第三章 一元函数积分学（无答案版）考研资料.pdf

2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 1 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学 重点题型重点题型一一 不定积分不定积分的的计算计算【例例 3.1】设21()1cosf xx=+，则()f x在0,上的所有原函数是_.【详解详解】【例例 3.2】计算下列积分：（1）（江苏省 2004 年竞赛题）2(1)()xxexdxxe；（2）21 ln(ln)xdxxx；（3）（南京大学 1995）1(1)xxdxxxe+；（4）sincos1(1)xxxdxxxe+；（5）254cos(2cos)sinxdxxx+；（6）22sin2(cossin)xxdxxxx+；（7）33sinsincosxdxxx+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 2【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 3【例例 3.3】计算下列积分：（1）3(1)(2)dxxx；（2）243(1)(1)dxxx+；（3）111xdxx x+；（4）11xxedxe+.【详解详解 V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 4【方方法法二二】（3）【方法一方法一】【方方法法二二】（4）【方方法法一一】【方法方法二二】【例例 3.4】计算下列积分：（1）112dxxx+；（2）11dxxx+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 5【详解详解】【例例 3.5】计算下列积分：（1）22 31(1)xdxxx+；（2）22ln(11)1xxdxx+；（3）3222ln(1)(1)xxdxx+.【详解详解】（1）【方法方法一一】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 6【方法方法二二】（2）【方法方法一一】【方法方法二二】（3）【方方法法一一】【方法方法二二】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 7【例例 3.6】（南京大学 1995）计算下列积分：（I）222(1)xdxx+；（II）22 3(1)xdxx+.【详解详解】（I）【方法一方法一】【方法方法二二】（II）【方法一方法一】【方法方法二二】【例例 3.7】计算下列积分：（1）241dxIxx=+，2241xJdxxx=+，61dxKx=；（2）241dxIxx=+，2241xJdxxx=+，61dxKx=+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 8【详解详解】（1）（2）V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 9【例例 3.8】计算下列积分：（1）sinsincosxdxxx+；（2）（浙江省 2005 年竞赛题）sin3cos4sinxdxxx+.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 10【例例 3.9】计算下列积分：（1）（南京大学 1996）23()()()()()f xfx fxdxfxfx；（2）（北京市 1999 年竞赛题）2ln1lnxdxx；（3）（北京市 2000 年竞赛题、浙江省 2002 年竞赛题）111xxxedxx+；（4）2211xxedxx+；（5）3sin2cossincosxxxxedxx；（6）22arctan2(1)1xxedxx+；（7）（江苏省 2002 年竞赛题）1 sin1 cosxxedxx+；（8）（北京市 1990 年竞赛题）sin4sin2sin42xxedxx.【详解详解】（1）【方法方法一一】【方方法法二二】（2）【方方法法一一】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 11【方法方法二二】（3）（4）（5）（6）（7）【方方法法一一】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 12【方法方法二二】（8）【例例 3.10】计算下列积分：（1）1xxxedxe；（2）32(1)xxxedxe+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 13【详详解解】（1）（2）【例例 3.11】计算下列积分：（1）421dxxx+；（2）21dxxxx+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 14【详解详解】（1）【方法一方法一】【方法方法二二】重点题型重点题型二二 定积分定积分的的计算计算 V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 15【例例 3.12】（1）（南京大学 1995）1limsinxxxdtxttx+=+_；（2）设()f x在0,1上连续，则222222+1lim()()nnxyxyfxydxdy+=_.【详解详解】【例例 3.13】（江苏省 2017 年竞赛题）设 x表示不超过x的最大整数，则61611dxxx=_.【详解详解】【例例 3.14】（1）设()yf x=在1,3上有一阶连续导数，反函数为()xg y=，且(1)1f=，(3)2f=，315()2f x dx=，则21()g y dy=_；（2）设()yf x=在0,1上有一阶连续导数，反函数为()xg y=，且(1)0f=，10()1011xf x dx=，则1()00()f xdxg y dy=_.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 16【例例 3.15】计算下列积分：（1）34202tan(2)48xdxxx+；（2）（北京市 2002 年竞赛题）2coscos33()xxeedx；（3）2202(0)axaxx dx a.【详详解解】（2）【方法方法一】一】【方法方法二二】（3）【方法方法一一】【方法方法二】二】【例例 3.16】计算下列积分：（1）2sin(+1)(1 cos)xxxdxex+；（2）（全国大学生 2013 年竞赛题）2sinarctan1 cosxxxe dxx+；（3）（莫斯科 1977 年竞赛题）20(0)(1)(1)dxxx+.