1991年数学三真题答案解析.pdf

11991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1991 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】sincosxyexy ydxxdy【解析】方法一方法一：先求出两个偏导数zx和zy,然后再写出全微分dz,sinsinsinsincoscoscoscosxyxyxyxyzexy yyexyxzexy xxexyy,所以sinsincoscosxyxyzzdzdxdyyexydxxexydyxysincos()xyexy ydxxdy.方法二方法二：利用一阶全微分形式不变性和微分四则运算法则直接计算dz.sinxysinxysinxysinxydzd eed sinxyecos xydxyecos xy ydxxdy.(2)【答案】1a ,1b ,1c【解析】由于曲线 f x与 g x都通过点1 0,则11010fagbc ,又曲线 f x与 g x在点1 0,有公切线,则11fg,即211133122xxfxaagbxb,亦即32ab,解之得1a ,1b ,1c.(3)【答案】1xn；1ne【解析】由高阶导数的莱布尼兹公式 0nnkn kknkuvC uv可知,()0()1(1)2(2)()()()()()nxnxnxnnnxnnnnfxC x eC x eC x eC xe00()xxxxenexn e.对函数 ng xfx求导,并令 0gx,得关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2(1)()(1)0nxgxfxxne,解之得驻点1xn,且()0,(1),()()0,(1),()g xxng xg xxng x 函数严格单调递减函数严格单调递增；故1xn 是函数 ng xfx的极小值点,极小值为()11(1)(1)(1)nnngnfnnn ee .(4)【答案】1100BA【解析】利用分块矩阵,按可逆矩阵定义有12340000XXAEXXBE,由对应元素或块相等,即3412,0,0,.AXEAXBXBXE从A和B均为可逆矩阵知113412,0,0,XAXXXB.故应填1100BA.(5)【答案】x113P Xx0.40.40.2【解析】因为随机变量X的分布函数()F x在各区间上的解析式都与自变量x无关,所以在()F x的连续点,0P Xx,只有在()F x的间断点处X取值的概率才大于零,且()(0)P XxP XxP XxF xF x,则1(1)(1 0)0.4P XFF ,1(1)(1 0)0.80.40.4,P XFF3(3)(30)1 0.80.2.P XFF 因此X的概率分布为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料3x113P Xx0.40.40.2二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)二、选择题(本题满分 15 分,每小题 3 分.)(1)【答案】(A)【解析】由重要极限1lim(1)xxex可知,极限(1)111lim(1)lim1()xxxxexx ,(1)111lim(1)lim(1)xxxxexx.而极限00111lim ln(1)limln(1)ln(1)001lim(1)limxxxxxxxxxxxeeex,令1tx,则01ln(1)1limln(1)limlim01ttxtxxtt洛,所以01limln(1)001lim(1)1xxxxxeex.故选项(A)正确.(2)【答案】(D)【解析】因为2221(1)nnnaan,由211nn收敛及比较判别法可知21(1)nnna绝对收敛.即(D)正确.另外,设1(1,2)2nann,则可知(A)11111122nnnnann,(C)1111212122nnnnann都不正确.设21210,(1,2)4nnaann,则可知(B)不正确.(3)【答案】(B).【解析】由为A的特征值可知,存在非零向量X,使得AXX.两端同时乘以*A,有*()AXA AX,由公式*A AA得到*A XA X.于是*1A XA X.按特征值定义知1A是伴随矩阵*A的特征值.故应选(B).关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A是n阶矩阵,若存在数及非零的n维列向量X使得AXX成立,则称是矩阵A的特征值,称非零向量X是矩阵A的特征向量.(4)【答案】(D)【解析】A BAB,如果AB ,则A B ,即A与B互不相容；如果AB ,则A B ,即A与B相容.由于A、B的任意性,故选项(A)(B)均不正确.任何事件A一定可以表示为两个互不相容事件AB与AB的和.又因AB ,从而ABABA,另外要注意区分独立与互不相容两个概念,不要错误地把A、B互不相容等同于A、B相互独立而错选(C).A,B不相容,P A,P B均不为零,因此0P ABP,P ABP A P B.即(C)不正确.用排除法应选(D).事实上,P ABP AP ABP A.(5)【答案】(B)【解析】由于()()()E XYE X E Y,因此有cov(,)()()()0,()()2cov(,)()()().X YE XYE X E YD XYD XX YD YD XD Y故应选(B).【相关知识点】若两个随机变量X,Y的方差都大于零,则下面四个命题是等价的：1)()()()E XYE X E Y；2)()()()D XYD XD Y；3)cov(,)0X Y；4)X和Y不相关,即X和Y的相关系数0.三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分)【解析】方法一方法一：这是1型未定式极限.1220112lnlim00limlimxxnxxxnxxxeeeeeexxnxxnxnxxeeeeen关注公众号【考研题库】保存更多高清资料520ln()lnlimxxnxxeeenxe,其中指数上的极限是00型未定式,由洛必达法则,有20ln()lnlimxxnxxeeenx220212(1)1lim22xxnxxxnxxeenenn nneeenn.