2006年数学三真题答案解析.pdf

一、填空题一、填空题(1)【答案】1【详解】题目考察数列的极限，由于数列中有(1)n，故求此数列的极限，分为奇数列和偶数列两个部分进行。记(1)1()nnnun，则22121(1)limlim()lim()1222nnnunnnnnn21221(1)limlim()lim()121212nnnunnnnnn所以lim1unn.(2)【答案】32e【详解】题目考察抽象函数在某点处的高阶导数。利用题目已知的函数关系式进行求导便可得出。由()()fxfxe，有()()2()()()()f xf xf xfxeefxe所以2()2()2()3()()()(2()2()2f xf xf xf xfxeef xefxe以2x 代入，得3(2)3(2)22ffee.(3)【答案】42dxdy【详解】题目求复合函数在某点处的全微分，可有两种方法：方法方法 1：由微分形式不变性，有222222(4)(4)(4)(82)dzfxydxyfxyxdxydy(1,2)(0)(84)4-2dzfdxdydxdy方法方法 2：求偏导数，22(4)8,zfxyxx22(4)(2)yzfxyy.以11,2,(0)2xyf，代入zzdzdxdyxy便得如上结果.2006 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(4)【答案】2【详解】由已知条件2BABE变形得，2BAEB()2B AEE,两边取行列式,得()244B AEEE其中，211011212011 1A E，222 E4E 因此，2422EBAE.(5)【答案】1 9【详解】根据独立性原理：若事件1,nAA独立，则 1212nnP AAAP A P AP A事件 max,11,111X YXYXY，而随机变量X与Y均服从区间0,3上的均匀分布，有1011133P Xdx和1011133P Ydy.又随机变量X与Y相互独立，所以，max(,)11,111Px yP xYP xP Y113319(6)【答案】2.【详解】样本方差是总体方差的无偏估计量2()()E SD X，故只要计算()D X即可.X概率密度函数()f x是偶函数，则()xf x为奇函数，所以()()0E Xxf x dx所以2222()()()()()E SD XE XE XE X220()2()x f x dxx f x dx20 xx e dx20 xx de 2200|xxx ee dx 200|2xxx exde 2000|2|2xxxx exee dx 002 0(1)2.二、选择题二、选择题(7)【答案】A关注公众号【考研题库】保存更多高清资料【详解】方法方法 1：图示法.因为()0,fx则()f x严格单调增加；因为()0,fx则()f x是凹函数，又0 x，画2()f xx的图形结合图形分析，就可以明显得出结论：0dyy.方法方法 2：用两次拉格朗日中值定理000()()()ydyf xxf xfxx(前两项用拉氏定理)0()()fxfxx(再用一次拉氏定理)0()()fxx,其中000,xxx x由于()0fx，从而0ydy.又由于0()0dyfxx，故选 A方法方法 3：用拉格朗日余项一阶泰勒公式.泰勒公式：000()()()()f xf xf xxx()20000()()()()2!nnnfxfxxxxxRn，其中(1)00()()(1)!nnnfxRxxn.此时n取 1 代入，可得20001()()()()()02ydyf xxf xfxxfx 又由0()0dyfxx，选()A.(8)【答案】C【详解】题目考察该抽象函数在 0 点处的函数值，及 0 点处的左右导数，计算如下：换元令2xh，由题设可得2200()()limlim1hxf hf xhx.于是00()lim()lim1 00 xxf xf xxx 因为函数()f x在点0 x 处连续，故0(0)lim()0 xff x，进而有Ox0 x0+xxyy=f(x)ydy关注公众号【考研题库】保存更多高清资料00()()(0)1limlim(0)0 xxf xf xffxx.这表明(0)0f且(0)f存在.故应选()C.(9)【答案】D【详解】方法方法 1：数列收敛的性质：收敛数列的四则运算后形成的新数列依然收敛因为1nna收敛，所以11nna也收敛，所以11()nnna a收敛，从而112nnnaa也收敛.选 D.方法方法 2：记(1)nnan，则1nna收敛.但111nnnan，(p级数，12p 级数发散)；11111nnnna an n(p级数，1p 级数发散)均发散。由排除法可知，应选 D.(10)【答案】B【详解】线性方程解的性质与结构：1.由非齐次线性微分方程的两个特解，求该方程的通解；2.线性非齐次微分方程的两个解的差是对应的齐次微分方程的解.