2000考研数一真题解析.pdf

2000 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题一、填空题(1)【答案】4【详解】11220021(1)Ixx dxxdx解法解法 1：用换元积分法：设1sinxt，当0 x 时，sin1t ，所以下限取2；当1x 时，sin0t，所以上限取0.所以1sin02cosxtIcosttdt由于在区间,02，函数cost非负，则022202coscos4Itdtt解法解法 2：由于曲线2221(1)yxxx是以点(1,0)为圆心，以 1 为半径的上半圆周，它与直线1x 和0y 所围图形的面积为圆面积的14，故答案是4(2)【答案】122.146xyz【详解】曲面方程(,)0F x y z 在点(,)000 xyz的法矢量为：000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyz令222(,)2321,F x y zxyz则有1,-2,21,-2,21,-2,2 1,-2,22|2,1,-2,24|8,1,-2,26|12.xyzFxFyFz 所以曲面在点(1,2,2)处的法线方程为：122.2812xyz即122.146xyz(3)【答案】122CyCx【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于(,)yf x y型的微分方程.【详解】令py，有dpydx.原方程化为：30dpxpdx，30dppdxx关注公众号【考研题库】保存更多高清资料分离变量：3dpdxpx 两端积分：13ln3lndpdxpxCpx 从而111133ln3ln31xCxCCCpee eexex因120CCe记是大于零的任意常数，上式可写成23Cpx；记32CC，33Cpx，便得方程的通解33pC x，即3333dyC xdyC x dxdx，其中3C是任意常数对上式再积分，得：3235334452,22CCCyC x dxxCCCx 所以原方程的通解为：122CyCx(4)【答案】1.【详解】化增广矩阵为阶梯形，有1211121123230111200231aaaa121101100(3)(1)3aaaa当a=1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为3，根据方程组解的判定，其系数矩阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解.当a=3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为2，由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解.(5)【答案】2 3(由,A B独立的定义：()()()P ABP A P B)【详解】由题设，有1(),()()9P ABP ABP AB因为A和B相互独立，所以A与B，A与B也相互独立.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料于是由()(),P ABP AB有()()()()P A P BP A P B即有()1()1()()P AP BP AP B,可得()()P AP B，()()P AP B从而221()()()()1(),9P ABP A P BP AP A解得2().3P A 二、选择题二、选择题(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数.题设中已知()()()()0,fx g xf x g x想到设函数为相除的形式()()f xg x.【详解】设()()()f xF xg x，则2()()()()()0,()fx g xf x g xF xgx则()F x在axb时单调递减，所以对axb，()()()F aF xF b，即()()()()()()f af xf bg ag xg b得()()()(),f x g bf b g xaxb，()A为正确选项.(2)【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：性质性质 1：设(,)f x y z在分块光滑曲面S上连续，S关于yoz平面对称，则10(,)(,)2(,)(,)SSf x y zxf x y z dSf x y z dSf x y zx若关于 为奇函数若关于 为偶函数其中10SSx.性质性质 2：设(,)f x y z在分块光滑曲面S上连续，S关于xoz平面对称，则10(,)(,)2(,)(,)SSf x y zyf x y z dSf x y z dSf x y zy若关于 为奇函数若关于 为偶函数其中10SSy.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料性质性质 3：设(,)f x y z在分块光滑曲面S上连续，S关于xoy平面对称，则10(,)(,)2(,)(,)SSf x y zzf x y z dSf x y z dSf x y zz若关于 为奇函数若关于 为偶函数其中10SSz.【详解】方法方法 1：直接法：本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而(,)f x y zz对,x y均为偶函数，则112024SSxSzdSzdSzdS性质性质又因为在1S上将x换为y，y换为z，z换为x，1S不变(称积分区域1S关于,x y z轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有111444SSSzdSxdSydS.选项()C正确.