1988数学三真题答案解析（试卷四）.pdf

一、填空题（本题满分一、填空题（本题满分 12 分，每空分，每空 1 分）分）(一一)已知函数xdtf xext(),0212.（1）()fx221te.（2）()f x的单调性：单调增加 .（3）()f x的奇偶性：奇函数 .（4）()f x图形的拐点：（0，0）（5）()f x图形的凹凸性：0 x 时上凹（下凸）,0 x 时下凹（上凸）.（6）()f x图形的水平渐近线近线：,22yy(二二)01111011110111103.(三三)110000100001000011000010000100001.(四)假设()0.4()0.7P AP AB，那么（1）若 A 与 B 互不相容，则 P（B）=0.3.（2）若 A 与 B 相互独立，则 P（B）=0.5.二、（本题满分二、（本题满分 10 分）（每小题，回答正确得分）（每小题，回答正确得 2 分，回答错误得分，回答错误得-1 分，不回答得分，不回答得 0 分；全题最低得分；全题最低得 0 分）分）（1）若极限l()im0f xxx与l()im0f xxx()g x都存在，则极限()lim0g xxx必存在.（）（2）若0 x是函数()f x的极值点，则必有()00 f x.（）（3）等式 aadxf axdxf x00()(),对任何实数a都成立.（）（4）若 A 和 B 都是n阶非零方阵，且 AB=0，则 A 的秩必小于n.（）1988 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷四）数学试题参考解答及评分标准数 学（试卷四）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料（5）若事件 A，B，C 满足等式,ACBC 则 A=B.（）三、（本题满分三、（本题满分 16 分，每小题分，每小题 4 分分.）(1)求极限11limlnxxxxx解一：解一：此极限为00型未定式，由罗必塔法则，则11(ln1)=limlim1ln1xxxxxxxx原式.4分 解二：解二：令lntxx，则xtxe.由于当1x 时，0t，可见 001=limlim1tttteet原式.4分(2)已知xyeu，求x yu 2.解：解：由于11uuuyuxxeye，2分 可见221(1)uuuueyeuuyx yyxe 3分 311(1)uuuxyeee.4分(3)求定积分(1)30 xxdx.解一：解一：由于2()dxdxx，可见原式302=1dxx2分 23.4分 解二：解二：令2,2xtxt dxtdt，；当0 x 时，0t；当3x 时，3t；1分 于是，3202=1dtt原式2分 302arctanx3分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料23.4分(4)求二重积分660cosyxdydxx.解：解：在原式中交换积分次序，得 原式600cosxxdxdyx2 分 60=cosxdx601=sin2x4 分.四、（本题满分分，每小题分）四、（本题满分分，每小题分）(1)讨论级数11)!(1nnnn的敛散性解：解：由111211(2)!(2)211(1)(1)11(1)!(1)nnnnnnnunnnnnunnnnnn，有11limlim21111(11)nnnnnneuunn，2分 故由级数收敛的比值判别法，知11)!(1nnnn收敛.3分(2)已知级数12na和2ii nb都收敛，试证明级数1nnna b绝对收敛.证：证：由于级数12na和2ii nb都收敛，所以2211()2iinab收敛.2分 而221()2n nnna bab，故由比较判别法，知级数1|nnna b收敛，即1nnna b绝对收敛.3分 五、（本题满分五、（本题满分 8 分）分）已知某商品的需求量和供给量都是价的函数：2()aDD pp，()SS pbp，其中a0和b0是常数：价格p是时间t的函数且满足方程(),()(k d ps pdtdpk是常数），假设当 t=0 时价格为 1.试求：（1）需求量等于供给量时的均衡价格eP；（2）价格函数()p t；（3）极限l()im p tt.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料解：解：(1)当需求量等于供给量时，有2abpp，即3apb.故13()eapb.1分(2)由条件知322()()dpabak D pS pkbpkpdtppb.因此有332edpbkppdtp，即233ep dpkbdtpp.3分 在该式两边同时积分得333kbteppce.5分 故由条件(0)1P，可得31ecp.于是价格函数为13333()(1)kbteep tpp e.6分(3)13333lim()lim(1)kbteeettp tpp ep8分 六、（本题满分六、（本题满分 8 分）分）在曲线2(0)yx x上某点 A 处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形的面积为112，试求：(1)切点 A 的坐标；(2)过切点 A 的切线方程；(3)由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.解：解：设切点 A 的坐标为2(,)a a，则过点 A 的切线方程的斜率为|2x aya，切线方程为22()yaa xa，即22yaxa.2 分可见，切线与x轴的交点为2(,0)2a.