补充讲义 高数-16.pdf

1 定积分的计算 补充内容 1.区间再现公式区间再现公式 设()f x为连续函数，则()().bbaaf x dxf abx dx=+思考：如何证明？【例1】求()40ln 1tan x dx+.2.三角函数积分变换公式三角函数积分变换公式 设()f x在区间0,1上连续，则 1）2200(sin)(cos)fx dxfx dx=；证明：由区间再现公式，222000(sin)sin(cos)2fx dxfxdxfx dx=2）200(sin)2(sin)fx dxfx dx=，200(cos)2(cos)fx dxfx dx=；证明：()()()()02200022222000(sin)(sin)(sin)(sin)sin(sin)sin2sinfx dxfx dxfx dxfx dxftdtfx dxft dtfx dx=+=+=+=()()()()()()()()02200022222000coscoscoscoscos(cos)cos2sinfx dxfx dxfx dxfx dxftdtfx dxft dtfx dx=+=+=+=2 3）00(sin)(sin)2xfx dxfx dx=；证明：由区间再现公式，()()()()()000000(sin)sinsinsin(sin)(sin)2xfx dxx fx dxfx dxxfx dxxfx dxfx dx=注：在0,上2(cos),(cos)fxfx可以看作(sin)fx，(cos)fx不可看作(sin)fx.4）华理士公式：2200(1)!,2!2sincos(1)!,3!nnnnnxdxxdxnnn=为正偶数，为正奇数.（证明见全书例题）5）2220004sin,sincos0,nnnxdxnxdxxdxn=为正偶数，为正奇数.（证明见全书例题）【例2】计算定积分()()12222-1ln111xxxxxdx+【例3】设*nN，求20sinsincosnnnxdxxx+.【例4】证明柯西不等式：设()(),f x g x在积分区间,a b连续，则()()222()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx