22强化521高数全集（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 第 1 章 函数、极限与连续 1.1 无穷小比阶无穷小比阶【1】设()1 cos20sin4xf xt dt=，()()()22ln 10112xtg xedt+=，则当0 x 时，()fx是()g x的（）.（A）低阶无穷小.（B）高阶无穷小.（C）同阶但非等价的无穷小.（D）等价无穷小.【2】设45()xxx=+，220()(e1)dxtxt=，()1tan1 sinxxx=+，当0 x 时，按照前一个是后一个的高阶无穷小量的排列次序是（）（A）.（B）.（C）,.（D）.【3】当0 x 时，下列无穷小中阶数最高的是（）.（A）2cosxex.（B）31 21 3xx.（C）sin cos cos2xxxx.（D）()()0ln 11xtetdt+.【4】已知函数11()sinxf xxx+=,记0lim()xaf x=.（）求a的值；（）若当0 x 时,()f xa与kx是同阶无穷小量，求常数k的值.【5】确定,a b，使当0 x 时，11xaxebx+为x的3阶无穷小。【6】讨论，分析当0 x 时，()()21 cos sinln 1xx+为x的几阶无穷小。1.2 函数极限计算函数极限计算【7】若0a，有20061limlim sintan3sin6xxxtdtxxxxat=+，则a=（）.（A）9.（B）18.（C）27.（D）36.【8】333301 costansinlim11xxxxx+=.【9】01lim1cosxxexxx=.sin()1xxx=,一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 【10】极限01tan1arctanlimsinxxxxxxx+=.【11】0limcosxxx+=.【12】求极限()()022sin1limln1xxexxxxxx+.【13】求极限()()()2032sin3ln 1limsin31xxxxxxx+.【14】()()()22011 ln 1limxxxexx+=.【15】求极限20011lim1sinxtxxe dtex+.【16】()666565limxxxxx+=.【17】求极限()14444lim112xxxxx+.【18】设()()54lim75,0axxxxb b+=，则a=，b=.【19】()lim sin1sinxxx+=.【20】若()00f=，()02022f=，()fx在0 x=处连续，求()()30ln 1limxf xfxx+.【21】设)(xf为连续函数，且2)1ln()(lim20=+xxxxfx，=xttxtfxF0d)()(.当0 x时，221)(xxF与kbx为等价无穷小，其中常数0b，k为某正整数.求：（）)0(f及(0)f；（）常数bk,的值.【22】已知101lim arctan(1|)xxaxx+存在,求a的值.【23】x表示不超过x的最大整数，当常数a为 时，210ln 1limln 1xxxea xe+存一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 在，此时极限结果为 .1.3 概念与性质概念与性质 【24】以下说法正确的是（）（A）1lim1nnnxx+=是数列极限limnnx存在的充要条件（B）若nnnxzy，且()lim0nnnyx=，则limnnz存在（C）若0 x 时，()(),nmf xxg xx，则()()f x g x是x的mn+阶无穷小（D）若0 x 时，()(),nmf xxg xx，则()()f xg x是x的min,m n阶无穷小【25】以下说法正确的是（）（A）序列 na的子序列2na和21na+收敛，则 na收敛；（B）如果lim0nnna b=，则两个数列 ,nnab中至少有一个为无穷小量（C）对于数列 na与前n项和nS，若 nS为有界数列，则 na也为有界数列；（D）序列 na收敛，则序列na收敛.其逆命题也成立；【26】设,nnncba均为非负数列，且0lim=nna，1lim=nnb，=nnclim，必有（A）nnba 对任意n成立 （B）nncb 对任意n成立（C）极限nnncalim不存在 （D）极限nnncblim不存在【27】设数列 nx收敛，则（A）当limsin0nnx=时，lim0nnx=（B）当lim()0nnnxx+=时，lim0nnx=（C）当2lim()0nnnxx+=时，lim0nnx=（D）当lim(sin)0nnnxx+=时，lim0nnx=.1.4 数列极限计算数列极限计算 【28】求222111lim 11123nn=.【29】设1x，求()()()()242lim 1111nnxxxx+=.【30】n232limcoscosc22oscos2nxxxx=.【31】n11lim2(12)nnkk=+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 【32】32212 1 coslim1nnnnnn+=.