方法方法 2：间接法(排除法)曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以0SxdS，而1SxdS中0 x 且仅在yoz面上0 x，从而10SxdS，()A不成立.曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以0SydS，而10SxdS，所以()B不成立.曲面S关于zox平面对称，xyz为y的奇函数，所以0SxyzdS，而10SxyzdS，所以()D不成立.(3)设级数1nnu收敛，则必收敛的级数为()(A)11.nnnun(B)21.nnu(C)2121().nnnuu(D)11().nnnuu【答案】D【详解】关注公众号【考研题库】保存更多高清资料方法方法 1：直接法.由1nnu收敛，所以11nnu也收敛.由收敛级数的性质(如果级数1nnu、1nnv分别 收敛于s、，则 级数1nnnuv也收 敛，且 其和为s).知11111nnnnnnnuuuu.选项()D成立.方法方法 2：间接法.找反例：()A：取1(1)ln(1)nnun，级数1nnu收敛，但111(1)(1)ln(1)nnnnnunnn是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果：111(1)ln(1)1pnpnnp收敛当当发散）()B：取(1)nnun，级数1nnu收敛，2111nnnun发散；()C：取1(1)nnun，级数1nnu收敛，但212114112122(21)nnnuunnnnn由比较审敛法的极限形式知，级数2121()nnnuu发散.(4)【答案】(D)【详解】用排除法.(A)为充分但非必要条件：若向量组1,m可由向量组1,m线性表示，则一定可推导1,m线性无关，因为若1,m线性相关，则1,mrm于是1,m必线性相关，矛盾.但反过来不成立，如当m=1时，11(1,0),(0,1)TT均为单个非零向量是线性相关的，但1并不能用1线性表示.(B)为既非充分又非必要条件：如当m=1时，考虑11(1,0),(0,1)TT均线性无关，但并不能由1线性表示，必要性不成立；又如11(1,0),(0,0),TT可由1线性表示，关注公众号【考研题库】保存更多高清资料但1并不线性无关，充分性也不成立.(C)为充分但非必要条件：若向量组1,m与向量组1,m等价，由1,m线性无关知，11,mmrrm因此1,m线性无关，充分性成立；当m=1时，考虑11(1,0),(0,1)TT均线性无关，但1与1并不是等价的，必要性不成立.(D)剩下(D)为正确选项.事实上，矩阵1,mA与矩阵1,mB等价 r A=r B11,mmrrm因此是向量组1,m线性无关的充要条件.(5)【答案】B.【详解】和不相关的充分必要条件是它们的相关系数 ,0CovDD,0Cov 由协方差的性质：cov(,)cov(,)cov(,)aXbY ZaX ZbY Z故,CovCov XY XY,Cov X XCov X YCov Y XCov Y Y,Cov X XCov Y Y D XD Y可见 ,00CovD XD YD XD Y 2222()()()()E XE XE YE Y(由方差定义22()DXEXEX)故正确选项为(B).三【三【分析】由于极限中含有1xe与x，故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在.【详解】1144002sin2sin2limlim11111xxxxxxexexxxee；关注公众号【考研题库】保存更多高清资料1144002sin2sinlimlim0 1111xxxxxxexexxxee；左极限与右极限相等，所以1402sinlim1.1xxxexxe四四【详解】根据复合函数的求导公式，有1221zyfyfgxyx 于是2111212122221zxxf xfyff xfx yyyy 2222111yfggyxxx 121122232311xyffxyffggyyxx五五【详解】方法方法 1：(复连通条件下的封闭曲线积分)设：(1)1L与2L是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向，(2)在1L与2L所包围的有界闭区域1D与2D的内部除一些点外，(,)P x y与(,)Q x y连续并具有连续的一阶偏导数，且QPxy.则12(,)(,)(,)(,)LLP x y dxQ x y dyP x y dxQ x y dy解解：以点1,0为中心，R为半径的圆周的参数方程是：1cos,sinxRyR，逆时针方向一周为从0t 到2t，代入曲线积分224LxdyydxIxy 由于分母很繁，计算不方便.由曲线封闭，可以考虑使用格林公式，但在L所包围的区域内部有点(0,0)O，该点处分母为 0，导致被积函数不连续，格林公式不能用.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料记2222,44yxPQxyxy且(,)P x y与(,)Q x y满足2222244PyxQxyxy，(,)(0,0)x y.作足够小的椭圆：1cos:(0,2,)2sinxtLtCyt取逆时针方向，于是L与1L及函数(,)P x y与(,)Q x y满足“分析”中所述定理的一切条件，于是1222244LLxdyydxxdyydxIxyxy而后一积分可用参数法计算1222222200L1coscossin(sin)2224ttttxdyydxIdtdtxy方法方法2：记2222,44yxPQxyxy则0PQxy，(,)(0,0)x y.