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1 20172017 全国研究生入学考试考研数学一真题解析全国研究生入学考试考研数学一真题解析 本试卷满分 150，考试时间 180 分钟 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.（1）若函数1 cos,0(),0 xxf xaxbx，在0 x 处连续，则（）（A）12ab （B）12ab （C）0ab （D）2ab 【答案】【答案】（A）【解 析解 析】由连续的 定义可 知：00lim()lim()(0)xxf xf xf，其中0(0)lim()xff xb，20001()1 cos12lim()limlim2xxxxxf xaxaxa，从而12ba，也即12ab，故选（A）。（2）若函数()f x可导，且()()0f x fx，则（）（A）(1)(1)ff （B）(1)(1)ff （C）(1)(1)ff （D）(1)(1)ff【答案】【答案】（C）【解析解析】令2()()F xfx，则有()2()()F xf x fx，故()F x单调递增，则(1)(1)FF，即22(1)(1)ff，即(1)(1)ff，故选 C。（3）函数22(,)f x y zx yz在点(1,2,0)处沿向量n=(1,2,2)的方向导数为（）（A）12 （B）6 （C）4 （D）2【答案】【答案】（D）【解 析解 析】22,2 gradfxy xz，将 点(1,2,0)代 入 得(1,2,0)4,1,0 g r a d f，则122.4,1,0 .,2333fugradfuu。（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线1()vv t（单位：m/s），虚线表示乙的速度2()vv t，三块阴影部分面积的数值依次为10 20 3、，计时开始 2 后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则（）（A）010t （B）01520t （C）025t （D）025t 【答案】【答案】（C）【解析解析】从0到0t时刻，甲乙的位移分别为010()tV t dt与020()tV t dt要使乙追上甲，则有0210()()tV tV t dt，由定积分的几何意义可知，25210()()20 1010V tV t dt，可知025t ，故选（C）。（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（A）TE不可逆 （B）TE不可逆 （C）2TE不可逆 （D）2TE不可逆【答案】【答案】（A）【解析解析】因为T的特征值为0（1n重）和1，所以TE的特征值为1（1n重）和0，故TE不可逆。（6）设矩阵200021001A，210020001B，100020002C，则（A）A与C相似，B与C相似 （B）A与C相似，B与C不相似 （C）A与C不相似，B与C相似 （D）A与C不相似，B与C不相似 【答案】【答案】（B）【解析】【解析】由（）=0EA 可知A的特征值为 2,2,1。3(2)1rEA。A A可相似对角化，且100020002A 由0EB 可知B B的特征值为 2,2,1。3(2)2rEB。B B不可相似对角化，显然C C可相似对角化，AC。且B B不相似于C C。（7）设,A B为随机事件，若0()1P A，0()1P B，则()()P A BP A B的充要条件是（A）()(B)P B APA （B）()(B)P B APA 大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 3（C）()(B)P B APA （D）()(B)P B APA【答案】【答案】（A）【解析解析】因为()P A BP A B，所以()()()()()1()()P ABP ABP AP ABP BP BP B，从而()()()P ABP A P B，且()()(),()()1()P ABP BP ABP B AP B AP AP A，所以()P B AP B A。（8）设12,(2)nX XXn为来自总体(,1)N的简单随机样本，记11niiXXn，则下列结论中不正确的是（A）21()niiX服从2分布 （B）212()nXX服从2分布 （C）21()niiXX服从2分布 （D）2()n X服从2分布 【答案】【答案】（B）【解析解析】（A）(0,1)iXN故221()()niiXn；（B）11(0,2)(0,1)2nnXXXXNN 221(1)2nxx 即221()(1)2nxx。（C）由22222111(),(1)()(1)1nniiiiSXXnSXXnn。（D）1()0,XNn，则()(0,1)n XN，所以22()(1)n X。二、填空题：二、填空题：9 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分，请将答案写在分，请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.4（9）已知函数21()1f xx，则(3)(0)f _。