【33】已知极限2021(1)lim0kknnncn=，其中,c k均为常数，则c=，k=.【34】求极限lim()2nnnnab+=.0,0()ab【35】1lim1nnn en+=.【36】()22limsinnnn+=.【37】已知()()()()222222lim 1,02lim2,012nnnnxxxnf xnnnxnnnn+=+=+，求()f x dx.【38】12222lim1112nnnnnnnnn+=.【39】()()()1221limnnn nnnn+=.【40】!limnnnn=.【41】求()()1lim 1n xnnf xe+=+,则()fx有（）个不可导点.（A）0.（B）1.（C）2.（D）3.【42】设函数()fx为周期为()0T T的连续正值周期函数，试证()()0011limxTxf t dtf t dtxT+=.【43】求0sinlimxxt dtx+.【44】（1）证明不等式()2ln 1,2xxxx+()x0；（2）计算22212lim 111nnnnn+.【45】设数列 nx满足：110,1,1,2,3nxnxexn+=（1）证明数列 nx的极限存在，并求出极限；（2）求.11limnxnnnxx+一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 1.5 连续与间断连续与间断【46】函数2221()11xxf xxx=+的无穷间断点数为（）.（A）0（B）1 （C）2（D）3【47】函数11(ee)tan()(ee)xxxf xx+=在,上的第一类间断点是x=（）.（A）0.（B）1.（C）2.（D）2.【48】设1111(),1)sin(1)2f xxxxx=+试补充定义(1)f使得()f x在 1,21上连续【49】已知函数2121()lim1nnnxf xx+=+，则1x=是（），1x=是（）.（A）连续点，第一类间断点.（B）连续点，连续点.（C）第一类间断点，第一类间断点.（D）第一类间断点，连续点.【50】已知()()lim0nnnnnxxfxxxx=+，则()fx有（）个间断点.（A）1.（B）2.（C）3.（D）4.【51】已知函数tanxyx=，求该函数的所有间断点，并且判别间断点的类型.第 2 章 一元函数微分学 2.1 导数导数与微分与微分定义定义【52】已知函数()f x在0 x=处可导，且(0)0f=，则2330()2()limxx f xf xx=（）.（A）2(0)f.（B）(0)f.（C）(0)f.（D）0.【53】讨论()fx可导性（1）()()()()22123f xxxx=（2）()222sinf xxx=【54】设 函 数在 点可 导，且，则 .()f x0 x0020(sin3)(ln(1)lim11xxf xxf xxe+=()0fx=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 【55】设()()11cos,110,xxxf xx=在1x=处可导，其中为常数，则的取值范围是（）.（A）1 .（B）1 .（C）0.（D）.【56】已知()1sin,00,0nxxf xxx=（n为自然数），判定在什么条件下：（1）()fx在0 x=处连续；（2）()0f 存在；（3）()fx在0 x=处导函数连续.【57】设函数()fx在0 x=的某邻域内具有二阶导数，且()130lim 1xxf xxex+=，求()0f，()0f，()0f，并求极限()10lim 1xxf xx+.【58】设函数()fx在()0,+上有定义，且对任意的(),0,x y+，都有 ()()()f xyf xfy+=+若()1f 存在，求()fx，()0,x+.【59】设函数可导，当自变量在处取得增量时，相应函数的增量的线性主部为，则 2.2 导数计算导数计算 【60】已知()()()()()2,1nxf xfxfff xx=+（n个f），则()ndfxdx=.【61】设()yf x=是由方程()321e210 xyxyx+=确定的二阶导函数连续的函数，则()sin00tanlimxxxxf x dx=.【62】设()()22sin3,011,0 xax xf xbxxx+=+，求参数,a b的值使()fx可导，并求()fx.【63】已知()3sinf xx=，()1,1x，则0 x=为()fx的（）.（A）可去间断点 （B）跳跃间断点 （C）无穷间断点 （D）连续点 ()f u()sinyfx=xx=0.1x=y0.2()0f=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 【64】设函数()fx四阶连续可导，()()00,00ff=，且()()()2,00,02f xxxF xfx=（）求()Fx（）判断()Fx在R上连续性【65】已知()sinf xxx=，其中 x表示不超过x的最大整数，求()fx.