第三章 一元函数积分学(答案版)考研资料.pdf

2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 1 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 重点题型重点题型一一 不定积分不定积分的的计算计算【例例 3.1】设21()1cosf xx=+，则()f x在0,上的所有原函数是_.【详解详解】2222sectan1tanarctan1 cossec12tan22dxxdxxdxCxxx=+令 1tanarctan,02222()0,21tanarctan,2222xxF xxxx=+.【详详解解】（1）233422222020022tan(2)2tan42arctan484422xtxtdttdxdtxxtt=+=+（2）【方法方法一】一】令cosxt=，则arccosxt=，得 21coscos321232()01ttxxeeeedxdtt=【方法方法二二】2coscossinsin36362()()0 xxttxteedxeedt=+=（3）【方法方法一一】2222232200232320sin2()(1 sin)cos12cos22 22aaxaatxaxx dxx axadxattdtatdtaa3=+=【方法方法二】二】2222222223002()()2aaaaaaxatxaxx dxx axadxatat dtaat dta=+=+=【例例 3.16】计算下列积分：（1）2sin(+1)(1 cos)xxxdxex+；（2）（全国大学生 2013 年竞赛题）2sinarctan1 cosxxxe dxx+；（3）（莫斯科 1977 年竞赛题）20(0)(1)(1)dxxx+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 17【详解详解】（1）22222200sin1sinsin(+1)(1 cos)2(+1)(1 cos)(+1)(1 cos)1sinsinsin 21 cos1 cos21 cos xxxxxxxxxdxdxexexexxxxxxdxdxdxxxx=+=+2200cos arctancos21 cos24dxxx=+（2）222232sin1sinsinarctanarctanarctan1 cos21 cos1 cossin 41 cos428xxxxxxxxxe dxeedxxxxxxdxx=+=+（3）【方方法法一】一】222220002200tan1sec(1)(1)(1tan)(1tan)1tancos1sincos sincos2sincos4xtdxdttdtxxttttttdtdttttt+=+=+【方法方法二二】22220000200111(1)(1)(1)(1)(1)(1)2(1)(1)11 arctan2124xdxtxxtdtdxdxxxttxxxxdxxx+=+=+=+【例例 3.17】计算下列积分：（I）20lnsinxdx；（II）2220sinxdxx.【详解详解】（I）由 222200002001111lnsin(lnsinlncos)lnsin2lnsin2ln222224211 lnsinln2lnsinln24424xdxxx dxx dxxdxxttdtxdx=+=得20lnsinln22xdx=.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 18（II）222222222000002200cotcot2cot2lnsinsin 2 lnsin2lnsinln2xdxx dxxxxxdxxdxxxxxdx=+=【例例 3.18】（I）（南京大学 1995）证明4400lnsinlncos4xdxxdx+=；（II）（北京市 1990 年竞赛题）计算积分120ln(1)1xdxx+.【详解详解】（I）44004lnsinlncos4xtxdxxdx=+（II）12442200044400040tanln(1)ln(1tan)secln(1tan)1secsincos lnln2sinlncoscos4 ln2lnsin84xtxtdxtdtt dtxtttdtxdxxdxtxdx=+=+=+=+40lncosln28xdx=【例例 3.19】证明：（I）20133 1,24 2 2sin134 2,25 3nnnnnnnIxdxnnnnn=为偶数为奇数；（II）212 4(2)lim21 1 3(21)2nnnn=+.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 19 重点题型重点题型三三 变变限限积分积分的的计算计算【例例 3.20】（1）（江苏省 1996 年竞赛题）设21()xtf xedt=，求120()x f x dx；（2）设0sin()xtf xdtt=，求0()f x dx；（3）设)(xf满足2()arctan(1)fxx=，且(0)0f=，求10()f x dx.【详解详解】（1）【方法方法一】一】221111123332200000211001111()()()33361111 (1)6636xxuux f x dxf x dxx f xx edxx edxxuue duuee=+=【方法方法二二】()2222111122200101123000()111 336xttxtttx f x dxxedt dxx dxedtedtx dxt edte=（2）【方方法法一】一】0000000sinsinsin()()sin ()sin2xxxf x dxxf xxdxdxxdxxxxxxdxxdxx=【方法方法二二】00000sinsin()sin2xtttf x dxdt dxdtdxtdttt=V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 20【例例 3.21】（1）设非负连续函数)(xf满足40()()sinxf xf xt dtx=，求)(xf在0,2上的平均值；（2）（浙江省 2002 年竞赛题）设连续函数)(xf在(1,)+内满足20()()12(1)xxxef xf t dtx+=+，求()f x；（3）设连续函数()f x满足11()1()()2xf xf y f yx dy=+，求10()f x dx.【详解详解】（1）由00()()xxxtuf xt dtf u du=，得40()()sinxf xf u dux=，两端在0,2上 积分，得 422000()()sinxf xf u du dxxdx=，2222000113 1()()224 2 2xf u duf u du=解得2013()22f x dx=，故)(xf在0,2上的平均值为20()322f x dx=.