1987数学二真题答案解析（试卷三）.pdf

一、填空题（每小题一、填空题（每小题 2 分，满分分，满分 10 分分.把答案填在题中横线上）把答案填在题中横线上）(1)设l 1)n(axy,其中a为非零常数，则22(1),1axayaxay.(2)曲线yarctgx在横坐标为 1 点处的切线方程是4221yx；法线方程是2(8)/4 yx.(3)积分中值定理的条件是(),f xa b在闭区间上连续，结论是,()()()baa bf x dxfba 使得(4)32()1nnnlinen.(5)dxfx()f xc()；badxfx(2)(2)21(2)21fbfa.二、（本题满分二、（本题满分 6 分）分）求极限 011lim()1xxxe解：解：200000111111lim()limlimlimlim1(1)222xxxxxxxxxxexexexxex exxx .三、（本题满分三、（本题满分 7 分）分）设c)5(1os5(sin)tyxtt，求22,.dy d ydx dx 解：解：因5sin,5 5cosdydxttdtdt，5sin)sin5(1 cos1 cosdyttdxtt（0+），故ttdxdyco1ssin，且222sin1()1 cos5(1 cos)d ydtdtdxdttdxt 四、（本题满分四、（本题满分 8 分）分）计算定积分 10arcsinxxdx.解：解：2211121022000111arcsinarcsin224211xxxxdxxxdxdxxx，1987 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学试题参考解答数学试题参考解答数数 学（试卷）学（试卷）关注公众号【考研题库】保存更多高清资料令sinxt，有2212200sincoscos41xtdxtdttx，因此101arcsin42 48xxdx.五、（本题满分五、（本题满分 8 分）分）设D是曲线sin1yx与三条直线0 x,x,0y 围成的曲边梯形.求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积.解：解：2203(sin1)42Vxdx.六、证明题（本题满分六、证明题（本题满分 10 分）分）(1)（5 分）分）若()f x在(,)a b内可导，且导数()fx恒大于零，则()f x在(,)a b内单调增加.证：证：12,(,)x xa b，不妨设12xx，则()f x在12,x x上连续，在12(,)x x内可导，故由拉格朗日中值定理，12(,)(,)x xa b，使得2121()()()()f xf xfxx.由于()fx在(,)a b内恒大于零，所以()0f，又210 xx，因此21()()0f xf x，即21()()f xf x，表明()f x在(,)a b内单调增加.(2)（5 分）分）若()g x在xc处二阶导数存在，且()0g c,()0 gc，则()g c为()g x的一个极大值.证：证：因()()()lim0 xcg xg cg cxc，而()0 gc，故()lim0 xcg xxc.由极限的保号性，0，当(,)xcc时，有()0g xxc，即()0g x，从而()g x在(,)cc单增；当(,)xc c时，有()0g xxc，即()0g x，从而()g x在(,)cc单减.又由()0g c知，xc是()g x的驻点，因此()g c为()g x的一个极大值.七、（本题满分七、（本题满分 10 分）分）计算不定积分 axbxdx2222cossin(其中,a b为不全为零的非负数)解：解：当0a 时，原式=22211sectanxdxxcbb；当0b 时，原式=22211ccotcsxdxxcaa；当0ab 时，原式=22222(tan)sec11arctan(tan)tan(tan)1adxxdxabxcaaxbababbxb.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料八、（本题满分八、（本题满分 15 分）分）(1)（7 分）分）求微分方程xydxdyx，满足条件|02xy的解 解：解：原方程即11dyydxx，故其通解为1121 1()()2dxdxxxyeedxcxcx.因|02xy，所以1c .于是所求初值问题的解为xxy12.(2)（8 分）分）求微分方程 xyyyxe 2 的通解.解：解：由特征方程2210rr，知其特征根根为1,21r.故对应齐次方程的通解为12()xyCC x e，其中12,C C为任意常数.设原方程的特解为*()()xy xe axb，代入原方程可得a 14，b 14.因此，原方程的通解为*212()()xy xyyCC x e14(1)xxe.九、选择题（每小题九、选择题（每小题 4 分，满分分，满分 16 分）分）(1).xf xxx exs,-()incos是 （D）（A）有界函数（B）单调函数（C）周期函数（D）偶函数(2).函数()sinf xxx(D)（A）当x时为无穷大（B）当x时有极限（C）在(,)内有界（D）在(,)内无界(3)设()f x在xa处可导，则xf axf axx()()lim0等于(B)（B）2()fa（C）0（D）(2)fa在第一象限内，求曲线12yx上的一点，使该点处切线与所给曲线及两坐标围成的面积为最小，并求此最小面积.解：解：设切点的横坐标为a，则切线方程为2(1)2()yaa x a，即221yaxa 故所围面积2312201112(1)(1)224243aaasaxdxaa.令0s得驻点a 33.由于3/30as，故所求点的坐标为3 2(,)33，其最小值为3/3as42393.（A）?f(a)十、（本题满分 10 分）(4)设.A 为?n 阶方阵,且Aa 0,而?A*是?A 的伴随矩阵，则*A=(C)(A)a(B)1/a(C)n1a(D)na关注公众号【考研题库】保存更多高清资料