在L内加1L：椭圆2224xy的顺时针方向，则11222244L LLxdyydxxdyydxIxyxy12204LDxdyydxdxdyxy(D由L与1L所围)1122112LDxdyydxdxdy(2221:4Dxy)222六六【详解】由题设条件，可以用高斯公式：20()()xSxf x dydzxyf x dzdxe zdxdy 2()()()xxfxf xxf xedv 其中为S所围成的有界闭区域，当S的法向量指向外时，“”中取“”；当S的法向量指向内时，“”中取“”.由S的任意性，知被积函数应为恒等于零的函数即2()()()0,(0)xxfxf xxf xex关注公众号【考研题库】保存更多高清资料变形后得211()1(),(0)xfxf xexxx这是一阶线性非齐次微分方程，利用一阶线性非齐次微分方程()()dyP x yQ xdx的通解公式：()()()P x dxP x dxyeQ xedxC其通解为111(1)2211()xxdxdxxxxxxxeef xeeedxCexe dxCeCxxxx由于200lim()lim1,xxxxeCef xx故必有20lim0,xxxeCe(否则不能满足极限值为1)，即10,C 从而C=1.因此()1.xxef xex七七【定义概念】幂级数0nnna x，若1limnnnaa，其中1,nna a是幂级数0nnna x的相邻两项的系数，则该幂级数的收敛半径1000R 开区间(,)R R叫做幂级数的收敛区间.【详解】111121()3(2)13limlimlim233(2)(1)3 1()(1)3nnnnnnnxxnnnnaann 所以收敛半径为R=3，相应的收敛区间为-3,3.当x=3时，因为311113(2)2213nnnnnnn 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料且11nn发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x=3处发散；当x=3 时，由于 3322121111,3(2)3(2)3(2)3(2)nnnnnnnnnnnnnnnnnn 分别考虑两个级数，级数111nnn是收敛的.又因2lim 13nnn ，从而2211233(2)3213nnnnnnnn 再由123nn收敛，根据比较审敛法知 1213(2)nnnnn 收敛.于是1313(2)nnnnn 收敛，所以原级数在点x=3处收敛.所以收敛域为 3,3).八八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点0P作为坐标原点，相应的有两种求解方法.方法方法1：记所考虑的球体为，以的球心为坐标原点O,射线0OP为正x轴建立直角坐标系，则球面方程为：2222xyzR，点0P的坐标为,0,0R，设的重心位置为(,)x y z，由对称性，得0,0,yz设为上点(,)x y z处的密度，按题设关注公众号【考研题库】保存更多高清资料222kxRyz，则xdVxdV222222x kxRyzdVkxRyzdV而222kxRyzdV22222k xyzRdVkRzdV22220kxyzdVkR dV(利用奇函数的对称性)2252200048sin3RkkddrrdrR(利用奇偶函数的对称性轮换对称性球体体积公式)4520048sin23Rkkdr drR 5520048sin-253RrkkdR(牛 莱公式)552048sin253RkkdR 552044cos-53k RkR(牛 莱公式)55544325315k Rkk RR222kxxRyzdV22222()2kx xyzRkRx dV其中第一个积分的被积函数为z的奇函数，对称于xOy平面，所以该积分值为零，又由于关于,x y z轮换对称，所以222z dVx dVy dV从而2222222500114()sin3315Rox dVxyzdVddrrdrR关注公众号【考研题库】保存更多高清资料于是222kxxRyzdV564821515kkRRR 故.4Rx 因此，球体的重心位置为(,0,0)4R方法方法2：用表示所考虑的球体，O表示球心，以点0P选为原点，射线0P O为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为2222xyzRz，设的重心位置为(,)x y z，由对称性，得0,0 xy，设为上点(,)x y z处的密度，按题设222k xyz所以z dVzdV222222kz xyzdVk xyzdV因为2cos22222220004sinRxyzdVddrrdr53215R2 cos2225220004sincosRz xyzdVddrdr67620648cossin33RdR 故5.4zR因此，球体的重心位置为5(0,0,).4R九九【证明】关注公众号【考研题库】保存更多高清资料方法方法1：令0()(),0 xF xf t dtx，有(0)0,F由题设有()0F.又由题设0()cos0f xxdx，用分部积分，有000()coscos()f xxdxxdF x00()cos()sinF xxF xxdx0()sinF xxdx由积分中值定理知，存在(0,)使00()sin()sin(0)F xxdxF因为(0,)，sin0，所以推知存在(0,),使得()0F.再在区间0,与,上 对()F x用 罗 尔 定 理，推 知 存 在1(0,)，2(,)使12()0,()0FF，即12()0,()0ff方法方法2：由0()0f x dx及积分中值定理知，存在1(0,)，使1()0f.若在区间(0,)内()f x仅有一个零点1，则在区间1(0,)与1(,)内()f x异号.不妨设在1(0,)内()0f x，在1(,)内()0f x.于是由00()0,()cos0f x dxf xxdx，有11110001100()cos()cos()(coscos)()(coscos)()(coscos)f xxdxf xdxf xxdxf xxdxf xxdx当10 x时，1coscosx，1()(coscos)0f xx；当1x时，1coscosx，仍有1()(coscos)0f xx，得到：00.