150概率论（无答案版）考研资料.pdf

2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第一章第一章 事件与概率事件与概率 重点题型重点题型一一 事件事件的的关系关系、运算运算与概率的性质与概率的性质【例【例 1】设X，Y为随机变量，305P XY=，4max(,)05PX Y=，则min(,)0PX Y=【】（A）15 （B）25 （C）35 （D）45 重点题型重点题型三三 三大三大概率公式概率公式的计算的计算【例【例 2】设A，B为两个随机事件，()0.4P A=，(|)0.5P B A=，已知A和B中至少有一个不发生，则A发生B不发生的概率为 .【例例 3】袋内有a个红球与2a个白球，每次都随机地摸出一个球，若是红球，则将该球放回并且再加进a个红球，然后再从袋中任取一个球，如果仍是红球，则再将该球放回并且再加进a个红球，如此继续，直至摸到白球为止，则第n次才摸到白球的概率是 .2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 2【例【例 4】设随机变量X服从参数为的 Poisson 分布，随机变量Y在0 X之间任取一个非负整数.求概率2P Y=.【例【例 5】设X为三个同类产品中次品的个数，且32EX=，现从中任取一个产品，则该产品是次品的概率为 .第二章第二章 一维随机变一维随机变量量 重点重点题型题型一一 分布函数分布函数的判定与计算的判定与计算【例例 6】同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，则抛掷次数X的分布函数为 .2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 3 重点题型重点题型二二 概率密度概率密度的判定与计算的判定与计算【例【例 7】设随机变量X的密度函数和分布函数分别为()f x和()F x，当0 x 时，1()()f xF xk+=；当0 x 时，2()()f xF xk+=，其中1k，2k为常数.（）求1k，2k及()f x；（）求2P aXa的最大值，其中a为常数.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 4 重点题型重点题型三三 关于关于八大分布八大分布【例【例 8】设X为随机变量，,s t为正数，,m n为正整数，下列结论正确的个数为【】若X服从参数为的指数分布，则|P Xst Xs+与s无关 若X的密度函数为21,1()0,1xf xxx=则当1t 时，2|P Xt Xt与t无关 若X服从参数为p的几何分布，则|P Xmn Xm+与m无关 若X的分布律为1,1,2,(1)P Xkkk k=+，则2|P Xn Xn与n无关（A）1（B）2 （C）3 （D）4 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 5【例例 9】设随机变量X服从参数为6的泊松分布，则当P Xn=最大时，n=.重点题型重点题型四四 求求一一维维连续型连续型随机变随机变量函数量函数的的分布分布【例【例 10】设随机变量X的概率密度为2221,0()2 ,0 xxexf xex=，求：（）2YX=的概率密度()Yfy；（）EY.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 6【例【例 11】设随机变量X的分布函数为 1,1(),01 0,0 xF xabxxx=+，且104P X=，求：（I）常数ba,；（II）ln()YF X=的分布函数()YFy.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 7【例【例 12】设随机变量1,1XU，记0,10.51,0.51XYX=，0.5ZX=，求（）Y的概率分布；（）Z的概率密度()zfz；（）UYZ=的分布函数()UFu.【例【例 13】设随机变量(1)XE，1YX=+，ZXX=，其中 X表示不超过X的最大整数.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 8（I）求Y的概率分布及6|5P YY；（II）求Z的概率密度()Zfz；（III）求 E X.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 9【例例 14】设随机变量XN(0,1)，=YXmax,0.（I）求Y 的分布函数FyY()，并讨论其间断点的类型；（II）求EY，DY；（III）求Cov X Y(,).2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 10 第第三三章章 二维随机变量二维随机变量 重点题型重点题型一一 联合联合分布分布函数函数的的计算计算【例【例 15】设随机变量XE()，Y=X2，则（X,Y）的联合分布函数=F x y(,).2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 11【例【例 16】求(X,Y)的联合分布函数F x y(,)（1）设他其=f x yxy0,(,)2,01（2）设他其=+f x yxyxy0,(,)2,0,0,1（3）设X Y(,)服从D上的均匀分布，其中D为x轴，y轴及直线=+yx21所围的三角形区域.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 12 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 13 重点题型重点题型二二 二维离散型随机变量二维离散型随机变量分布分布的计算的计算【例例 17】设随机变量,X Y均服从101113828，2X与2Y相互独立，且1104PXY+=.