2015年数学三真题答案解析.pdf

2015年2015年关注公众号【考研题库】保存更多高清资料又因级数区收敛，由正项级数比较审敛法的极限形式可知，原级数收敛n-l n易2 对于C选项：（:+1尸n=2m,n=2m+l=(m O),故互(1)+1 lnn=:z:2 ln2ni=n-2 n-2n-2 由比较审敛法知，原级数发散对于D选项：Un+!.(n+l)!旷n n l-n+l)五希!1!工=!:.1!(n+l)n+l n!=!1!(n+l)=!声(1n+l)=e-1 1.由比值审敛法知，原级数收敛故应选C.(5)D解1 1 1 IA I=1 2 a=(a2)(a1)(21)=(a-2)(a1).1 4 a2 由线性方程组有无穷多解，得IA l=O,即a=l或a=2.由题意，知r(A)r(Ab)。h;:)勹:)1 1 1 当aI时，(A,b)oIO dI 同理，当a2时，(A,b)0 I I dI 0 0 0(d1)(d2)由题意，知r(A)=r CA,b)3,即d=l或d=2.故应选D.(6)A解又因为QP:J:PAP IJ 所以1 0 QAQo1 0 0:rn:ff PAP:ImI:1故应选A.(7)C:I:m:IJ:mI:I J 解对于A,B选项：当事件A与B独立时，P(AB)=P(A)PCB).而当A,B不独立时，P(AB)与P(A)P(B)没有确定的关系，所以A,B选项错误关注公众号【考研题库】保存更多高清资料对于C,D选项：由概率性质P(A)P(AB)平CB)P(AB),PCA)+PCB)两式相加，得P(A)+PCB)2PCAB),即P(AB)-.故应选C.(8)B解因为XB(m,0),所以DCX)=m0Cl-0).l n 设s2=ex,X几则E(S2)=D(X)=m0Cl-0).区n-l i-1 所以E笘ex,一X)2=Cnl)E n1言ex,X)z=(nl)E(S2)=(nl)D(X)=m(n1)0(10).故应选B.二、填空题(9)1 2 解利用等价无穷小代换1 2 x ln(cosx)lnl+(cosxl)cosx11 lim=lim=lim=lim2=.2 2 工-oX x-oX工-oX2 2.,o X 2(10)2解po)=I 1(t)dt 矿(x)=xf:2f(t)dt=x Zxf(x2)+f工f(t)dt故矿Cl)=ZJ(l)+f:Jt)dt=ZJ(l)+pCl).由题目中条件，知J(l)=1 2(11)-dx了dy3 矿(1)p(1)=2.解由方程e工+2y+3z+xyz=l 知，当X=O,y=O时，z=0.对方程两边分别关于x和y求偏导数，得e工+2y+3z(1+3勹+yz+xy生=O,知吐e工+2y+3之(2+3 lz 石）lz+xz+xy=O.3y 将x=O,y=O,z=O代入两式，得生I=-上生 2 dX(O,O)3dy CO,Ol 3 dz I=dxdy.(0,0)3 3(12)Ze工十e-2工，则解因 y(x)在X=O处取得极值3且y(x)可导，则y(O)=3,y(O)=0.特征方程为入2十入-2=0,解得入I=l,入2=2.所以微分方程的通解为y=C1e工+C2e-2勹代入y(O)=3,y(O)=O,解得C1=Z,C2=l.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料故y(x)=ze+e-2气(13)21解由A的特征值为z2,1及B=A2-A+E,则B的特征值为3,7,1,从而 B =3 X 7 X 1=21.1(14)z解由于相关系数为o,所以，X,Y都服从正态分布，即XN(l,l),YN(O,l),且X和Y相互独立由XN(l,l),可得XlN(O,l),所以PXY-Y O=P(Xl)YO=PX-lO+PX-lO,YO=P X-1 O+P X1 O P Y O 长三三=三、解答题(15)解因为a 曰(x)=屯1+l+x+b(sinx+XCOSX)=1+a,曰(x)四3kxo,f(x)J(x)所以当l+a#-0时，lim=lim,=.与题设矛盾x于o g(x)尸O g(x)故l+a=O,即a=-1.又四厂(x)=叶(1:x)2+b(Zcosxxsinx)=-a+Zb=l+Zb,limg(x)c=lim6kx=0,x-ox-o由题设，同理可知1+2b=0,即b=.1 2 由于2a 尸(x)Cl+x)3-b(3sinx+xcosx)hm 111=lim x-0 g(x)x-06kf(x)1 且lim=l,所以=l,即k=1 x-o g(x)3k 3(16)解因为区域D关于y轴对称，所以Jfxydxdy=0,(x+y)dxd:xdxdy D=2 dx J厂正dya 1 3k 3k=2fx气立了一x勹dx。，关注公众号【考研题库】保存更多高清资料=2 f xz互勹dx2x4dx.0 0 令x=荔sint,则xz年二dx=J:4sin2tcos2tdt=J:ocos4t)dt=王，。8又rx4dx二，所以0 5(x+y)dxdy=二I.4 5(17)解(18)解所以定价模型为_1-f1-7，-c lM f-l p -li 171-7dp-dQ-MCQ11(_+P P”rp 且，益Qc M 收dR-d 于“V 边R R M 得M，Q有应p ，R大益最收司J 由利）使欲I（C II)由题设知MC=ZQ,T/=p dQ p Q dp 40-p 由 厂(x)u(x)u2(x)un(x)+u1(x)u12Cx)Un(x)+u1(x)u2(x)u.,(x).(20)解C I)由于A3=O,所以a 1 0 A1 al=a3=0,0 1 a 千是a=O.C II)由于所以由CI)知X-XA2-AX+AXA2=E,(E-A)X(E-A 2)=E.E-A+:1:l E-A1 因为E-A,E-A2均可逆，所以21 120 1 312 x-mA)一CBA产+l-10 I O l+I1 110 10 0 211，、JIO2 OlO(21)解C I)由于矩阵A与矩阵B相似，所以tr(A)=tr(B),IAl=IBI,3+a-z+b,2a3=b,于是解得a=4,b=5.(ll)由(1)知A-i:-;.由于矩阵A勹矩阵B气:三以I队H-HlC入1)气入-5),故A的特征值为入1=儿=l,儿=5.2-3 当A,儿1时，由方程组(;-A)xO,得线性尤关的特征向量尸Js,-:关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1 当儿5时，由方程组(5E-A)xO,得特征向量S,了令P-(卢心厂。3。1100（p IP 贝,lA 丿llp 1 010，005故P为所求可逆矩阵(22)解C I)每次观测中，观测值大千3的概率为PX 3=J厂f(x)dx=r=2-x ln2dx一1 8 故Y的概率分布为C II)P Y=k =Ck 1)(;)k-z(!)2,k=2,3,EY=:z=k Ck 1)7 k-2 1 2 k-2一厂）（习=(订(:r)1 2 2=(百)(1儿.):1 I三7b”=16.(23)解C I)由于总体X服从区间0,1上的均匀分布，所以EX=1+0 2.1+e 2令=X,其中X为样本均值，得0的矩估计批ezx1.C II)记X1立，Xn为样本X1,X2,，X的观测值，则似然函数为L()=II f(x;(),-1 1(1 0)0 1-o0)o,其他由此可知，当(=minx1,xz,，工时，L()达到最大，故0的最大似然估计晕0=minX1,X2,，X)X,之l(i=1,2,n),其他O冬minx1,立，工，关注公众号【考研题库】保存更多高清资料