22强化521线代（作业3）（答案详解）考研资料.pdf

2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521作业 3 第 3 章 线代 向量与方程组 3.1 线性相关性线性相关性【1】设任意两个n维向量组12,m 和1,m,若存在两组不全为 0 的数1,m和1,mkk,使()()()()111111mmmmmmkkkk+=0，则（）.（A）12,m 和1,m都线性相关.（B）12,m 和1,m都线性无关.（C）1111,mmmm+线性无关.（D）1111,mmmm+线性相关.解析：已知条件111111()()()()0mmmmmm +=可化为()()()()1111110mmmmmm +=,又1,m与1,m不全为零,故1111,mmmm+线性相关.故选(D).【2】设A为m n矩阵,齐次线性方程组=0Ax仅有零解的充分条件是（）.（A）A的列向量线性无关.（B）A的列向量线性相关.（C）A的行向量线性无关.（D）A的行向量线性相关.解析：Ax=0仅有零解等价于()A=rn，由于A列向量组的秩=A的列数，故A列向量线性无关，选 A.【3】设A是n m矩阵，B是m n矩阵，其中nm，E是单位矩阵，若=ABE，证明B的列向量组线性无关.解析：根据矩阵乘法知=ABE是n阶矩阵，所以 ()()ABE=rrn，又()()ABBrr，所以()Bn r，又()BB=的列数rn，所以()B=rn.由线性无关的充要条件知B的列向量组线性无关.【4】设向量组：12,r 可由向量组：12,s 线性表示，下列命题正确的是（A）若向量组线性无关，则r s （B）若向量组线性相关，则rs（C）若向量组线性无关，则r s （D）若向量组线性相关，则rs.解析：因为向量组可由向量组线性表示，所以12(,)rr 12(,)sr ，又矩阵12(,)s 的列数为s，所以12(,)srs ，所以12(,)rr 12(,)srs ，对于（A），向量组线性无关，则12(,)=rrr ，代入上式，所以r s.故选 A 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 【5】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由123,线性表示，则对于任意常数k，必有（A）12312,k+线性无关.（B）12312,k+线性相关.（C）12312,k+线性无关.（D）12312,k+线性相关 解析：因为向量组123,线性无关，所以()123,3r =；向量1 可由123,线性表示，所以存在一组数123,k k k使得1122331kkk+=成 立，且()()1231123,3rr =；向量2 不能由123,线性表示，所以()()1232123,rr ，即()1232,4r=.又()()123121232,k+，所以()()123121232,4rkr+=，故12312,k+线性无关，应选（A）.小课堂：()()()()()1122334123121232,ckckckckk+，当0k=时，()()12312123,03rkr+=，12312,k+线性相关；当0k 时，()()()1231212321232,4rkrkr+=，12312,k+线性无关.【6】设12,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为12,，则1，()12+A 线性无关的充分必要条件是（A）01.（B）02.（C）01=.（D）02=.解析：111222,=A A，且12,线性无关.则向量组()()1112111221221,(),(,)0+=+=A .因为12,线性无关，所以()12,2r=，进而知()111221,()0rr+=A，所以1和12()+A 线性无关的充要条件是122100=，故答案选 B.【7】设A为3阶矩阵，12,为A的分别属于特征值1,1的特征向量，向量3满足323=+A.证明123,线性无关.解析：因为12,为A的分别属于特征值1,1特征向量，所以1122,=A A，且12,线性无关.【法【法 1 1】记112233kkk+=0 左乘A得1122323()kkk+=0，即1123233()kkkk+=0 由得11322kk=0，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 由于12,线性无关，所以130kk=，回代得22k=0，不难得20k=，综上，仅当1230kkk=时，式才成立，所以123,线性无关【法【法 2 2】记112233kkk+=0 左乘AE得，11322kk+=0，由于12,线性无关，所以130kk=，回代得22k=0，不难得20k=，综上，仅当1230kkk=时，式才成立，所以123,线性无关 【8】设()()T12,1,2,;iiiinaaair rn=是n维实向量，且12,r 线性无关.已知()T12,nb bb=是线性方程组11 1122121 122221 122000nnnnrrrnna xa xa xa xa xa xa xa xa x+=+=+=的非零解向量.试判断向量组12,r 的线性相关性.解析：记()()T12,1,2,iiiinaaair=，由方程组得，()TT0 1,2,iiir=x x.因为()12,nb bb=是0=Ax的解，所以()T01,2,iir=，记11220rrkkkk+=左乘T 得T0k=因为0，所以T0 ，进而知0k=，回代得11220rrkkk+=因为12,r 线性无关，所以120rkkk=，回代得0k=，因为0，所以0k=.综上，仅当120rkkkk=，式才成立，所以向量组12,r 的线性无关.3.2 线性线性表表出出【9】已知()()()()TTTT1231,4,0,2,2,7,1,3,0,1,1,3,10,4ab=问：（I）,a b取何值时，不能由123,线性表出？（II）,a b取何值时，可由123,线性表出？并写出此表达式.解析：令()123,=A ，()120347110,011234ba=A 1203011200100002ab（I）当2b 时，()(,)r Ar A，故 不能由123,线性表出.