所以11220limnxxnxxxeeeen.方法二方法二：由于112211xxnxxxnxxxeeeeeenn,记21xxnxeeeyn,则当0 x 时0y,从而1112000limlim(1)lim(1)yxxnxxxyxxxxeeeyyn.而10lim(1)yyye,所以01lim0lim(1)xyyxyxxye.又因200(1)(1)(1)limlimxxnxxxyeeexnx2000111111limlimlim(12)2xxnxxxxeeennnxxxn洛.所以11220limnxxnxxxeeeen.四、(本题满分 5 分)四、(本题满分 5 分)【解析】积分区域D如图阴影部分所示.由1xyab,得21xyba.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6因此2241212000001122bx aabx aaaDbxIydxdydxydydxydxa.令1xta,有2(1),2(1)xatdxat dt,故422040112(1)22abxbIdxta tdta15621245200()5630ttababttdtab.五、(本题满分 5 分)(本题满分 5 分)【解析】将原方程化为2221ydyxyxydxxyx,由此可见原方程是齐次微分方程.令yux,有,dyduuxdxdx将其代入上式,得21dyduuuxdxdxu,化简得1duxdxu,即dxudux.积分得21ln.2uxC将yux代入上式,得通解222(ln)yxxC.由条件2x eye,即2242(ln)eeeC求得1C.所以222(ln1)yxx所求微分方程的特解.六、(本题满分 6 分)(本题满分 6 分)【解析】先求出曲线1L和2L的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S和2S,如图：由221010yxxyaxa 得111x,aay.a所以1121200(1)SSSydxxdx1301233xx,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料71122211100111aaSxaxdxa xdx11301233 1aaxxa.又因为12SS,所以22233 1a,即12a,解得3a.七、(本题满分 8 分)七、(本题满分 8 分)【解析】方法 1：方法 1：总收入函数为221 1221122240 2100 05Rp qp qp.pp.p,总利润函数为1 122123540LRCp qp qqq221122320 2120 051395p.pp.p.由极值的必要条件,得方程组1122320 40120 10L.p,pL.p,p即1280120p,p.因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1280120p,p时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为12122211228012080120320 2120 051395605p,pp,pLp.pp.p（）方法 2：方法 2：两个市场的价格函数分别为1122120520020pq,pq,总收入函数为1 1221122120520020Rp qp qq qqq,总利润函数为1122121205200203540LRCq qqqqq2211228051602035qqqq.由极值的必要条件,得方程组关注公众号【考研题库】保存更多高清资料811122280 10084160400Lq,qq,q.Lq,q因驻点的唯一,且由问题的实际含义可知必有最大利润.故当1284q,q,即180p,2120p 时,厂家所获得的总利润最大,其最大总利润为1284605q,qL.八、(本题满分 6 分)八、(本题满分 6 分)【解析】因为(0,)x,所以1()(1)0 xf xx.1ln(1)1()(1)xxxf xex,两边对x求导,得112ln(1)ln(1)1()1111()ln(1)(1)ln(1)111xxxxxxxfxeexxxxx.令11()ln(1)1g xxx,为证函数()f x为增函数,只需()0fx在(0,)上成立,即()0,(0,)g xx.方法一方法一：利用单调性.由于22211111()ln(1)11(1)(1)1xg xxxxxxx,且(0,)x,故21()0(1)g xxx,所以函数()g x在(0,)上单调减少.又11lim()limln(1)01xxg xxx,于是有()0,(0,)g xx.从而1()(1)()0 xfxg xx,(0,)x,于是函数()f x在(0,)单调增加.方法二方法二：利用拉格朗日中值定理.令11ln(1)ln()ln(1)ln(1)()xxxu xu xxx,所以在区间(,1)x x存在一点,使得关注公众号【考研题库】保存更多高清资料91(1)()()(1)()u xu xuxxu,即11ln(1)x.又因为01xx,所以1111xx,所以1111ln(1)1xxx.故对一切(0,)x,有111()(1)ln(1)01xfxxxx.函数()f x在(0,)单调增加.九、(本题满分 7 分)九、(本题满分 7 分)【解析】设112233xxx,将分量代入得到方程组12312321231011xxx,xxx,xxx.对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有1、1加到第二行和第三行上,有2221110111 0111011120,再第二行加到第三行上,所以有2211100300.若0且230,即0且3,则 3r Ar A,方程组有唯一解,即可由123,线性表示且表达式唯一.