因为12()()y xyx，所以12()()y xyx是齐次微分方程的一个非零解，C是任意常数，所以12()()C y xyx是对应的齐次微分方程的通解.再加上原非齐次方程的一个特解，便得原非齐次方程的通解，B.(11)【答案】D【详解】方法方法 1：化条件极值问题为一元函数极值问题。已知00(,)0 xy，由(,)0 x y，在00,)xy（邻域，可确定隐函数()yy x，满足00()y xy，dyxydx。00,)xy（是(,)f x y在 条 件(,)0 x y下 的 一 个 极 值 点0 xx是(,()zf x y x的极值点。它的必要条件是000000(,)(,)x xx xf xyf xydzdydxxydx000000000(,)0(,)(,)(,)xyx xxyxyxyf x yfx y若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy，或00(,)0 xxy，因此不选()A，()B.若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy(否则00 x xdzdx).因此选()D方法方法 2：用拉格朗日乘子法.引入函数(,)(,)(,)F x yf x yx y，有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(,)(,)0(1)(,)(,)0(2)(,)0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y因为00(,)0yxy，所以0000(,)(,)yyfxyxy，代入(1)得00000000(,)(,)(,)(,)yxxyfxyxyfxyxy 若00(,)0 xfxy，则00(,)0yfxy，选()D(12)【答案】A【详解】方法方法 1：若12,s 线性相关,则由线性相关定义存在不全为0的数12s,k kk使得11220sskkk为了得到12,sAAA的形式，用A左乘等式两边,得11220ssk Ak Ak A于是存在不全为0的数12s,k kk使得成立，所以12,sAAA线性相关.方法方法2：如果用秩来解,则更加简单明了.只要熟悉两个基本性质,它们是:1.12,s 线性相关12(,)srs；2.()()r ABr B.矩阵1212(,)(,)ssAAAA,设12sB(,)，则由()()r ABr B得1212(,)(,)ssr AAArs.所以答案应该为(A).(13)【答案】B【详解】用初等矩阵在乘法中的作用(矩阵左乘或右乘初等矩阵相当于对矩阵进行初等行变换或列变换)得出将A的第 2 行加到第 1 行得B，即110010001BA记 PA将B的第 1 列的-1 倍加到第 2 列得C，即110010001CB记 BQ关注公众号【考研题库】保存更多高清资料因为PQ 110010001110010001E，故1QP E1P.从而11CBQBPPAP,故选(B).(14)【答案】A.【详解】由于X与Y的分布不同，不能直接判断1|1PX和2|1P Y的大小与参数关系.如果将其标准化后就可以方便地进行比较了。随机变量标准化，有11X(0,1)N，且其概率密度函数是偶函数.所以11111(1)()XP XP11111111202()(0)2()1XP .同理有，221(1)2()1P Y 因 为()x是 单 调 递 增 函 数，当12|1|1PXP Y时，112()1 212()1，即1211，所以12，故选(A).三、解答题三、解答题(15)【详解】题目考察二元函数的极限，求()g x时，可以将y视为常数(I)()lim(,)lim 1sin1arctang xf x yyyxyyyxyx,由于0 x，所以limsinlim,yyxxyyxyy11limlim,11yyyxyxxy所以11()arctanxg xxx.(II)222000011arctanarctanlim()lim()limlimarctanarctanxxxxxxxxxxxg xxxxxx 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2220011 2221limlim22(1)xxxxxxxx (16)【详解】题目考察二重积分的计算，画出积分区域，化为累次积分即可以很容易求出。计算步骤如下：积分区域D如下图所示.(,)01,0Dx yyxy，故12200yDyxydxdydyyxydx31202()03yy yxdy 12023y dy29.(17)【详解】令()sin2cosf xxxxx，只需证明0 x 时,()f x单调增加(严格)()sincos2sinfxxxxxcossinxxx()cossincossin0fxxxxxxx()fx单调减少(严格)，又()cos0f，故0 x时()0fx，则()f x单调增加(严格)()()baf bf a由有得证(18)【详解】(I)设所求的曲线方程为()yy x，按题意，在其上任意一点(,)P x y处的切线斜率y与OP的斜率yx的差等于(0,0)ax ax，即有yyaxx,并且有初始条件(1)0y.