矛盾，此矛盾证明了()f x在(0,)仅有1个零点的假设不正确，故在(0,)内()f x至少有2个不同的零点.十十【分析】本题为解矩阵方程问题，相当于是未知矩阵，其一般原则是先简化，再计算，根据题设等式，可先右乘A，再左乘*A，尽量不去计算1A【详解】方法：方法：由*,AAA AA E知1*,nAA因此有3*8,AA于是2A，所以*2A A 等式113ABABAE两边先右乘 A，得113ABA ABA AEA再左乘*A，得*1*1*3A ABA AA BA AAEA关注公众号【考研题库】保存更多高清资料化简*|3A BEA BEA A*23|BA BA E*26BA BE*26,EABE于是1*2BEA11000100060000100010006006610101010606011030603010026(由初等变换法求得)方法方法2:2A(同解1)，由*,AAA AA E得11*10000100221010310088AA AA20000200,2020310044(由初等变换法求得)，可见 A E 为逆矩阵.于是，由13,AE BAE有13,BAEA而111000100001000100,2010201033300010444AE因此1000200060000100020006003201020206060331030101000444B方法方法3：由题设条件113ABABAE，得13.AE BAE知：AE，B均是可逆矩阵，且1*111113333ABAEAAAEEAEA关注公众号【考研题库】保存更多高清资料由1*nAA，其中4n，*8A，得2A 故11*1*2336 222AEABEEA 其中*10000100210100306EA，1*100001002,1010110026EA所以1*10006000010006006 261010606003060301BEA十一十一【详解】(1)由题意，16nnxy是非熟练工人数，2 15 6nnxy是年终由非熟练工人变成的熟练工人数，56nx是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列出等式(1)，根据年终非熟练工人人数列出等式(2)得1152 1(1)65 63 1(2)5 6nnnnnnnxxxyyxy11512615513105nnnnnnnxxxyyxy119210513105nnnnnnxxyyxy，即119210513105nnnnxxyy 可见92105.13105A(2)把1，2作为列向量写成矩阵的形式12(,)，因为其行列式1241(,)5011 关注公众号【考研题库】保存更多高清资料矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可见12,线性无关.又119244105,1311105A 22112,122A由特征值、特征向量的定义，得1为A的属于特征值11的特征向量，2为A 的属于特征值212特征向量.(3)因为11121111212nnnnnnnnxxxxAAAAyyyy因此只要计算nA即可.令1241,11P 则由112,P AP有112,APP于是111214141111112nnnAPP 114422151111 422nnnn 其中求逆矩阵的过程为：411011011101411044011101111055411101014101554455关注公众号【考研题库】保存更多高清资料所以14111444415541415-55因此11118321211012322nnnnnxAy十二十二【分析】此分布为一典型分布几何分布.【详解】显然X是一个离散型随机变量.取值范围为 1，2，3，现在关键在于建立X的分布律.生产线上每个产品的生产可理解为一个试验.各个产品合格与否是相互独立的，可以看成是各次试验是相互独立的.生产了个产品停机，应该理解为第X个产品是不合格产品，而前1X 个产品则必为合格产品，这就不难写出分布律.记1,qp X 的概率分布为1,(1,2)kP Xkqp k.由离散型随机变量的数学期望定义得，X的数学期望为1111()kkkkkE XkP Xkkqppq11kkqpqpq1p因为2221111()kkkkkE Xk P Xkk qpp qq 2221qpppq(因为幂级数在其收敛区间内可逐项求导的性质，上面求()E X和2()E X时都用到了先求导化为易求和的级数，再积分还原的过程.)故 X 的方差为222221()()()pD XE XE Xpp21pp十三【十三【概念】最大似然估计，实质上就是找出使似然函数最大的那个参数，问题的关键在于构造似然函数.似然函数的定义：设12,.,nx xx是相应于样本12,.,nXXX的一组观测值，则似然函数为：12121()(,;)(;)(;)(;)(;)nniniLf x xxf xf xf xf x【详解】似然函数为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料121212,(1,2,)()(,)(;)0,niixnnniiexinLL x xxf x其他当(1,2,)ixin时，()0,L所以1ln()ln22.niiLnx(由于ln L是单调递增函数，L取最大与ln L取最大取到的是一致的，而加对数后能把连乘转换成累加，这样求导，找极值比较方便)而ln()20,dLnd所以()L单调增加.要使得()L值最大，是越大越好.又由于必须满足(1,2,)ixin，因此当取12,nx xx中的最小值时，(1,2,)ixin恒成立，且此时()L取最大值，所以的最大似然估计值为12min(,)nx xx关注公众号【考研题库】保存更多高清资料