【答案】【答案】0【解析解析】因为 246222001()1()(1)1nnnnnf xxxxxxx 230()(1)2(21)(22)nnnfxnnnx 将0 x 带入(0)0f （10）微分方程230yyy的通解为y _。【答案】【答案】)2sin2cos(21xcxcex【解析解析】因为230yyy，所以2230，21i，通解为11(cos 2sin2)xecxcx（11）若曲线积分221Lxdxaydyxy在区域22(,)1Dx y xy内与路径无关，则a _。【答案】【答案】1【解析解析】2222(,),(,)11xayP x yQ x yxyxy，22222222,(1)(1)PxyPaxyyxyxxy 0PPyx，则22,1aa （12）幂级数111(1)nnnnx 在区间(1,1)内的和函数()S x _。【答案答案】21(1)x。大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 5【解析解析】1112111(1)(1)1(1)nnnnnnxnxxxx。（13）设矩阵101112011A，123,为线性无关的 3 维列向量组，则向量组123,AAA的秩为 _。【答案答案】2。【解析解析】因为123123(,)(,)AAAA ，101101101112011011011011000A 故()2r A，所以123(,)AAA秩为2。（14）设随机变量X的分布函数为4()0.5()0.5()2xxxF，其中()x为标准正态分布函数，则EX _。【答案】【答案】2【解析解析】222224222(4)22 2111()()0.50.5222110.50.5222xxxxf xF xeeee 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共小题，共 94 分分.请将解答写在答题纸指定位置上请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤.(15)(本题满分10分)设函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，(,cos)xyf ex，求0 xdydx，202xd ydx。【解析解析】由复合函数求导法则，可得：12(sin)xdyf efxdx 故01(1,1)xdyfdx 进一步地：6 212122()()cossinxxd fd fd ye fexfxdxdxdx 1111222122(sin)cossin(sin)xxxxe fef efxxfx f efx 2212112122cos2sinsinxxxe fxfefexfxf 故2012112(1,1)(1,1)(1,1)xd yfffdx(16)(本题满分 10 分)求21limln(1)nnkkknn。【解析解析】由定积分的定义式可知 原式=1011limln 1ln 1nnkkkxx dxnnn，再由分部积分法可知：2211121000012100111ln 1ln 11ln 1|ln 122211111|244xxxx dxx d xxdxxdxx (17)(本题满分 10 分)已知函数()y x由方程333320 xyxy确定，求()y x的极值。【解析解析】等式两边同时对x求导可得，22333 30 xy yy(1)令0y可得2330 x ，故1x 。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在1x 与1x 处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两边同时求导可得，2266330 xy yy yy(2)当1x 时，1y，将1,1,0 xyy 代入（2）式可得2y，故 11y是函数的极大值。当1x 时，0,0yy，代入（2）式可得2y，故10y 是函数的极小值。(18)(本题满分 11 分)设函数()f x在区间0,1上具有二阶导数，且(1)0f，0()lim0 xf xx。证明：（）方程()0f x 在区间(0,1)内至少存在一个实根。大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 7（）方程2()()()0f x fxfx在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。【证明】【证明】（I）由于0()lim0 xf xx，则由保号性可知：0，使得当(0,)x时，()0f xx，也即()0f x。又由于(1)0f，则由零点存在定理可知，()0f x 在(0,1)内至少有一个实根。（II）令()()()F xf x fx。由0()lim0 xf xx可知0()(0)lim0 xf xfxx。又由（I）可知：0(0,1)x使得0()0f x。