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 17【详解详解】（1）（2）（3）【方方法法一】一】【方法方法二二】【例例 3.17】计算下列积分：（I）20lnsinxdx；（II）2220sinxdxx.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 18（II）【例例 3.18】（I）（南京大学 1995）证明4400lnsinlncos4xdxxdx+=；（II）（北京市 1990 年竞赛题）计算积分120ln(1)1xdxx+.【详解详解】（I）（II）【例例 3.19】证明：（I）20133 1,24 2 2sin134 2,25 3nnnnnnnIxdxnnnnn=为偶数为奇数；（II）212 4(2)lim21 1 3(21)2nnnn=+.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 19 重点题型重点题型三三 变变限限积分积分的的计算计算【例例 3.20】（1）（江苏省 1996 年竞赛题）设21()xtf xedt=，求120()x f x dx；（2）设0sin()xtf xdtt=，求0()f x dx；（3）设)(xf满足2()arctan(1)fxx=，且(0)0f=，求10()f x dx.【详解详解】（1）【方法方法一】一】【方法方法二二】（2）【方方法法一】一】【方法方法二二】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 20【例例 3.21】（1）设非负连续函数)(xf满足40()()sinxf xf xt dtx=，求)(xf在0,2上的平均值；（2）（浙江省 2002 年竞赛题）设连续函数)(xf在(1,)+内满足20()()12(1)xxxef xf t dtx+=+，求()f x；（3）设连续函数()f x满足11()1()()2xf xf y f yx dy=+，求10()f x dx.【详解详解】【例例 3.22】（I）设()f x为以T为周期的非负可积函数，且0()Tf x dxa=，证明01lim()xxaf t dtxT+=；（II）（上海市 1991 年竞赛题）设()f xxx=，其中 x表示不超过x的最大整数，求极限 01lim()xxf t dtx+.【详解【详解】（I）V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 21（II）()f xxx=为 1 以为周期的非负连续函数，且【2000，数二，数二】设0()cosxS xt dt=.（I）当n为正整数，且(1)nxn+时，证明2()2(1)nS xn+；（II）求()limxS xx+.【例例 3.23】求极限02coslimxxtt dtx+.【详解详解】重点题型重点题型四四 反常积分反常积分的的计算计算【例例 3.24】301xedxx+=_.【详解详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 22【例例 3.25】计算下列积分：（I）20ln1xdxx+；（II）220ln xdxax+；（III）30(arctan)lnxxxdxx+.【详解详解】【例例 3.26】（I）计算累次积分00sinxydxexdy+；（2）计算积分220sin xdxx+.【详解【详解】（I）（II）V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 23 重点题型重点题型五五 定积分定积分的几何的几何应用应用【例例 3.27】设31()lim2x ttxtg xxt+=+，0()()xf xg t dt=.（I）求曲线()yf x=的渐近线；（II）求曲线()yf x=与其渐近线及y轴所围区域的面积A.【详解【详解】（II）由()yf x=为奇函数，得曲线()yf x=与2y=及y轴所围区域的面积为 【例例 3.28】设曲线xey=过原点的切线为L，L与xey=及y轴所围区域为D.（I）求D的面积A；（II）求D分别绕y轴与L旋转一周所得旋转体的体积12,V V；（III）（数一、数二）求D的边界曲线的弧长s.V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 24【详【详解】解】（I）（II（IIIV 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 25 重点题型重点题型六六 定积分定积分的的物理物理应用应用【例例 3.29】（数一、数二）（江苏省 1994 年竞赛题）设质量为M，长为l的均匀杆AB吸引着质量为m的质点C，C位于AB的延长线上与近端距离为a，引力常数为G.（I）求杆对质点的引力F；（II）求将质点C沿杆AB的延长线移至无穷远处引力所作的功W.【详解】【详解】重点题型重点题型七七 定积分定积分的的经济经济学学应用应用【例例 3.30】（数三）设某商品需求的价格弹性为 3，供给的价格弹性为 2.当价格1p=时，需求量Q与供给量S分别为00,Q S.（I）求供求平衡时的平衡价格；（II）若价格p为时间t的函数，满足p关于t的变化率与超额需求量QS成正比，与p成反比，比例系数为k，且0(0)pp=，求()p t；（III）求极限lim()tp t+，并说明经济意义.【详解】【详解】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 26 重点题重点题型型八八 证明证明积分积分不等不等式式【例例 3.31】设(),()f x g x为,a b上单调不减（或单调不增）的连续函数，证明()()()()()bbbaaaf x dxg x dxbaf x g x dx.【详解【详解一一】【详解【详解二二 V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 27【例例 3.32】（I）证明 Cauchy 不等式：设(),()f x g x在,a b上连续，则 222()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx；（II）设()f x为,a b上的正值连续函数，证明2()()()bbaadxf x dxbaf x.【详解】【详解】（I）【方方法法一】一】【方方法法二二】【方方法法三三】V 研客 2 2022022 考研数考研数学学满分过满分过关关 1 15050 28【例例 3.33】设)(xf在,a b上有一阶连续导数.证明：（I）（南京大学 1996）若0)(=af，则2()()max()2baa x bbaf x dxfx；（II）（莫斯科 1977 年竞赛题）若()()0f af b=，则2()()max()4baa x bbaf x dxfx.【详解】【详解】（I）【方法方法二二】（II）【方法方法一一】【方法方法二二 V 研客