98ae81c0-2983-11eb-a37e-e580c0970d9b2022考研数学提前学讲义考研资料.pdf

一笑而过课程配套系列讲义 2022 考研数学一本通讲义 提前学分册 周洋鑫 编 著 考研数学周洋鑫 目 录 提前学 1 考研必备高中知识衔接.1 知识点 1 函数的概念.1 知识点 2 函数的四大性质.1 知识点 3 常见函数类型.2 提前学 2 函数极限的定义及基本性质.5 知识点 1 函数极限的定义.5 知识点 2 极限的基本性质.6 提前学 3 函数极限计算.7 知识点 1 极限定型.7 知识点 2 无穷小量.7 知识点 3 泰勒公式极限中应用.10 知识点 4 洛必达法则.12 知识点 5 极限四则运算.13 知识点 6 七种未定式专题计算.14 知识点 7 左右开弓法求极限.17 提前学 4 连续与间断.19 知识点 1 函数连续的定义.19 知识点 2 函数的间断点及其分类.20 提前学 5 导数的定义.22 知识点 1 导数的定义.22 知识点 2 单侧导数.24 知识点 3 函数的可导性与连续性之间的关系.24 提前学 6 导数的计算.26 知识点 1 必备知识.26 知识点 2 复合函数求导.27 知识点 3 隐函数求导法则.27 知识点 4 参数方程求导（数一、二）.28 知识点 5 分段函数求导.28 Contents Contents 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 1 提前学 1 考研必备高中知识衔接 知识点 1 函数的概念 设 D 是一个非空数集，f 是一个从 D 到实数集 R 上的对应法则，对任意xD，都存在 R 中唯一的实数y与之对应，则这个对应规则f称为定义在D上的一个函数，记为()yf x=.称x为函数的自变量，y为函数的因变量，D称为函数的定义域，并把实数集 R的子集(),Ey yf xxD=称为函数的值域.知识点 2 函数的四大性质 1奇偶性 设函数()yf x=的定义域D关于原点对称，（1）若对xD，都有()()xfxf=成立，则称()xf在D上是奇函数；（2）若对xD，都有()()xfxf=成立，则称()xf在D上是偶函数.【例 1.1】判断下列函数的奇偶性（1）()2xxeef x+=（2）()()2ln1f xxx=+2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 2 2周期性 设函数()f x的定义域为D，如果存在常数0T，使得任意xD有，xTD+，且有()()xfTxf=+恒成立，则()xf是周期函数，称T为()xf的周期.【注】要了解一些常见周期函数及其最小正周期：sinyx=，2T=；cosyx=，2T=；tanyx=，T=；cotyx=，T=.sin,yx T=22sin,cos,yxxT=3单调性 定义 1 设()f x在区间I上有定义，若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx时，恒有12()()f xf x成立，则称()f x在区间I上是严格地单调递增.若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx成立，则称()f x在区间I上是严格地单调递减.定义 2 设()f x在区间I上有定义，若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx时，恒有12()()f xf x成立，则称()f x在区间I上是单调不减.若对区间I中任意不同的两点1x，2x，当12xx，使得对任意xD都有()f xM，则称()f x在D上有界.否则，称()f x在D上无界.知识点 3 常见函数类型 1基本初等函数（重点掌握图像性质）（1）幂函数xy=（常数）2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 3（2）指数函数xay=（0a，1a常数）（3）对数函数xyalog=（0a，1a常数）（4）三角函数xysin=；xycos=；xytan=；xycot=；xysec=；xycsc=.（5）反三角函数xyarcsin=；xyarccos=；xyarctan=；xarcycot=.2初等函数 由基本初等函数经过有限次四则运算和复合所构成的用一个表达式表示的函数称为初等函数.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 4 3复合函数 设函数()f u的定义域为U，函数()ug x=的定义域为D，值域为Z.若ZU，则称()yfg x=是定义在D上的复合函数，其中x为自变量，y为因变量，u为中间变量.此外，()yf u=称为外层函数，()ug x=为内层函数.【例 1.2】（1997年真题）设22,0,0(),(),()2,0,0 xxxxg xf xg f xxxxx则为（）（A）22,02,0 xxxx+.（B）22,02,0 xxxx+.（C）22,02,0 xxxx.（D）22,02,0 xxxx+则()fff x等于 （）（A）0 （B）1 （C）1,1,0,1,xx （D）0,1,()1,1,xf xx=微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 5 提前学 2 函数极限的定义及基本性质 知识点 1 函数极限的定义()Axfxx=0lim 定义：任给0，存在正数，当00 xx时，就有()，存在正数，当00 xx时，就有()，存在正数，当00 xx时，就有()，存在0X，当xX时，就有()，存在0X，当xX时，就有()，存在0X，当xX 时，就有()（或0A，使得当00 xx（或()0f x+nxxnx 2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 13【例 3.19】（2007年，数三，4分）3231lim(sincos)2xxxxxxx+=+.