()f x可导，且()()0f x fx，则（）（A）(1)(1)ff （B）(1)(1)ff （C）(1)(1)ff （D）(1)(1)ff 2 【答案】【答案】（C）【解析解析】令2()()F xfx，则有()2()()F xf x fx，故()F x单调递增，则(1)(1)FF，即22(1)(1)ff，即(1)(1)ff，故选 C。（4）设级数211sinln 1nknn收敛，则k（）（A）1 （B）2 （C）1 （D）2【答案】【答案】（C）【解析解析】由33221111 1111sinln(1)()()62kkokonnnnnnnn232111(1)()26kkonnnn，又211sinln(1)nknn收敛，故有10k ，即1k ，故选 C。（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆 （B）TE不可逆 （C）2TE不可逆 （D）2TE不可逆【解析解析】选项:A由()0TE可知，()0TEX有非零解，故0TE,即TE不可逆。选项:B由()1Tr知，T的特征值为(1)0,0,0,1n个，故+TE的特征值为(1)1,1,1,2n个，因此+20TE，可逆。选项:C同理可得+2TE的特征值为(1)1,1,1,3n个，故+23 0TE，可逆。选项:D同理可得2TE的特征值为(1)1,1,1,1n个，故210TE ，可逆。（6）设矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）A与C相似，B与C相似 （B）A与C相似，B与C不相似 （C）A与C不相似，B与C相似 （D）A与C不相似，B与C不相似 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3 【答案】【答案】（B）【解析】【解析】由（）=0EA 可知A的特征值为 2,2,1。3(2)1rEA。A A可相似对角化，且100020002A 由0EB 可知B B的特征值为 2,2,1。3(2)2rEB。B B不可相似对角化，显然C C可相似对角化，AC。且B B不相似于C C。（7）设,A B C为三个随机事件，且A与C相互独立，B与C相互独立，则AB与C相互独立的充要条件是（A）A与B相互独立 （B）A与B互不相容 （C）AB与C相互独立 （D）AB与C互不相容 【答案】【答案】（C）【解析解析】由AB与C，独立得()()()()()()()()()()()()()()()P AB CP AB P CP ACBCP AP BP AB P CP ACP BCP ABCP AP BP AB P C，又由A与C，B与C独立得()()()()P ABCP A P B P C。由此验证（A）（B）（C）（D）四项，又（C）选项可得()()()()P ABCP A P B P C。（8）设12,(2)nX XXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（A）21()niiX服从2分布 （B）212()nXX服从2分布 （C）21()niiXX服从2分布 （D）2()n X服从2分布 【答案】【答案】（B）【解析解析】（A）(0,1)iXN故221()()niiXn；4 （B）11(0,2)(0,1)2nnXXXXNN 221(1)2nxx 即221()(1)2nxx。（C）由22222111(),(1)()(1)1nniiiiSXXnSXXnn。（D）1()0,XNn，则()(0,1)n XN，所以22()(1)n X。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在答题纸分，请将答案写在答题纸指定位置上指定位置上.（9）322(sin)xx dx _。【答案答案】32。【解析解析】由对称区间上积分的性质可知，332222(sin)2xxdxx dx。（10）差分方程122tttyy的通解为ty _。【答案答案】122,2tttyCtCR。【解析解析】由122tttyy可得齐次特征方程为20r，得2r，故其齐次方程的通解为2tyC，设*2tyat，代入得12a，故通解为122,2tttyCtCR。（11）设生产某产品的平均成本 1QC Qe，其中Q为产量，则边际成本为_。【答案答案】()1(1)QC QeQ。【解析解析】()1QC QeQ 得()(1)QC QQe，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5 则边际成本为：()1(1)QC QeQ。（12）设函数(,)f x y具有一阶连续偏导数，且(,)(1)yydf x yye dxxy e dy，(0,0)0f，则(,)f x y _。【答案答案】yxye。【解 析解 析】由 题 可 知，yxfye，1yyfxy e，,()yyf x yye dxxyec y，()yyyyyfxexyec yxexye，即()0c y，即()c yc，0,00f，故0c，即,yf xyx y e。(13)设矩阵101112011A=，123,为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,的秩为_。【答案】【答案】2【解析解析】由于123,线性无关，可知矩阵123(,)可逆，故123123(,)(,)()rrr AAAAA，不难计算的()2rA，故123(,)2rAAA。(14)设随机变量X的概率分布为122P x ，1P xa，3P xb，若0EX，则DX _。【答案】【答案】92【解析解析】由分布律的归一性可知112ab，又由于0EX，可知121302ab ，解得11,44ab，从而22221119(2)132442EX ,229(EX)2DXEX。三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)求030limxtxxte dtx。【解析解析】先对变上限积分0 xtxte dt作变量代换uxt，得 6 000()xxtx uxuxxte dtuedueue du 则由洛必达法则可知：原式=00lim32xxuxeue duxx=0022lim33xuxxue duxe=022lim1332xxxxxexeex=022lim1332xxxxxexee 23(16)(本题满分 10 分)计算积分324(1)Dydxdyxy，其中D是第一象限中以曲线yx与x轴为边界的无界区域。【解析解析】积分区域如图所示，选用直接坐标计算该积分，先对y积分，后对x积分得 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7 324200424200024202200(1)14(1)11|4(1)111()411211(arctanarctan2)|421(1)82xxxy dydxxydydxxydxxydxxxxx 原式(17)(本题满分 10 分)求21limln(1)nnkkknn。