解之，按一阶线性微分方程解的公式，有关注公众号【考研题库】保存更多高清资料11lnln()dxdxxxxxyeaxedxCeaxedxCxadxCx axC(以上1dxx不写成ln x而可以写成ln x的原因是，题中有初始条件(1)0y，x取在1处而微分方程的解应是连续的，题设0 x，故其解只能取在包含1x 而不跨过0 x 区间，故0 x,因此ln x可以写成ln x).再由(1)0y定出Ca，于是所求的曲线方程为(1),0yax xa.(II)直线yax与曲线(1)yax x的交点(0,0)与(2,2)a.所以直线yax与曲线(1)yax x所围平面图形的面积为222004()(1)23S aaxax xdxaxax dxa按题意，4833a，故2a.(19)【详解】记-121(-1(2-1)nnnxunn），有23(-12(1)(21)1limlim-1 21(-1(2-1)nnxunnnxnnunnnxnn）所以，当21x 即1x 时，原级数绝对收敛；当21x，即1x 时，原级数通项不趋于 0，级数发散，所以，收敛半径1R.在1x 处-1(-1(2-1)nnun n），级数1nnu绝对收敛，故收敛域为 1,1.求和函数，应在收敛区间内进行，即 1,1x，由-1 21-1 2(-1(-1(2-1)(2-1)11nnnnxxxnnnnnn）令-1 2(-1()(2-1)1nnxf xnnn）有-1 2-1 2-1 21(-1(-12(-1()()()(2-1)(2-1)2-1111nnnnnnxxxfxnnnnnnnn）-1 21-1 212(-12(-1-1 22()()()2(-12-12-1111nnnnxxnnfxxnnnnn）2222(-12(2100nnnxxxnn）.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料再倒回去，有2002()(0)()02arctan1xxfxfft dtdtxt()(0)()0 2arctan00 xxf xfft dtxdt 222arctan|2 arctanln(1)0021xxtdtxtxt.于是1 21(1222arctanln(1),11(2-1)1nnxxtxxxnnn）.又因在1x 处级数收敛，右边和函数的表达式在1x 处连续，因此，在1x 处上式仍成立，即有1 21122()2arctanln(1),11211nnxs xxxxxxnnn(20)【详解】方法方法 1：记1234,A ，则12341234|12341234aaAaa把所有列都加到第一列10234102341023410234aaaaaaa 把第一列公因式(10)a提到行列式前面12341 234(10)12341234aaaa31234000(10)(10)000000aaaaaa线性相关的定义：存在一组不等于零的数1234k,k,k,k,使得112233440kkkk成立，则1234,线性相关.于是当0A 时方程组112233440kkkk有非零解，此时满足线性相关的定义.即：3(10)0aa，解得当0a 或10a 时，1234,线性相关.当0a 时，1为1234,的一个极大线性无关组，且2131412,3,4 .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料当10a 时,对A作初等行变换.9234183412741236A 2113114119234101000100100100010 2 1103 1104 1109234110010101001 144133122123400001100,10101001 可以看出由于234,为1234,的一个极大线性无关组，且1234，故234,为1234,的一个极大线性无关组，且1234.方法方法 2：记1234,A ，对A施以初等行变换，有 21131141112341234123400123400123400aaaaaABaaaaaa 当0a 时，1234000000000000B，得 1r Ar B，因而1234,线性相关,此时1为1234,的一个极大线性无关组，且2131412,3,4 .0a 时，再对B施以初等行变换，有 214431334122123412341000011001100,.1010101010011001aaaaaBC 如果10a ，C的秩为 4，故1234,线性无关；如果10a 时，C的秩为 3，故1234,线性 相关.由于234,是1234,的一 个极大线 性无关组，且1234，于 是234,是1234,的 一 个 极 大 线 性 无 关 组，1234.