由罗尔定理可知：10(0,)x使1()0f，从而10(0)()()0FFF x。再由罗尔定理可知：21(0,)，310(,)x使得23()()0FF。也即2()()()()0F xf x fxfx在0(0,)(0,1)x内有两个不同的实根。(19)（本题满分 10 分）设薄片型物体S是圆锥面22zxy被柱面22zx割下的有限部分，其上任一点的密度为2229 xyz，记圆锥面与柱面的交线为C。（I）求C在xOy面上的投影曲线的方程；（II）求S的质量M。【解析】【解析】（）C的方程为2222zxyzx，从中消去z可得222xyx 则C在xoy平面上的投影为2220 xyxz。（）S的质量222(,)9SSmx y z dSxyz dS 将22zxy带入可得：2212zzdSdxdydxdyxy 故229 22Dmxydxdy，其中D为平面区域22(,)|2 x yxyx 利用极坐标计算该二重积分可得：8 2222cos2202322181818144cos364DDmxy dxdyr drddr drd (20)（本题满分 11 分）设 3 阶矩阵123=（，）A 有 3 个不同的特征值，且312=+2。1)证明：()2rA 2)若123=+，求方程组Ax=的通解。（I）【证明】【证明】因为A有三个不同的特征值，所以A，()1r A，假若()1r A 时，0是二重的，故不符合，那么()2r A，又因为3122，所以()2r A，即()2r A。（II）【解析解析】因为()2r A，所以0Ax 的基础解系只有一个解向量，又因为3122，即12320，即基础解系的解向量为(1,2,1)T，又因为123，故Ax的特解为(1,1,1)T，所以Ax的通解为(1,2,1)(1,1,1)TTk，kR。(21)（本题满分 11 分）设二次型222123123121 323282x xx xx xf(x,x,x)=2x-x+ax，在正交变换xQy下的标准型为221122yy，求a的值及一个正交矩阵Q。【解析解析】二次型对应的矩阵为21411141Aa，因为标准型为221122yy，所以0A，从而46a，即2a，代入得2141110412EA，解得0,3,6；大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 9 当0时，2140111412EA，化简得111012000，对应的特征向量为1(1,2,1)Tk；当3 时，5143121415EA，化简得121011000，对应的特征向量为2(1,1,1)Tk；当6时，4146171414EA，化简得171010000，对应的特征向量为3(1,0,1)Tk；从而正交矩阵32632636033326326Q。(22)（本 题 满 分11 分）设 随 机 变 量 为X，Y相 互 独 立，且X的 概 率 分 布 为1(0)(2)2P XP X,Y 的概率密度为 2,01,()0,其他yyf y 1）求()P YEY;2）求ZXY 的概率密度。【解析【解析】（）由数字特征的计算公式可知：1202()23EYyf y dyy dy。则2233024()239P YEYP Yf y dyydy。（）Z 的分布函数记为)(zFz,那么 zZPZFz)(zYXP 2200XzYXPXPXzYXPXP 10 22121zYPzYP；当0z时，0)(zFz 当10z时，221)(2zzYPzFz；当21z时，21)(zFz；当32z时，22-21212-2121)(）（zzYPzFz；当z3时，1)(zFz；所以，Z 的概率密度为 其他,032,210,)(zzzzzFz (23)（本题满分 11 分）某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量 是已知的，设n次测量结果12，.,nXXX 相互独立且均服从正态分布2（，）N。该工程师记录的是n次测量的绝对误差(1,2,)iiZXin ，利用1Z,2Z,nZ估计。1）求iZ的概率密度；2）利用一阶矩阵求的矩估计量。3）求的最大似然估计量。【解 析解 析】（I）因 为2(,)iXN，所 以2(0,)iiYXN，对 应 的 概 率 密 度 为 22212yYfye，设iZ的分布函数为 F z，对应的概率密度为()f z；大型考试资源分享网站百度搜索：华宇课件网 http:/www.china--更多热门考试学习资源免费下载-出售：公考、考研、会计、建筑、教师等考试课程-课程咨询微信QQ同号：582622214 11 当0z 时，0F z；当0z 时，22212yziiizF zP ZzP YzPzYzedy；则iZ的概率密度为2222,z0()()20,z0zef zF z；（II）因 为22202222ziEZzedz，所 以2iEZ，从 而的 矩估 计量 为1122niiZZn；（II）由题知对应的似然函数为2221212 1(,.,)iznniL z zze，取对数得：2212lnlnln2niizL，所以231ln()1niizdLd，令ln()0dLd，得211niizn，所以的最大似然估计量为211niiZn。