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1988数学二真题答案解析(试卷三).pdf
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1988 数学 二真题 答案 解析 试卷
一、填空题一、填空题(本题满分 本题满分 20 分,每小题 分,每小题 4 分分)(1)若2,00),c(sinos()2xxexx xf x是(,)上的连续函数,则1.(2)(3)(4)0 xx.lim(1)tgx 1.(5)40 xe dx 22(1)e 二、选择题二、选择题(本题满分本题满分 20 分,每小题分,每小题 4 分分)(1)612131()32f xxxx的图形在点(0,1)处切线与x轴交点的坐标是(A)(A)1(,0)6(B)(1,0)(C)1(,0)6(D)(1,0)(2)若()f x与()g x在(,)上皆可导,且()f x()g x,则必有(C)(A)()()fxgx(B)()()fxg x(C)00lim()lim()xxxxf xg x(D)00()()Xxf t dtg t dt(3)(4)曲线s(0)in23yxx与x轴围成的图形绕x轴旋转所形成的旋转(B)(A)43(B)43(C)223(D)23若?f(t)=xlimt(11)2tx,则 f t()(2 1)te2t 设.f(x)是连续函数,且?103,xf(t)dt x则 f(7)=112.x 若函数?y=f(x)有2f(x0)1,则当x 0时,该函 x=x0处的微分 dy 是 (B)(A)与x等价的无穷小(C)比x低阶的无穷小(B)与x同阶的无穷小(D)比x高阶的无穷小(5)设y f x()是方程y2y4y 0的一个解,若(f x)0,且f(x0)0,则函数f x()在点x0(A)(A)取得极大值(C)某个邻域内单调增加(B)取得极小值(D)某个邻域内单调减少三、(本题满分 15 分,每小题 5 分)(1)已知?f(x)=e x2,f x()=1-x,且 (x)0.求 (x)并写出它的定义域.(x)21,得()ln(1xx).解:解:由 ex由ln(1x)0,得x11即x 0.所以()x ln(1,其定x)义域为(,0).1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数 学(试卷三)数学试题参考解答及评分标准数 学(试卷三)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料而22(2)(1)(1)xyxyyex yxyxyyex yxyxy,4分 即得000|2xyee.5分(3)求微分方程(1)112x xyxy的通解(一般解).解:解:1121(1)dxdxxxyeedxCx x3分 2111dxCxx4分 1arctanxCx,其中 C 是任意常数.5分 四、四、(本题满分本题满分 12 分分)作函数2462xxy的图形,并填写下表单调增加区间单调减少区间极值点极值凹()区间 凸()区间 拐点渐近线解:解:单调增加区间(,1)(1 分)单调减少区间(1,)(2 分)极值点1(3 分)极值2(4 分)凹区间(,0)(2,)及(6 分)凸区间(0,2)(7 分)拐点33(0,)(2,)22及(9 分)渐进线0y(10 分)(2)已知y 1xexy,求yx 0及yx 0.解:解:显然x 0时,y 1.1 分()y xexyxy y exyexy(x2yxy1).2 分 因此001xye;3 分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料其图形为:五、五、(本题满分本题满分 8 分分)将长为a的铁丝切成两段,一段围成正方形,另一段围成圆形.问这两段铁丝各长为多少时,正方形与圆形的面积之和为最小?解:解:设圆形的周长为x,则正方形的周长为ax,而两面积之和为 222244216816axxaaAxx,3 分 4088aAx(令),得4ax.5 分 408A.7 分 故当圆的周长为4ax时,正方形的周长为44aax时,A 之值最小.8 分 六、六、(本题满分 本题满分 10 分分)设函数?y=y(x)满足微分方程y3y2y 2ex,且图形在点(0,1)处的切线与曲线2y x x1在该点的切线重合,求函数y y(x).解:解:对应齐次方程的通解为12YCeC e2xx.设原方程的特解为y*Axex,得A 2.故原方程通解为122y(x)CexC ex xe22x.又已知有公共切线得00|1xxy1,|y,即12121,12cccc解得c121,c0.所以(12x)e.2xy 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料设()f x在(,)上有连续导数,且mf xM().(1)求dtf taf taaaaa()()41lim20;(2)证f xMmdtf taaa()()21(0)a.解:解:(1)由积分中值定理和微分中值定理有 201lim()()4aaaf taf ta dta01lim()()2afafaa()aa 2 分*00lim()lim()(22)affaaaa=(0)f.4 分(2)证:证:由()f x的有界性及积分估值定理有5 分 1()2aamf t dtMa,6 分 又()Mf xm ,7 分 故有1()()()2aaMmf t dtf xMma,即1()()2aaf t dtf xMma.8 分 七、七、(本题满分本题满分 7 分分)dttx)设x 1,求(1.1解:解:当 x 10时,11(1|)(1)xxt dtt dt1 分 211(1)2xt2 分 1(12x)2.3 分 当x 0时,0110(1|)(1t)(1)xxt dtdtt dt5 分 211(1x)2.7 分 八、八、(本题满分本题满分 8 分分)关注公众号【考研题库】保存更多高清资料

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