故曲线、x轴以上及切线这三者所围图形的面积为33332043412aaaaaSx dx.4分 而由题设知112S，因此1a.5分 于是，切点 A 的坐标为(1,1)，过切点(1,1)的切线方程为21yx.6分 旋转体的体积为112 22102()(21)30Vxdxxdx.8分七、（本题满分七、（本题满分 8 分）分）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料已给线性方程组1234123412341234231231231231xxxxxxxxxxxxxxxx，问1k和2k各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷解？在方程组有无穷解的情景下，试求出一般解.解：解：以A表示方程组的系数矩阵，以(|)A B表示增广矩阵，因121112331361(|)331151510 12kkA B1211123101214002250003kk2分 故当12k 时，()(|)4RRAA B，方程组有唯一解；3分 当12k 时，有2211112311231101210121(|)42000200015100030000kkA B4分 这时，若21k，则()3(|)4RRAA B，故方程组无解；若21k，则()(|)34RRAA B，故方程组有无穷多组解，此时有 6分1123 11004 01000801211012110120 3(|)0001 20001 20001 20000 00000 00000 0 A B 7 分 相应的方程组为12348;322.xxxx，取3xc（c为任意常数），得方程组的一般解：12348,3 2,2xxc xc x.8分 综上所述：当12k 时，方程组有唯一解；当12k 而21k 时，方程组无解；当12k 且21k 时，方程组有无穷多组解，其一般解为12348,3 2,2xxc xc x，其中c为任意常数.八、（本题满分八、（本题满分 7 分）分）已知向量组1,2,sa aa（S2）线性无关，设11222311,ssssaaaaaaa，关注公众号【考研题库】保存更多高清资料讨论向量组12,s 的线性相关性.解：解：假设12,sk kk是一数组，满足条件11220sskkk1分 那么，有111221()()()0sssskkkkkk.由于,1,2sa aa线性无关，故有1122310000ssskkkkkkkk （*）3分 此方程组的系数行列式为s阶行列式：110001110002,1(1)011000,00011sD 若s为奇数若s为偶数5分 若s为奇数，则20D，故方程组（*）只有零解，即12,sk kk必全为 0.这时，向量组12,s 线性无关.若s为偶数，则0D，故方程组（*）有非零解，即存在不全为 0 的数组12,sk kk，使11220sskkk.这时，向量组12,s 线性相关,7 分 九、（本题满分九、（本题满分 6 分）分）设 A 是三阶方阵，A是 A 的伴随矩阵，A 的行列式.21A求行列式AA(3)21的值.解：解：因 111(3)3AA，2分 故*111|2AA AA，3分 所以311111122(3)2|333AA AAAA5分 1627.6分 十、（本题满分十、（本题满分 7 分）分）玻璃杯成箱出售，每箱?20 只，假设各箱含?0，1，2 只残次品的概率是0.8，0.1 和?0.1，一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机观察?4 只，若无 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料残次品，则购买下该玻璃杯，否则退回.试求：(1)顾客买下该箱的概率；(2)在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率.解：解：设iB箱中恰有 i 件残品次品（0,1,2i），A顾客买下所察看的一箱.1分 由题意知012()0.8,()0.1,()0.1P BP BP B；419014204(|)1,(|)5CP A BP A BC；418242012(|)19CP A BC.3分(1)由全概率公式200.41.2()()(|)0.80.94519iiiP AP B P A B；5分(2)由贝叶斯公式000()(|)0.8(|)0.85()0.94P B P A BP BAP A.7分 十一、（本题满分十一、（本题满分 6 分）分）某保险公司多年的统计资料表明，在索赔户中被盗索赔户占 20%，以 X 表示在随意抽查的 100 个索赔户中因被盗向保险公司索赔的户数.(1)写出 X 的概率分布；(2)利用棣莫佛拉普拉斯定理，求出索赔户不少于 14 户且不多于 30 户的概率的近似值.解：解：(1)X服从二项分布，参数100,0.2np，其概率分布为 1001000.2 0.8(0,1,100)kkkP XkCk.2分(2)由(,)XB n p知，20,(1)16EXnpDXnpp,4分 故根据棣莫佛拉普拉斯定理，有14202030201430161616XPXP201.52.54XP 5分(2.5)(1.5)(2.5)1(1.5)0.9941 0.9330.927.6 分 十二、（本题满分十二、（本题满分 6 分）分）假设随机变量 X 在区间（1，2）上服从均匀分布.试求随机变量xYe2的概率密度 f(y).解：解：由条件知，X的密度函数为1,12()0,xp x若其他1分 记()F yP Yy为Y的分布函数，则有 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料21ln242140,2(),31,4yyeF ydxeyeye若 分若 分若 分因此22440,1()(),20,yef yF yeyeyye若若若于是（当24,ye e时，补充定义()0f y），得2441,2()0eyeyf yye若若.6分 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料