知识点 5 极限四则运算 若()lim f xA=()()limg xB=()，则：（1）()()()()limlimlimf xg xf xg xAB=；（2）()()()()limlimlimf x g xf xg xA B=（3）()()()()()limlim0.limf xf xABg xg xB=【例 3.20】若lim()()f xg x+存在，ex及303lim=212xxx是否存在？若)()(limxgxf+及lim()g x存在，是否一定有lim()f x存在？【例 3.21】设()()()()()(),f xu xv xg xu xv x=+=，且()0limxxu x和()0limxxv x都不存在，则 .（A）若()0limxxf x不存在，则()0limxxg x必存在（B）若()0limxxf x不存在，则()0limxxg x必不存在（C）若()0limxxf x存在，则()0limxxg x必不存在（D）若()0limxxf x存在，则()0limxxg x必存在 2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 14【例 3.22】（2006年，数三，7分）设1sin(,),0,01arctanxyyyf x yxyxyx=+，求：（）()lim(,)yg xf x y+=；（）0lim()xg x+.【例 3.23】()()2013sincoslim1cosln 1xxxxxx+知识点 6 七种未定式专题计算 100型未定式【例 3.24】（2015年，数一/数三，4分）20lncoslimxxx=2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 15【例 3.25】（2008年，数三，9分）求极限201sinlimlnxxxx.【例 3.26】求极限)cos1(limtan0 xxeexxx 【例 3.27】求极限301tan1sinlimxxxx+.2型未定式【例 3.28】求22411limsinxxxxxx+.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 16 3 型未定式【例 3.29】求极限2011lim()tanxxxx 【例 3.30】求极限12lim(1)xxxex 41型未定式【例 3.31】求极限21ln(1)0lim(cos)xxx+【例 3.32】求极限1e10ln(1)limxxxx+.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 17 50型未定式【例 3.33】求极限0limlnxxx+60型未定式 700型未定式【例 3.34】求极限sin0limxxx+知识点 7 左右开弓法求极限（1）()()()000limlimlim.xxxxxxf xaf xf xa+=（2）()()()limlimlimxxxf xaf xf xa+=2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 18【例 3.35】设1arctan,1()1,1xf xxaxx=，如果1lim()xf x存在，则a为何值？【例 3.36】求11011limarctan1xxxexe+.【例 3.37】当1x 时，函数12111xxex的极限 .（A）等于2（B）等于0（C）为（D）不存在但不为 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 19 提前学 4 连续与间断 知识点 1 函数连续的定义 设函数()xfy=在点0 x的某个领域内有定义，若()()00limxfxfxx=则称函数()xfy=在点0 x处连续.【例 4.1】设函数tan21,0arcsin()2,0 xxexxf xaex=在0 x=处连续，则a=.【例 4.2】2(cos)0()0 xxxf xax=，在0 x=处连续，则a=.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 20 知识点 2 函数的间断点及其分类（1）函数的间断点的定义 如果函数()yf x=在点0 x不连续，则称0 x为()f x的间断点.（2）函数的间断点的分类 第一类间断点 设0 x是函数()yf x=的间断点.如果()f x在间断点0 x处的左、右极限都存在，则称0 x是()f x的第一类间断点.第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点.第二类间断点 第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点.常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点.【例 4.3】试问0 x=分别是下何种间断点？（1）()sin xfxx=；（2）()1xfxe=；（3）()111221xxef xe+=+；（4）()1cosf xx=.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 21【例 4.4】设函数32ln(1),0,arcsin()6,0,e1,0.sin4axaxxxxf xxxaxxxx+问a为何值时，()f x在0 x=处连续；a为何值时，0 x=是()f x的可去间断点？