（2）令0()()1xF xf t dt=+，则22()()(1)xxeF x F xx=+，得 221()(1)1111xxxxxxxxexexeeFxdxxe de dxeCCxxxxx=+=+=+由(0)1F=，得0C=，从而()1xeF xx=+，故3()()2(1)xx ef xF xx=+.【例例 3.22】（I）设()f x为以T为周期的非负可积函数，且0()Tf x dxa=，证明01lim()xxaf t dtxT+=；（II）（上海市 1991 年竞赛题）设()f xxx=，其中 x表示不超过x的最大整数，求极限 01lim()xxf t dtx+.【详解【详解】（I）当(1)nTxnT+时，(1)000111(1)()()()(1)(1)nTxnTnanaf x dxf t dtf x dxnTnTxnTnT+=+V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 21 又(1)limlim(1)nnnanaanTnTT+=+由夹逼准则得01lim()xxaf t dtxT+=.（II）()f xxx=为 1 以为周期的非负连续函数，且 1110001()()2f x dxxx dxxdx=由（I）得011lim()2xxf t dtx+=.【2000，数二，数二】设0()cosxS xt dt=.（I）当n为正整数，且(1)nxn+时，证明2()2(1)nS xn+；（II）求()limxS xx+.【例例 3.23】求极限02coslimxxtt dtx+.【详解详解】重点题型重点题型四四 反常积分反常积分的的计算计算【例例 3.24】301xedxx+=_.【详解详解】22300000001112(1)22 224422xxxxxtteeeedxeddxdxxxxxxxtetdtedtt+=V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 22【例例 3.25】计算下列积分：（I）20ln1xdxx+；（II）220ln xdxax+；（III）30(arctan)lnxxxdxx+.【详解详解】【例例 3.26】（I）计算累次积分00sinxydxexdy+；（2）计算积分220sin xdxx+.【详解【详解】（I）20000000200sinsincossinsin1 arctan12xyxyxyxyxxdxdxexdydyexdxedyxydyyy+=+=+（II）222200000sin1sinsin cossin2sin2(2)22xxxxxdxxddxdxxxxxx+=+=V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 23 重点题型重点题型五五 定积分定积分的几何的几何应用应用【例例 3.27】设31()lim2x ttxtg xxt+=+，0()()xf xg t dt=.（I）求曲线()yf x=的渐近线；（II）求曲线()yf x=与其渐近线及y轴所围区域的面积A.【详解【详解】（I）当0 x=时，(0)1g=；当0 x 时，321lim2()tx txxtg xee+=故2()xg xe=，20()xtf xedt=.由于 20lim()2txf xedt+=，20lim()2txf xedt+=故()yf x=有两条水平渐近线2y=.（II）由()yf x=为奇函数，得曲线()yf x=与2y=及y轴所围区域的面积为 222222220000000200222()2222222 2 lim12 lim12 12 lim12 lim11xxttxxtxtxxxxxxxAf xdxedt dxxedtxedxedtxedtedxxexex+=+=+=+=+=+=【例例 3.28】设曲线xey=过原点的切线为L，L与xey=及y轴所围区域为D.（I）求D的面积A；（II）求D分别绕y轴与L旋转一周所得旋转体的体积12,V V；（III）（数一、数二）求D的边界曲线的弧长s.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 24【详【详解】解】（I）设切点为00(,)xx e，则切线方程为000()xxyeexx=.令0 xy=，得01x=，故切线方程为yex=，D的面积为 10122xeeAe dx=（II）D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为 111002()2(1)2133xxeeVx eex dxxe=或 22111112lnln2ln2(ln)213333eeeeeVeydyeyyydyeyyy=+=+=D绕L旋转一周所得旋转体的体积为 12222012222220222()()11121251()212411xeexDDxxyexVdxdyyex dxdydxyex dyeeeee xexedxeeee=+=+=+（III）D的边界曲线的弧长为1220111xsee dx=+.令21xet+=，则21ln(1)2xt=，得 2222211122202211222222121211111112ln12112ln(11)1 ln(12)eexeette dxtdtdttttdtettee+=+=+=+故2222 12ln(11)ln(12)see=+.【评注【评注】区域D绕直线:0L AxByC+=（L不经过D）旋转一周所得旋转体的体积为 2(,)DVr x y d=，其中),(yxr为D中的点),(yx到L的距离22AxByCAB+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 25 重点题型重点题型六六 定积分定积分的的物理物理应用应用【例例 3.29】（数一、数二）（江苏省 1994 年竞赛题）设质量为M，长为l的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C，C位于AB的延长线上与近端距离为a，引力常数为G.（I）求杆对质点的引力F；（II）求将质点C沿杆AB的延长线移至无穷远处引力所作的功W.【详解】【详解】（I）由2()GMm dxdFaxl=，得杆对质点的引力为 0021()()llGMmGMmGMmFdxl axlaxa al=+（II）由()GMmdWdxx xl=+，得引力所作的功为 11lnln 1()aaaGMmGMmGMmxGMmlWdxdxx xllxxllxlla+=+重点题型重点题型七七 定积分定积分的的经济经济学学应用应用【例例 3.30】（数三）设某商品需求的价格弹性为 3，供给的价格弹性为 2.当价格1p=时，需求量Q与供给量S分别为00,Q S.（I）求供求平衡时的平衡价格；（II）若价格p为时间t的函数，满足p关于t的变化率与超额需求量QS成正比，与p成反比，比例系数为k，且0(0)pp=，求()p t；（III）求极限lim()tp t+，并说明经济意义.