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(21)【详解】(I)由题设条件1100A，2200A，故12,是A的对应于0的特征向量，又因为12,线性无关，故0至少是A的二重特征值.又因为A的每行元素之和为3，所以有(1,1,1)(3,3,3)3(1,1,1)TTTA，由特征值、特征向量的定义，0(1,1,1)T是A的特征向量,特征值为33，3只能是单根，3030k,k是全体特征向量，从而知0是二重特征值.于是A的特征值为3,0,0；属于3的特征向量:3330k,k；属于0的特征向量:1122kk，12,k k不都为0.()为了求出可逆矩阵必须对特征向量进行单位正交化.先将0单位化,得0333(,)333T.对12,作施密特正交化,得122(0,)22T,2666(,)366T.作123(,)Q ,则Q是正交矩阵,并且-13 0 00 0 00 0 0TQ AQQ AQ(III)由TQ AQ ，其中1TQQ11112162366302111000632231111113336231116230001 1 12100001 1 1631111 1 1111333623TAQ Q 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料66666616663333()()()()2222332203302233322333()()()222TTTTTTAEQ QEQE QQEQQQQQQEQQQE .(22)【详解】()()YYfyFy,由于()Xfx是分段函数，所以在计算2P Xy时，要相应分段讨论.求1(,4)2F 211(,4)(,4),22P XYP XX 只是与X有关，不必先求出(,)F x y的函数.(I)因为2()YFyP YyP Xy，当0y 时，()0;YFy 当01y时，00113()()244yYyFyPyXydxdxy；当14y时，0101111()()2424yYFyPyXydxdxy；当4y 时，()1;YFy 综上所述，有20,03,014()11,14241,4YyyyFyP YyP Xyyyy由概率密度是分布函数在对应区间上的的微分，所以，3,0181()(),1480,YYyyfyFyyy其他这个解法是从分布函数的最基本的概率定义入手，对 y 进行适当的讨论即可，属于基本题型.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料()由协方差的计算公式232cov(,)cov(,)()()()X YX XE XE XE X需要计算(E X），2()E X，3()E X.02-101()244XxxE Xxfx dxdxdx（）；220222-105()246XxxE Xx fx dxdxdx（）；330233-107()248XxxE Xx fx dxdxdx（）.故232cov(,)cov(,)(X YX XE XE XX）7152.8463(III)根据二维随机变量的定义(,),F a bP Xa Yb，有21111(,4)(,4),422222FP XYP XXPX 由一维概率计算公式()bXaP aXbfx dx有，)4,21(F1211124dx.(23)【答案】的矩估计32X；的最大似然估计.Nn【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中被估参数只有一个，故只需要用样本一阶原点矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)，所以矩估计的关键在于找出总体的矩()E X.最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.样本值中ix小于 1 的概率是，ix大于 1 的概率是1.因此，似然函数应为：1();(1).nNn NiiLf x(I)由数学期望的定义：1201()(;)(1-)E Xxf xdxxdxxdx133(1)222样本均值11niiXXn用样本均值估计期望有EXX即32X，解得32X.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料所以参数的矩估计为32X.其中11niiXXn.()对样本nx xx,12按照1或者1进行分类，不妨设：12,pppNxxx1，12,pNpNpnxxx1.似然函数1212(1),1,1()0,Nn NpppNpNpNpnxxxxxxL，其他，在12,1pppNxxx，12,1pNpNpnxxx时，等式两边同取自然对数得ln()ln()ln(1)LNnN，由于ln()L和()L在的同一点取得最大值，所以令01ln()NnNddL，解得Nn，所以的最大似然估计值为Nn.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料