【66】设2022()()txf uduyf t=其中()f u具有二阶导数，且()0f u，求22d ydx【67】已知()()()11 21f xxx=+，则()()0nf=.【68】设()arctanfxx=，则()()0nf=.（n为奇数）【69】设()arctanaxf xx e=，且()()302f=，则2a=.（A）12.（B）43.（C）83.（D）143.2.3 切线方程、法线方程切线方程、法线方程 【70】设周期为 3 的函数()fx在(),+内可导，且满足()()0lim13xxfxfx=+，则曲线()yfx=在点()()3,3f处的切线方程为（）.（A）1322yx=.（B）1322yx=+.（C）()23yx=.（D）()23yx=.【71】已知两曲线()yf x=与()2arctan0 xtg xedt=在()0,0点处的切线相同，求此切线方程，并求极限2limnnfn.【72】设()()tan1,2,nnfxx n=，曲线tannyx=在点4x=处的切线与x轴交点为(),0nx，则极限()limnnnfx=.【73】（数一、二）曲线()22,ln 1xttyt=+=+上与直线81xy+=垂直的切线方程为 .2.4 导数应用导数应用【74】设()fx在0,)+上连续且()()limxf xfxA+=，则()limxf x+=.【75】（2001 年，数二，3 分）曲线22(1)(3)yxx=的拐点个数为 （）一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 8 （A）0.（B）1.（C）2.（D）3【76】曲线322arctan(1)1xyxx=+的斜渐近线方程为 .【77】（2015 年，数二，4 分）设函数)(xf在),(+内连续，其 2 阶导数)(xf 的图形如右图所示，则曲线)(xfy=的拐点的个数为（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 【78】函数1xyx e=的极大值点为 .【79】对于21112!nxyxxxen=+而言，下列正确的是 .（A）当n无论为偶数还是奇数时，函数都取极值；（B）当n无论为偶数还是奇数时，函数都不取极值；（C）当n为偶数时，函数取极值；当n为奇数时，函数不取极值；（D）当n为偶数时，函数不取极值；当n为奇数时，函数取极值.【80】设函数()f x在0 x=的某个领域内可导，()g x在0 x=的某个领域内连续，且()()()200lim0,sin,xxg xfxxg xt dtx=+则（）.（A）0 x=是()f x的极大值点.（B）0 x=是()f x的极小值点.（C）()()0,0f是()yf x=的拐点.（D）0 x=是()f x的极值点，但.()()0,0f不是()yf x=的拐点.【81】（2014 年，数一，10 分）设函数)(xfy=由方程06223=+yxxyy确定，求)(xf的极值 2.5 不等式证明不等式证明 【82】比较大小：e e.（填“大于”，“小于”或“等于”）【83】试证：当0 x 时，()()221 ln1xxx.【84】证明：当1x 时，有不等式ln(1)ln1xxxx+成立.【85】设0 x，常数ae，证明()aa xaxa+2.6 方程根问题方程根问题【86】设 函 数()fx在 闭 区 间,a b上 连 续，且()0f x，则 方 程()()10 xxabf t dtdtf t+=在(),a b内的根有 个.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 9 （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无穷多个 【87】讨论曲线kxy+=ln4与xxy4ln4+=的交点个数【88】已知方程()11ln 1kxx=+在区间(0,1)内有实根，试确定常数k的取值范围.【89】证明方程44arctan303xx+=恰有2实根.第 3 章 一元函数积分学 3.1 不定积分定义不定积分定义与计算与计算【90】设)(xf是周期为4的可导奇函数，且2,0),1(2)(=xxxf，则=)7(f 【91】已知定义与 R 上的函数()fx满足()1,(0,1ln,(1,)xfxx x=+，又()01f=，则()f x=.【92】设()fx为 非 负 连 续 函 数，且 当0 x 时，有()()30 xf x f xt dtx=，则()f x=.【93】设()fx的一个原函数为sin xx，则()4xfx dx=.【94】设()2sinsinxfxx=，则()1xf x dxx=.【95】设()()2lim 102nnnnxf xxx=+，则()f x dx=.【96】已知()f x在(),+上有连续导数，且为奇函数，则（）.