【详解】【详解】（I）由3p dQQ dp=，即3dQdpQp=，得ln3lnlnQpC=+，3CQp=.由0(1)QQ=，得0CQ=，故03QQp=.由2p dSS dp=，即2dSdpSp=，得ln2lnlnSpC=+，2SCp=.由0(1)SS=，得0CS=，故20SS p=.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 26 令QS=，即2003QS pp=，得平衡价格为1500QpS=.（II）由004()Qdpk QSkS pdtpp=，得4500pdpkdtQS p=.又0(0)pp=，故0015555000()(1)kS tkS tQp tep eS=+.（III）00115555500000lim()lim(1)kS tkS tttQQp tep eSS+=+=它表示当t趋于正无穷大时，()p t趋于平衡价格.重点题重点题型型八八 证明证明积分积分不等不等式式【例例 3.31】设(),()f x g x为,a b上单调不减（或单调不增）的连续函数，证明()()()()()bbbaaaf x dxg x dxbaf x g x dx.【详解【详解一一】令()()()()()(),xxxaaaF xxaf t g t dtf t dtg t dt xa b=，则()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()0 xxxaaaxaxaF xf t g t dtxa f x g xf xg t dtg xf t dtf t g tf x g xf x g tf t g xdtf tf xg tg xdt=+=+=()F x单调不减，故()()0F bF a=，即()()()()()bbbaaaf x dxg x dxbaf x g x dx.【详解【详解二二】对任意,x ya b，有()()()()0f xf yg xg y，故 ()()()()()()()()()()()()2()()2()()bbbbaaaabbbbaaaaf xf yg xg ydxdyf x g xf x g yf y g xf y g ydxdyf x g x dxdyf x g y dxdy=+=2()()()2()()0bbbaaabaf x g x dxf x dxg y dy=即()()()()()bbbaaaf x dxg x dxbaf x g x dx.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 27【例例 3.32】（I）证明 Cauchy 不等式：设(),()f x g x在,a b上连续，则 222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx；（II）设()f x为,a b上的正值连续函数，证明2()()()bbaadxf x dxbaf x.【详解】【详解】（I）【方方法法一】一】令222()()()()(),xxxaaaF xft dtgt dtf t g t dtxa b=，则 222222222()()()()()2()()()()()()2()()()()()()()()()()0 xxxaaaxaxaF xfxgt dtgxft dtf t g t dtf x g xfx gtf x g x f t g tgx ftdtf x g tg x f tdt=+=+=()F x单调不减，故()()0F bF a=，即222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx.【方方法法二二】对任意(,)t +，有 2222()()()2()()()0bbbbaaaaf xtg xdxfx dxtf x g x dxtgx dx+=+故 2222()()4()()0bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx=即222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx.【方方法法三三】2222222222()()()()()()1 ()()()()2 ()()()()(bbbbbbaaaaaabbaabafx dxgx dxfx dxgy dyfy dygx dxfx gyfy gxdxdyf x g y f y g x dxdyf x=+=2)()()()()()bbbaaabag x dxf y g y dyf x g x dx=（II）222211()()()()()()()bbbbbaaaaadxf x dxf xdxdxf xdxbaf xf xf x=V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 28【例例 3.33】设)(xf在,a b上有一阶连续导数.证明：（I）（南京大学 1996）若0)(=af，则2()()max()2baa x bbaf x dxfx；（II）（莫斯科 1977 年竞赛题）若()()0f af b=，则2()()max()4baa x bbaf x dxfx.【详解】【详解】（I）【方方法一法一】由 Lagrange 中值定理得 2()()()()()()()max()()max|()|2bbbaaabaa x ba x bf x dxf xf a dxfxa dx axbafxxa dxfx =【方法方法二二】由于()()()max()max()()xxxaaa a t ba t bf xf t dtf t dtf t dtf txa =故 2()()max()()max()2bbaaa x ba x bbaf x dxfxxa dxfx =（II）【方法方法一一】由 Lagrange 中值定理得 222221212222()()()()()()()()()()()(,)max()()()a ba bbbba ba baaaa bba baa bba baa x bf x dxf x dxf x dxf xf a dxf bf x dxfxa dxfbx dx ax xbfxxa dxbx dx+=+=+=+2()max()4a x bbafx=【方法方法二二】由于()()()max()max()()xxxaaa a t ba t bf xf t dtf t dtf t dtf txa =()()()max()max()()bbbxxx a t ba t bf xf t dtf t dtf t dtf tbx =故 22222()()()max()()()()max()4a ba bbbba ba baaaa x ba x bf x dxf x dxf x dxfxxa dxbx dxbafx+=+=V 研客