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 （II）当2,1ba=时,()(,)3=r Ar A,表示法唯一，此时()1203100101120102,0010001000000000aA 解得()T1,2,0=x，代入()123,=x 得122.=+当2,1ba=时,()(,)2=r Ar A,表示法不唯一，此时()1203102101120112,0000000000000000A，解得212kkk=+x，代入()123,=x 得123(21)(2)kkk=+.【10】已知1=()1,0,2,3,2=()1,1,3,5,3=()1,1,2,1a+,4=()1,2,4,8a+及=()1,1,3,5b+.（）,a b为何值时，不能表示成1234,的线性组合？（）,a b为何值时，有1234,的唯一的线性表达式？并写出该表示式.解析：记()()TTTTT1234,=AAA，111111111101121011212324301213518 50225 2ababaa=+A111110112 1.001000010aba+（）当1,0ab=时，()()r Ar A,不能表示成1234、的线性组合.（）当1a 时，()()4.rr=AA表示法唯一，此时方程组的唯一解为T21(,0)111babbaaa+，故12321111+=+babbaaa.【11】设向量组，()()()()TTTT123,2,10,2,1,5,1,1,4,1,ab c=，试问,a b c满足什么条件时，（I）可由123,线性表出，且表示唯一？（II）不能由123,线性表出？（III）可由123,线性表出，但表示不唯一？并求出一般表达式.解析：【法【法 1 1】设3 1221 3+=xxx.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 ()32112112111201214510031044=+aa,babcac 121012100431+aababc,（I）当4a 时，()()3213213=r,r,，方程组为唯一解，可由123,线性表出，且表出唯一.（II）当4a=且31bc时，()()321321r,r,，方程组无解，不可由123,线性表出.（III）当4a=且31=bc时，()()32132123=r,r,方程组有无穷多解，此时()3211241100210121012100000000+b,bb ，通解12302121212110 x+=+=xbbxkbkbxk，且()()1232121+=kkbb.【法【法 2 2】设1 12233+=xxx ()123212121121141054001A=+aa,a ,（I）4a 时，0A,方程组为唯一解，可由123,线性表出，且表出唯一.（II）当4a=时，0A,有可能无解或无穷多解，对增广矩阵作初等行变换得()1234211211211,211421100112105410540015=+bbbbcccb 2110011200031+bbcb（1）当4a=且310cb+时，有()()12312323r,r,=方程组无解，不能表示（2）当4a=且310cb+=时，()()1231232r,r,=方程组有无穷多解，此时()1232112101,0011200112000310000+bbbbcb 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 其通解为12310212102121x=+=+xkxkbkbxbb，得()()1232121+=kkbb.【12】已知向量组12301,2,1110ab =与向量组 1231392,0,6317 =具有相同的秩，且3 可由123,线性表出，求,a b.解析：139139206106121 23170010203bbbb()139120126000531 23bbbb+，所以()1232=,.又因为3可由123,线性表出，所以()()1231233 =,，综上()()12312332=,，进而知()531 203+=bb，解得5b.=由题意知，()()1231232=,，所以()1230505121121150110031=aa,a,解得15=a.综上15=a，5b.=【13】设向量组123,线性无关，向量1 可由123,线性表示，而向量2 不能由123,线性表示，求()1231,r ，()1232,r ，()12312,2r +，()12312,2r .解析：因为向量组123,线性无关，所以()123,3r =；向量1 可由123,线性表示，所以存在一组数123,k k k使得1122331kkk+=成 立，且()()1231123,3rr =；向量2 不能由123,线性表示，所以()()1232123,rr ，即()()1232123,14rr =+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班作业答案高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 又()()123121232,2,+，()()()1231212321232,2,，由于初等变换不改变矩阵的秩，所以()()()12312123121232,2,2,4rrr +=.【14】设向量组123,线性相关，设向量组234,线性无关，问：（）1 能否由23,线性表出？证明你的结论.（）4 能否由123,线性表出？证明你的结论.解析：（）即比较()()12323,rr 的大小关系.向量组234,线性无关，所以向量组23,线性无关，()23,2r=，向量组123,线性相关，所以()123,3r ，又()()12323,2=rr ，所以()123,2r=，综上()()12323,2rr=，所以1 能由23,线性表出.（）即比较()()1234123,rr 的大小关系.向量组234,线性无关，所以()234,3r=，进而知 又由（）知()123,2r=，所以()()1234123,rr ，故4 不能由123,线性表出.【15】若向量组,线性无关，,线性相关，则（A）必可由,线性表示.（B）必不可由,线性表示.（C）必可由,线性表示.（D）必不可由,线性表示.解析：向量组,线性无关，所以向量组,线性无关，又,线性相关，所以 可由向量组,线性表示，亦可由,线性表示.选C.()()1234234,3rr=一笑而过 考研数学