若max,UX Y=，min,VX Y=.（I）求(,)X Y的联合概率分布；（II）判定X与Y是否相互独立；（III）求(,)Cov U V.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 14 故X与Y不相互独立.（III）U V(,)的联合概率分布为 V U 1 0 1 pi 1 1 8 0 0 1 8 0 0 1 4 0 1 4 1 0 1 2 1 8 5 8 pj 1 8 3 4 1 8 1 故=+=Cov U VE UVEU EV884(,)()(1)(1)111 重点题型重点题型三三 二维二维连连续续型型随机随机变量变量分分布布的计算的计算【例例 18】设二维随机变量X Y(,)的密度函数为f x y(,)，（1）令=UY，=VX2，（2）令=UY2，=VX，（3）令=UX，=+VXY，求随机变量U V(,)的联合概率密度函数.（1）令=UY，=VX2，设U V(,)的联合分布函数为=G x yP Ux VyP YxXyP XYxFxyy22(,),2,，则U V(,)的联合概率密度函数为=x yfxG x yy22,(,)12.（2）令=UY2，=VX=Fu vP Uu VvPYuXvPXv YuUV2(,),2,=+P YP YvFuuuu222 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 15【例例 19】（二维（二维连续型连续型随机变量）随机变量）设随机变量(,)X Y的联合概率密度为8,01(,)0,xyyxf x y=其他，求|P YEY XEX=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 16 重点题型重点题型四四 关于二维正态分布关于二维正态分布【例【例 20】设X Y(,)服从二维正态分布，概率密度为=+f x yexy210(,)122 10222，则=P YX【详解【详解】方法一：=+P YXf x y dxdyedxdyy xy xxy2(,)1222 =+derdrederrrr22222|11114000222425222;方法二：由题设知X YN(,)(0,0;1,1;0),YXN(0,2),故=P YXP YX201;方法三:由对称性=P YXP XY，+=P YXP XY1，故=P YX21.【例【例 21】设随机变量X YN2(,)0,0;1,4;1，x()为标准正态分布函数=(1)0.8413)，=UXY2，=+VXY2.（I）求U V(,)的联合概率密度；（II）求+=P YXYXY22|21.【详【详解解】（I）由于X YN2(,)0,0;1,4;1，故UN(0,4)，VN(0,12).又=VYUX2121，且=214021，故U V(,)服从二维正态分布.由=+=Cov U VCovXYXYDXDY(,)(2,2)40 得=UV0，从而U与V相互独立，故U V(,)的联合概率密度为=+f u vfu fveeeUVuuvv2 22 2 38 3(,)()()1112 42 128312222（II）=+=PUYXYPUVU2 01(1)(0)0.3413 22|2102|102 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 17 重点题型重点题型五五 求求二维二维连续连续型随机变量型随机变量函数函数的的分分布布【例【例 22】设随机变量XE(1)1，XE(1)2，令=XXXmin,12，=YXXmax,12，（）求X Y(,)的联合概率密度函数；（）求=ZYX的概率密度函数.【例【例 23】设随机变量X 与Y 相互独立同分布，概率密度为f x()，分布函数为F x().若=UF X()，=VF Y()，=+ZUV2.（I）求U V(,)的联合概率密度；（II）求Z的概率密度fzZ().2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 18 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 19【例例 24】（二维连续型随机变量（二维连续型随机变量）设随机变量(,)X Y的联合概率密度为 3,0,01(,)0,yxyyf x y=其他，ZXY=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 20（I）求Z的概率密度()Zfz；（II）求(,)Cov X Z.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 21（1）设=ZXY，则=+xxyyfzfxdxfy dyzzZ(),11（2）设=XZY，则=+fzx f x xz dxZ()(,)；设=YZX，则=+fzy f yz y dyZ()(,).【例【例 25】设随机变量XNi(0,1)，=i1,2,3,4且XXXX,1234相互独立，令，=+YXX1222，=+ZXXXX12342222，（I）求Y的概率密度fyY()；（II）求Z的概率密度fzZ().【详解】【详解】（I）因X1与X2独立且同服从标准正态分布N(0,1)，故XX(,)12的联合分布密度为=+f x xexx2(,)11221222，当y0时，=FyY()0；当y0时，=+FyP YyP XXyY()1222=+edx dxxxyxx2112212221222=dredreyry211002222 Y的分布函数为=yFyeyYy 0,0()1,02；于是Y的概率密度为=yfyeyYy 0,02(),012.