若0,则 13r Ar A,方程组有无穷多解,可由123,线性表示,且表达式不唯一.若3,则 23r A,r A,方程组无解,从而不能由123,线性表示.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即是()()r Ar A(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,关注公众号【考研题库】保存更多高清资料10亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组).设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则(1)有唯一解()().r Ar An(2)有无穷多解()().r Ar An(3)无解()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.十、(本题满分 6 分)十、(本题满分 6 分)【解析】关于判定二次型正定这类题目时,用“顺序主子式全大于 0”的方法最为简捷.二次型f的矩阵为1142124A,其顺序主子式为2212311,4,448.4A 正定的充分必要条件是各阶顺序主子式都大于 0,所以有12310,(2)(2)0,4(1)(2)04A .解出其交集为(2,1),故(2,1)时,f为正定二次型.【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量12,nx xx的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)1211,nnnijijijf x xxa x x其中ijjiaa,称为n元二次型,令12,Tnxx xx,ijAa,则二次型可用矩阵乘法表示为12,Tnf x xxx Ax其中A是对称矩阵TAA,称A为二次型12,nf x xx的矩阵.十一、(本题满分 6 分)十一、(本题满分 6 分)【解析】记12(,)nA,则12,n 线性无关的充分必要条件是0A.由于关注公众号【考研题库】保存更多高清资料111111212212221212,TTTTnTTTTTnnTTTTnnnnnA A ,从而取行列式,有2TTDA AAAA.由此可见12,n 线性无关的充分必要条件是0D.【相关知识点】m个n维向量12m,线性相关的充分必要条件是齐次方程组12120mmxxx有非零解.特别地,n个n维向量12,n 线性相关的充分必要条件是行列式12,0n.十二、(本题满分 5 分)十二、(本题满分 5 分)【解析】首先确定X的可能值是0 1 2 3,其次计算X取各种可能值的概率.设事件iA“汽车在第i个路口首次遇到红灯”,1 2 3i,且iA相互独立.12iiP AP A.事件iA发生表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数为1i.所以有1102P XP A,21212112P XP A AP A P A,3123123122P XP A A AP A P AP A,3123123132P XP A A AP A P AP A.则X的概率分布为x0123P Xx12212312312注注：此题易犯的一个错误是将3P X 计算为412,这是由于该街道仅有三个设有红绿信关注公众号【考研题库】保存更多高清资料12号灯的路口,3X 仅表示所有三个信号灯路口均为绿灯,而不存在第四个有信号灯路口问题.十三、(本题满分 6 分)十三、(本题满分 6 分)【解析】二维均匀分布(,)X Y的联合密度函数为1,(,),(,)0,(,),Dx yDSf x yx yDDS是区域D的面积,2,DSr所以(,)X Y的联合密度22222221,(,)0,xyrf x yrxyr.由连续型随机变量边缘分布的定义,X和Y的概率密度1()f x和2()fy为22222212212()(,)(),rxrxf xf x y dydyrxxrrr22222()(,)()fyf x y dxryyrr.由一维连续型随机变量的数学期望的定义：()EXx f x dx,()()().E g Xg xf x dx若()f x为奇函数,积分区间关于原点对称,则积分为零,即是()0rrf x dx.故2222,rrEXx rx dxr2222rrEYy ry dyr,由于被积函数为奇函数,故0EXEY.2222cov(,)xyrxyX YE XYEX EYdxdyr,因为此二重积分区域关于x轴对称,被积函数为y的奇函数,所以积分式为 0.cov(,)0X Y.由相关系数计算公式cov(,)X YDXDY,于是X和Y的相关系数0.(2)由于12(,)()()f x yf x fy,可见随机变量X和Y不独立.十四、(本题满分 5 分)十四、(本题满分 5 分)【解析】最大似然估计,实质上就是找出使似然函数最大的那个参数,问题的关键在于构造似然函数.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料13现题设给出概率密度函数(;)f x,则似然函数11121(,;)(),niinxnniiL x xxeX111lnln()ln.nniiiiLnXX(由于ln L是单调递增函数,L取最大与ln L取最大取到的是一致的,而加对数后能把连乘转换成累加,这样求导,找极值比较方便).由对数似然方程1ln0,niiLnX得的最大似然估计值1niinX.所以得的最大似然估计量为1niinX.【相关知识点】似然函数的定义：设12,.,nx xx是相应于样本12,.,nXXX的一组观测值,则似然函数为：12121()(,;)(;)(;)(;)(;)nniniLf x xxf xf xf xf x.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料