（A）()()0cosxf tftdt+是偶函数（B）()00 xtf t du dt 是偶函数（C）()0 xtaf t du dt 是奇函数（D）()0 xtaf t du dt 是奇函数 3.2 定积分定义与性质定积分定义与性质【97】设函数()f x在区间0,1上连续，则10()f x dx=（）.（A）1211lim22nnkkfnn=（B）121 1lim2nnkkfnn=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 10 （C）211 1lim2nnkkfnn=（D）212lim2nnkkfn n=【98】设，则的大小关系是（A）.（B）.（C）.（D）.【99】设()()sin0sin,xtf xetk dt=若积分()2aaf x dx+的值与a无关，则k=.（A）2sin0sinxexdx （B）2sin01sin2xexdx （C）sin0sinxexdx （D）0【100】计算定积分()2222322arcsinsin11xxxdxxx+=.【101】计算2sinarctan1 cosxxxeIdxx=+.3.3 定积分计算定积分计算【102】计算定积分4204d=xxxx .【103】【104】设函数()f x在区间0,1上具有3阶连续的导数，则()()120 xxfx dx等于（）.（A）()()()()10210ffff+.（B）()()()()10210ffff.（C）()()()()10210ffff+.（D）()()()()10210ffff+.【105】设()()()2,12z x yyfyx=，且已知()()()2,011yyefyfy=+，则()201,zy dy=.（A）-1.（B）-2.（C）1.（D）2.【106】设()21txf tedx=，则()120t f t dt=.【107】设函数()()20ln 11xtf xdtt+=+，且()1f已知，求定积分()10 xf x dx.【108】设()fx在0,1上 有 连 续 导 数，()10f=，且()()2xxfxfxxe=，则()10f x dx=.40ln(sin)dIxx=40ln(cot)dJxx=40ln(cos)dKxx=,I J KIJKIKJJIKKJI10nlimesindxnx x=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 11 3.4 变限函数变限函数 【109】已知()fx具有一阶连续导数，且当0 x 时，()()()220 xF xxtft dt=的导数与2x互为等价无穷小，则()0f=（）.（A）1.（B）12.（C）13.（D）14.【110】已知()1,0sin,0 xexf xxxx=，则在区间1,1内原函数 ；定积分 ；()0 xf t dt在0 x=处 ，.(A)存在，存在，连续，可导(B)存在，存在，不连续，可导(C)不存在，不存在，连续，不可导(D)不存在，存在，连续，不可导【111】已知()12lim1xnxxnxneef xe+=+，则()()1xF xf t dt=（）.（A）在(),+上不连续.（B）在(),+上连续，不可导.（C）在(),+上连续，可导.（D）是()fx的一个原函数 3.6 定积分定积分等式、不等式等式、不等式证明证明 【112】设()x为()yfx=的反函数，且()10f=，证明：()()()110002f xt dt dxxf x dx=.【113】设40tannnIxdx=，其中n为大于 1 的正整数，证明：()()112121nInn+.【114】设函数()fx在 ,a b上连续且单调增加，证明：()()2bbaaabxf x dxf x dx+.【115】设函数()fx在 0,1上可导，且当()0,1x 时，()01fx，()00f=.试证：()()()211300f x dxfx dx.3.7 反常积分反常积分【116】计算32122dxxx=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 12 【117】计算20(1)xxxedxe+.【118】21(1)dxx x+=+.【119】下列反常积分发散的是 .(A)24201xdxxx+（B）32111dxx x+（C）201lndxx （D）120ln1xdxx【120】若()0arctan0naxdx ax+收敛，则n的取值范围为 .【121】设na满足等式()12,1,2,lnnnadxnxx+=，则limnna=.3.7 定积分应用定积分应用 【122】求解曲线lnln1xy+=+=所围成的面积.【123】设位于曲线21(e)(1ln)yxxx=+下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周所得空间区域的体积为 【124】设曲线()yf x=，其中()f x是可导函数，且()0f x.已知曲线()yf x=与直线0,1yx=及(1)xt t=所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线方程【125】过点(0,1)作曲线:lnL yx=的切线，切点为A,又L与x轴交于B点，区域D由L与直线AB围成.