【解析解析】由定积分的定义式可知 原式=1011limln 1ln 1nnkkkxx dxnnn，再由分部积分法可知：2211121000012100111ln 1ln 11ln 1|ln 122211111|244xxxx dxx d xxdxxdxx (18)(本题满分 10 分)已知方程11ln(1)kxx在区间(0,1)内有实根，试确定常数k的取值范围。【解析解析】令11()ln(1)f xxx，222222111()ln(1)1(1)ln(1)(1)ln(1)fxxxxxxxxxx 令22()(1)ln(1)g xxxx，可得 yx 8 2()ln(1)2ln(1)2ln(1)()20,(0,1)1g xxxxxxgxxx 故()g x在0,1上单调递减，从而(0,1)x时()(0)0g xg 故()g x在0,1上单调递减，从而(0,1)x时()(0)0g xg 因 此 有()0fx，可 知()f x在(0,1上 单 调 递 减，从 而1(1)1ln2f，00111lim()limln(1)2xxf xxx，则要使得()f xk在(0,1)内有实根，必有111ln22k。（19）（本题满分 10 分）设01a，10a，111()(1,2,)1nnnanaann，()S x为幂级数0nnna x的和函数，（I）证明幂级数0nnna x的收敛半径不小于1；（II）证明(1)()()0 x S xxS x（(1,1)x），并求()S x的表达式。【解析解析】（I）由111()1nnnanaan，两边同时减去na可知 111()1nnnnaaaan 进而有1121011(1)(1)()()1(1)!(1)!nnnnnnaaaaaannnn 从而有1211121(1)(1)(1)(1)!(1)!nnnknnnnkaaannnk 则11limlim 1lim12!nnnnnnnann，故收敛半径1R；（II）由逐项求导定理可知11()nnnS xna x 故11111(1)()(1)nnnnnnnnnx S xxna xna xna x 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 111011(1)(1)nnnnnnnnnnnaxna xnanaxa x 1101()nnnnnnxS xa xax 则1111(1)()()(1)nnnnnx S xxS xnanaaxa x 由111()1nnnanaan可知11(1)0nnnnanaa，又由于10a，故(1)()()0 x S xxS x 解此微分方程可得()1xceS xx 又由于0(0)1Sa，可知1c，从而()1xeS xx。（20）（本题满分 10 分）设三阶矩阵123(,)A 有3个不同的特征值，且3122，（I）证明()2r A；（II）若123，求方程组Ax的通解。【解析解析】()由3122可知123,线性相关，从而()2r A，可知0为A的一个特征值，设A的另外两个特征值为12,，由于A有三个互不相同特征值，可知A可以相似对角化，从而A相似于对角矩阵120，由于12,0，可知()2r ，从而()()2r Ar。()先求0Ax 的通解：由于()2r A，可知0Ax 的基础解系中仅含有一个向量，从而0Ax 的任何一个非零解均为0Ax 的基础解系。由于3122，可知12312201A，因此121即为0Ax 的基础解系，0Ax 的通解为12,1kkR。再求Ax的特解：显然 10 111A ，因此111 即为Ax的特解，综上所述，Ax的通解为1121,11kkR （21）（本题满分 10 分）设二次型2221231231 21 323(,)2282f x x xxxaxx xx xx x在正交变换xQy下标准形为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【解析】【解析】二次型的矩阵为21411141Aa，由于二次型在正交变换下的标准形为221122yy，可知0为A的一个特征值，从而360Aa，可得2a。要计算正交矩阵Q，先求A的特征值，则由214111(6)(3)0412EA，得A的特征值为0,6,3。先求0的特征向量：0Ax 的基础解系为1121 ，单位化得111261 ，再求6的特征向量：(6)0AE x的基础解系为2101，单位化得211021，再求3的特征向量：(3)0AE x的基础解系为3111，单位化得311131，故23123623636(,)033236236Q （22）（本题满分 11 分）设随机变量,X Y相互独立，且X的概率分布为1022P XP X，大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 Y的概率密度为2,01,()0,yyf y其他（I）求P YEY；（II）求ZXY的概率密度。【解析【解析】（）由数字特征的计算公式可知：1202()23EYyf y dyy dy。则2233024()239P YEYP Yf y dyydy。（）先求Z的分布函数，由分布函数的定义可知：()ZF zP ZzP XYz。由于X为离散型随机变量，则由全概率公式可知()ZF zP XYz 0|01|11112211()(1)22YYP XP XYz XP XP XYz XP YzP YzF zF z（其中()YF z为Y的分布函数：()YF zP Yz（23）(本题满分 10 分)某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量是已知的。设n次测量结果为12,nXXX相互独立且服从正态分布2(,)N，该工程师记录的是n次测量的绝对误差(1,2,)iiZXin，利用12,nZ ZZ估计（I）求Z1的概率密度；（II）利用一阶矩求的矩估计量；（IIII）求的最大似然估计量；【解 析解 析】（I）因 为2(,)iXN，所 以2(0,)iiYXN，对 应 的 概 率 密 度 为 22212yYfye，设iZ的分布函数为 F z，对应的概率密度为()f z；当0z 时，0F z；当0z 时，22212yziiizF zP ZzP YzPzYzedy；12 则iZ的概率密度为2222,z0()()20,z0zef zF z；（II）因 为22202222ziEZzedz，所 以2iEZ，从 而的 矩 估 计 量 为1122niiZZn；（II）由题知对应的似然函数为2221212 1(,.,)iznniL z zze，取对数得：2212lnlnln2niizL，所以231ln()1niizdLd，令ln()0dLd，得211niizn，所以的最大似然估计量为211niiZn。大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214