（II）由于XXXX,1234相互独立同分布，故+XX1222与+XX3422也相互独立同分布，记=+YXX1222，=+UXX3422，则随机变量Y与U相互独立都服从参数为1 2的指数分布，根据独立随机变量之和的卷积公式，=+ZYU的概率密度为=+fzf u zu dufu fzu duZUYz()(,)()()0，当z0时，=fzZ()0；当z0时，=fzeeduezZzuz uz224()110222，于是Z的概率密度=zfzezzZz 0,04(),02 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 22 重点题型重点题型七七 求求一离散一一离散一连续连续随机变量随机变量函数函数的的分分布布【例例 26】设随机变量X与Y相互独立，XE(1)，YB21,1.若=ZXY.（I）求 Z的概率密度fzZ()；（II）求E Z，D Z.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 23【例【例 27】设随机变量X Y Y,12相互独立，XB21,1，Y Y,12均服从区间0,1上的均匀分布.若=UXY1，=VX Y(1)2，=+ZUV.（I）求 Z的概率密度fzZ()；（II）求U与V的相关系数UV.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 24 第第四四章章 数字特征数字特征 重点题型重点题型一一 期望与期望与方差的计算方差的计算【例【例 28】将 3 只球放入 4 只盒子中去，设每只球落入各个盒子都是等可能的，则有球的盒子数X的数学期望EX=.【例【例 29】设每次试验的成功率为(01)pp，不断进行独立重复试验，直到首次成功为止，令随机变量1,1,Y=试验进行的次数为奇数试验进行的次数为偶数，则Y的数学期望为 .【例【例 30】设连续型随机变量X的分布函数为()F x，()YF X=，则2()E Y为【】（A）13 （B）12 （C）112 （D）19 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 25【例【例 31】设连续型随机变量X的概率密度函数为2141(),xxf xe+=则27(9)2EXX=【例【例 32】设随机变量X与Y相互独立同正态分布2(0,)N，则max,EXY=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 26【例【例 33】(1)设()XP，则3EX=；(2)设()XG p，则3EX=.【例【例 34】设随机落在曲线22yxx=与x轴所围闭区域内的点的分布是均匀分布，以(,)X Y表示落点的坐标.（）求落点到y轴的距离的概率密度和分布函数；（）求落点到坐标原点距离的平方的数学期望.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 27【例例 35】设总体(1)XE，1210,XXX为来自总体X的简单随机样本，2310min,YXXX=，111,0,XXYZXY=.（I）求1P XY；（II）求EZ.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 28 重重点题型点题型二二 协方差协方差与相关系数与相关系数的计的计算算【例例 36】设随机变量XU2 2,1 5，X表示不超过X的最大整数.（I）求D X；（II）求D XX()；（III）求 X 与X 的相关系数.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 29 重重点题型点题型四四 相关相关与与独立独立的判定的判定【例例 37】设(,)X Y为二维随机变量，则下列结论正确的是【】（A）若X与Y不相关，则2X与2Y不相关（B）若2X与2Y不相关，则X与Y不相关（C）若X与Y均服从正态分布，则X与Y独立与X与Y不相关等价（D）若X与Y均服从0 1两点分布，则X与Y独立与X与Y不相关等价 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 30【例【例 38】设随机变量0,2XU，sinYX=，sin()ZXa=+，其中0.2a.若Y与Z不相关，则a=.【例例 39】设随机变量(,)X Y的联合概率密度为1(1),1,1(,)4 0,xyxyf x y=其他，1,00,0XYUXY+=+，1,00,0XYVXY=.（I）证明X与Y不相互独立，但2X与2Y相互独立；2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 31（II）判别 U 与 V是否相互独立；（III）求+=P UVU213与+=P XYX213.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 32 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 33 第第五五章章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 【例【例 40】将一颗骰子连续掷 100 次，则根据切比雪夫不等式可以估计出奇数点出现的次数在 35 到 60之间的概率p一定【】（A）不大于14 （B）不大于19 （C）不小于34 （D）不小于89【例【例 41】设总体X服从参数为 1 的指数分布，12,nXXX为取自总体X的一组简单随机样本，则当n时，随机变量211niiXne=依概率收敛于 .