求区域D的面积及D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.【126】（数一数二做）曲线0tan d(0)4xyt tx=的弧长s=.【127】（数一数二做）设()f x是区间0,)+上具有连续导数的单调增加函数，且(0)1f=.对任意的0,)t+，直线0,xxt=，曲线()yf x=以及x轴所围成曲边梯形绕x轴旋转一周生成一旋转体.若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数()f x的表达式.【128】（数一数二做）曲线ee2xxy+=与直线0,(0)xxt t=及0y=围成一曲边梯形 该曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体，其体积为()V t，侧面积为()S t，在xt=处的底面积为()F t（1）求()()S tV t的值；（2）计算极限()lim()tS tF t+一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 13 第 4 章 常微分方程 4.1 线性微分方程通解结构线性微分方程通解结构 【129】设二阶常系数线性非齐次方程()2exyaybycxd+=+有特解()222e1 exxyx=+，不解方程，写出通解（说明理由），并求出常数a，b，c，d.【130】求2cosyyxx+=+的通解.【131】具有特解1xye=，22xyxe=，33xye=的三阶线性常系数齐次微分方程是（）.（A）0=+yyyy （B）0=+yyyy（C）06116=+yyyy （D）022=+yyyy 4.3 微分方程综合题微分方程综合题 【132】已知曲线()()0,0yf xxy=连续且单调递增，现从其上任意一点A作x轴与y轴的垂线，垂足分别是B和C。若由直线AC，y轴和曲线本身包围的图形的面积等于矩形OBAC的面积的13，求曲线的方程.【133】设函数()f x在)1,+上连续，若由曲线()yf x=，直线1x=，()1xt t=与x轴所围成的平面图形绕x轴旋转一周所成的旋转体体积为()()()213V tt f tf=，试求()yf x=所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件229xy=的解.【134】求一连接()0,0O，()1,1A两点的向上凸的连续曲线，使其上任意一点(),P x y到O的直线OP与该曲线所围区域的面积为3x.【135】设()f x在(),+上连续，且满足()()()222222242d dxytf txyfxyx yt+=+，求()f x.【136】设函数()f x具有连续的一阶导数，且满足()()()2220dxf xxtfttx=+求()f x的表达式.【137】设()()()F xf x g x=，其中函数()f x，()g x在(),+内满足以下条件：()()fxg x=，()()gxf x=，且()00f=，()()2exf xg x+=。（1）求()F x所满足的一阶微分方程；（2）求出()F x的表达式.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 14 【138】设函数()fx连续，()0f 存在，并对于任意,x yR，()()()()()1 4f xfyf xyf x fy+=，且()102f=，求()fx。【139】（数一数二）设()f xy=是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(),x y处的曲率为211y+，且此曲线上点()0,1处切线方程为1yx=+，求该曲线方程，并求函数()yy x=的极值【140】（数一、二）设函数()yf x=由参数方程22,1(),xtttyt=+=所确定，且()2234 1d ydxt=+，其中()t具有二阶导数，曲线()yt=与22132tuyedue=+在1t=处相切，求函数()t.第 5 章 中值定理【141】设函数()fx在 0,1上可微，()()()00,0,1,0fxf x=.试证明：存在()0,1 使得()()()()121ffff=.【142】设函数()(),f xg x在 ,a b连续，(),a b可导，()(),0 xa bgx ，试证明：存在(),a b 使得()()()()()()fff agg bg =.【143】设,a b c为三个实数，证明：方程2xeaxbxc=+=+的根不超过三个.【144】设()f x在,a b上连续，在(),a b内可导，且()f aa=，()()221d2baf xxba=,求证：在(),a b内至少有一点，使得()()1ff=+.【145】设()f x在,a b上连续，在(),a b内可导，且()0fx.