微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 22 提前学 5 导数的定义 知识点 1 导数的定义 定义 1 设函数()yf x=在点0 x的某邻域内有定义，自变量x在0 x处有增量x，相应地函数增量()()00 xfxxfy+=.如果极限()()xxfxxfxyxx+=0000limlim存在，则称此极限值为函数()f x在0 x处的导数.记作()0 xf，或0 xxy=，0 xxdxdy=，()0 xxdxxdf=等.并称函数()yf x=在点0 x处可导.如果上面的极限不存在，则称函数()yf x=在点0 x处不可导.定义 2 ()()()0000limxxxfxfxfxx=.【例 5.1】（2012年，数一/数二/数三，4分）设函数2()(e1)(e2)(e)xxnxf xn=，其中n为正整数，则(0)f=（A）1(1)(1)!nn.（B）(1)(1)!nn.（C）1(1)!nn.（D）(1)!nn.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 23【例 5.2】设()()()xgaxxf=，其中()xg在点a处连续，求()af.【例 5.3】（2018年，数一/数二/数三，4分）下列函数中，在0 x=处不可导的是（A）()sinf xxx=.（B）()sinf xxx=.（C）()cosf xx=.（D）()cosf xx=.【例 5.4】设()f x在2x=处连续，且14)(lim22=xxfx，求)2(f.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 24 知识点 2 单侧导数 右导数：()()()()()00000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx+=左导数：()()()()()00000000limlimlimxxxxf xxf xf xf xyfxxxxx +=定理 ()()()000=.fxAfxfxA+=【例 5.5】设()322,13,1xxf xxx=，则()f x在1x=处的 .（A）左、右导数都存在（B）左导数存在、右导数不存在（C）左导数不存在、右导数存在（D）左、右导数都不存在 知识点 3 函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数()yf x p=在点0 x处可导，则()f x在点0 x处一定连续，反之不然，即函数()yf x=在点0 x处连续，却不一定在点0 x处可导.【例 5.6】设(0)0f=，且220()limhf xx存在，能否推出()f x在点0 x=可导？2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 25【例 5.7】设(0)0f=，则()f x在点0 x=可导的充要条件为 （A）201lim(1cosh)hfh存在.（B）h01lim(1e)hfh存在.（C）201lim(sinh)hf hh存在.（D）01lim(2)()hfhf hh存在.【例 5.8】设)(af 存在，则hhafhafh)2()3(lim0+=.微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 26 提前学 6 导数的计算 知识点 1 必备知识 1导数表【必背】()0=c ()1=xx （实常数）()sincosxx=()xxsincos=()xx2sectan=()xx2csccot=()xxxtansecsec=()xxxcotcsccsc=()axxaln1log=()1,0aa()xx1ln=()aaaxxln=()1,0aa()eexx=()211arcsinxx=()211arccosxx=()211arctanxx+=()21arccot1xx=+22221ln()xxaxa+=+22221ln()xxaxa+=2求导法则()()()()f xg xfxgx=()()()()()()f xg xfx g xf x gx=+()()()()()()()2f xfx g xf x gxg xgx=()()0g x 2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 27 知识点 2 复合函数求导 设()yf u=，()ux=，如果()x在x处可导，()f u在对应点u处可导，则复合函数()yfx=在x处可导，且有()()dydy dufxxdxdu dx=.【例 6.1】（1995年，数二，3分）设221cos()sinyxx=，则y=.【例 6.2】已知()ln(1)(2)(3)f xxxx=，求()fx.【例 6.3】设()(ln)f xyfx e=，其中f可微，则y=.【例 6.4】设(1sin)xyx=+，则y=.知识点 3 隐函数求导法则【例 6.5】已知523)tan(2=+xyxyx，求ddyx.设etan()xyxyy+=，求0ddxyx=.2022 考研数学一本通讲义 微博关注 考研一笑而过 及时掌握最新干货资讯 28【例 6.6】（2012年，数二，4分）设()yy x=是由方程21eyxy+=所确定的隐函数,220ddxyx=.知识点 4 参数方程求导（数一、二）【例 6.7】设sinsincosxtyttt=+（t为参数），则224ddtyx=知识点 5 分段函数求导【例 6.8】设()sin,0 ,0 x xf xxx=，求()fx.【例 6.9】设()23max,f xx xx=，求()fx.