证明：存在，(),a b，使得()()eeebaffba=.【146】设()f x在,a b上连续，在(),a b内可导，且()0f a=，()0f a=，求证：(),a b，(),a b，使得()()()112 baff+=.【147】设()f x在0,1上二阶可导，且()()010ff=.()f x在0,1上的最小值等于1，试证至少存在一点()0,1，使()8f.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 15 第 6 章 多元函数微分学 6.1 基本概念考题基本概念考题 【148】已知(),zf x y=在()0,0的某领域内有定义，且()0,00f=，()()22(,)0,0,lim2022x yf x yxy=+，则(),zf x y=在()0,0处（）.（A）连续但偏导数不存在.（B）偏导数存在但不可微.（C）偏导数存在且可微.（D）无法判定.【149】设()3,fx yxy=，则该函数在()0,0处 .(A)连续，但偏导数不存在(B)不连续，但偏导数存在(C)偏导数存在，但不可微(D)偏导数存在，且可微【150】设()()222222221sin,0,0,0 xyxyxyf x yxy+=+=，求()(),xyfx yfx y，并讨论这些偏导数在()0,0处连续性，以及可微性.6.2 偏导数与全微分计算偏导数与全微分计算【151】设()()()(),dx yx yu x yxyxytt+=+，其中具有二阶导数，具有一阶导数，则必有（）（A）2222uuxy=（B）2222uuxy=（C）222uux yy=（D）222uux yx=【152】设函数具有阶连续偏导数，求.【153】设 g 二阶可导，f 具有二阶连续偏导数，()(),2zg xf xyy=+，求2zx y=_.【154】设函数()22lnufxy=+满足()32222222uuxyxy+=+，试求函数 f 的表达式.【155】已知变量x，y，t满足(),yf x t=及(),0F x y t=，函数 f，F 的一阶偏导数连续，则ddyx=_.(,)f u v2(e,cos)xyfx=2200dd,ddxxyyxx=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 16 【156】设函数(),uf x y z=有连续偏导数，且(),zz x y=由方程eeexyzxyz=所确定，求du.【157】设 函 数(),fx y可 微，又()()()0,00,0,0,0,0 xyffa fb=，且()()2,tf t f t t=，则()0=.【158】已知函数(),ax byzu x y e+=，且20ux y=，确定常数a和b，使函数(),zz x y=满足方程20zzzzx yxy+=.6.3 偏导数、全微分反问题偏导数、全微分反问题 【159】设函数(),zf x y=满足2zxyx y=+，()()2,0,0,f xx fyy=，则 zy=.【160】设函数(),zf x y=，有()()222,01,0,yff xfxxy=则(),f x y=.（A）21xyy+（B）21xyy+（C）221x yy+（D）221x yy+6.4 多元函数极值、最值多元函数极值、最值【161】已知函数()()22e2,xxyf xyy=+，其在点1,12处取（）.（A）极大值e2 （B）极小值e2（C）不取得极值 （D）极小值e【162】已知函数满足，求的极值.【163】设(),zz x y=是由2226102180 xxyyyzz+=确定的函数，求(),zz x y=的极值点和极值.【164】（数一数二做）已知曲线C：22220,35,xyzxyz+=+=，求 C 上距离 xOy 平面最远的点和最近的点.【165】用拉格朗日乘数法求函数()222,2fyxxxyy=+在区域2242xy+上的最大值与最小值.【166】求函数22zxy=+在有界闭区域()22:14Dxy+上的最值.),(yxf2(,)2(1)e(,0)(1)e(0,)2xxxyxfx yyfxxfyyy=+=+=+，),(yxf一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 17 第 7 章 二重积分 7.1 二重积分定义与性质二重积分定义与性质 【167】求2411limsin22nnnijjinn=.【168】设()2222112lnxyIxydxdy+=+，()2221cos 2xyIxydxdy+=+，()2231sinxyIxy dxdy+=，则1I，2I，3I的大小关系为（）.（A）123III.（B）231III.（C）321III.（D）213III.7.2 二重积分计算二重积分计算【169】设 D：221xy+，求()22sincosd dDxyx y+.【170】已知()()2212:194xyD+，求()53DIxy dxdy=+=_【171】计算()22201limecosd dxyrDxyx yr+，其中 D 为222xyr+.【172】设0a，()(),01,0,.axf xg x=若其他 D 表示全平面，则()()d dDIf x g yxx y=_.【173】求二重积分max,1 d dDxyx y，其中(),02,02Dx yxy=.【174】试计算二重积分2d dDyxx y，其中积分区域 D 为正方形区域1x，02y.【175】求()sind dDxyx y，其中D：0 x，0y，2xy+.【176】计算二重积分()22d dDxxyx y+，其中 D 为()22,2y xxyx+.7.3 二次积分考题二次积分考题 【177】设()2,012,12xxf xxxx=，求二次积分()21110yydyfx dx+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 18 【178】将二重积分()()ln10 dd,d,dDexf x yx yxf x yy=化为先对 x，后对 y 的二次积分，则(),d dDf x yx y=_.【179】交换积分次序：()()111422104d,dd,dyyyyf x yxyf x yx+=_.【180】设(),f x y为连续函数，则()1400dcos,sindf rrr r=（）A.()22120d,dxxxf x yy B.()202120d,dxxf x yy C.()22120d,dyyyf x yx D.()202120d,dyyf x yx【181】计算二重积分24212dsinddsind22xxxxxxyxyyy+.【182】已知200elim0txyttdxdyt+=，则（A）11,2=.（B）12,2=.（C）11,2=.（D）12,2=.【183】已知0ab，求积分10lnbaxxdxx=.第 8 章 无穷级数 8.1 常数项级数审敛常数项级数审敛【184】下列级数收敛的是（）.（A）321lnnn=（B）1e32nnnn=（C）1113sin3nnnn=（D）2321334nnnn=+【185】设有两个数列，若，则（A）当收敛时，收敛.（B）当发散时，发散 （C）当收敛时，收敛 （D）当发散时，发散 ,nnablim0nna=1nnb=1nnna b=1nnb=1nnna b=1nnb=221nnna b=1nnb=221nnna b=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 19 【186】设 na，nb为满足()ee1,2,nnabnan=+=的两个实数列，已知()01,2,nan=，且1nna=收敛，证明1nnnba=也收敛。【187】求2lim!nnnn.【188】设0na，1p，且1lime11pnnnna=，若1nna=收敛，求p的取值范围为 .【189】判别级数()()11131nnn+=是绝对收敛、条件收敛还是发散？8.2 幂级数基本概念幂级数基本概念【190】若1nnna x=在3x=处发散，则112nnnax=在3x=处（）。（A）条件收敛 （B）绝对收敛 （C）发散 （D）无法判断【191】幂级数()111nnnxn=的收敛域为 .【192】求级数()()323118lnnnnnxnnn=+的收敛域。【193】求幂级数()()1132nnnnxn=+的收敛域 【194】证明下列结论：（1）给定数列 na，则limnna存在的充要条件是级数()11nnnaa=收敛；（2）设1111ln23nxnn=+，证明极限limnnx存在.8.3 幂级数求和与展开幂级数求和与展开【195】求幂级数11nnnxn=+的收敛域与和函数。【196】求()()3011!nnnnxn=+的收敛区间与和函数。【197】求幂级数的收敛域及和函数.【198】求幂级数()()211112nnnxxn=+的和函数()f x及其极值。【199】（1）验证函数()()()369313!6!9!3!nxxxxy xxn=+满足微分方程，exyyy+=。22044321nnnnxn=+一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 20 （2）利用（1）的结果求幂级数()313!nnxn=的和函数.【200】设na是 曲 线nyx=与()11,2,nyxn+=所 围 区 域 的 面 积，记11nnSa=，2211nnSa=，求1S与2S的值。【201】设函数()21arctan,0,1,0,xx xf xxx+=将函数()fx展开成x的幂级数，并求级数()21114nnn=的和.【202】设012aaa，为等差数列，()00a.（1）求级数0nnna x=的收敛域；（2）求02nnna=的和.【203】设 na满足条件：()()0123,1,102nnaaan nan=，()S x是幂级数 0nnna x=的和函数.（I）证明()()=0SxS x；（II）求()S x的表达式.一笑而过 考研数学