22考研数学强化521（作业19）（答案详解)考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班作业答案高分强化 52119 第 7 章 二重积分 7.1 二重二重积分定义与性质积分定义与性质 【156】求2411limsin22nnnijjinn=.解：2411limsin22nnnijjinn=21111limsin22nnnijijnnnn=112001sin223x dxydy=【157】设()2222112lnxyIxydxdy+=+，()2221cos 2xyIxydxdy+=+，()2231sinxyIxy dxdy+=，则1I，2I，3I的大小关系为（）.（A）123III.（B）231III.（C）321III.（D）213III.解 析：当2212xy+时，()220lnln2xy+，故103 ln2I；()2221,04cos 20 x yx yIxydxdy+=+，其 中()22cos 20 xy+；利 用 奇 偶 性()2231=sin0 xyIxy dxdy+=，故132III，答案选 B.7.2 二重积分二重积分计算计算【158】设 D：221xy+，求()22sincosd dDxyx y+.解析：因为D关于直线yx=对称，所以有()(),d d,d dDDf x yx yfy xx y=.故()()2222sincosd dsincosd dDDxyx yyxx y=+()2222sincossinco1sd2dDxyyxx y+=+2d d2Dx y=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 【159】已知()()2212:194xyD+，求()53DIxy dxdy=+=_ 解析：原式()5353DDDIxy dxdyxSyS=+=+()5163 266=+=.【160】计算()22201limecosd dxyrDxyx yr+，其中 D 为222xyr+.解析：由积分中值定理得()()22222ecosd decosxyDxyx yr+=+，(),D.故()()22222001limecosd dlimecosxyrrDxyx yr+=+()2200limecos1=+=.【161】设0a，()(),01,0,.axf xg x=若其他 D表示全平面，则()()d dDIf x g yxx y=_.解析：()()1120112202001d ddddddDxy xxxaxIf x g yxx yax yyaxa +=.【162】求二重积分max,1 d dDxyx y，其中(),02,02Dx yxy=.解析：如右图所示，将区域D分为 3 个部分：1D：10,202,xy2D：12,210,xyx3D：12,212.xyx 由区域可加性，得 123max,1 d dmax,1 d dmax,1 d dmax,1 d dDDDDxyx yxyx yxyx yxyx y=+123d dd dd dDDDx yx yxy x y=+12221110221ddddxxxyx xy y=+151912ln2ln2ln244=+=+.【163】试计算二重积分2d dDyxx y，其中积分区域 D 为正方形区域1x，02y.解析：如右图所示用2yx=将积分区域分割为1D与2D，则 原式()()1222d dd dDDyxx yxyx y=+()()2212122110ddddxxxyxyxxyy=+一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 ()()22211222211011dd22xxyxxyxx=()11244111144dd22xxxxx=+()12402146222d2 23515xxx=+=+=.【164】求()sind dDxyx y，其 中D：0 x，0y，2xy+.解析：如右图所示，用直线yx=将区域D分割为1D与2D，则在1D上02xy，在2D上02xy，于是 原式()()12sind dsind dDDxyx yxyx y=()()424200dsinddsindyxyxyxyxxxyy=()()224400cosdcosdyxyxxyyxyx=()()44001 sin2d1 sin2dyyxx=+4012cos2122yy=+=.【165】计算二重积分()22d dDxxyx y+，其中 D 为()22,2y xxyx+.解析：由于区域D关于x轴对称，32x y关于y为奇函数，()222xxy+关于y为偶函数，应用奇偶对称性，得 原式()2222d dDxxxyyx y+=()()2022d d2D yxxyx y=+2cos522002dcosdrr=82064cos d3=，64353534 6412=.7.3 二二次积分考题次积分考题 【166】设()2,012,12xxf xxxx=，求二次积分()21110yydyf x dx+=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 分析：被积分函数为x的函数，适合使用X型区域积分，故需变换积分次序.解：积分区域如右图所示.2122200102xx xIdxxdydxxx dy=+12220121x dxxx dx=+=.【167】将二重积分()()ln10 dd,d,dDexf x yx yxf x yy=化为先对 x，后对 y 的二次积分，则(),d dDf x yx y=_.解析：积分区域如右图所示，则()()10ee,ddd,dyDf x yx yyf x yx=.故应填()ee10 d,dyyf x yx.【168】交换积分次序：()()111422104d,dd,dyyyyf x yxyf x yx+=_.解析：积分区域如右图所示，积分区域12DDD=+，其中()11,0,4Dx yyyxy=，()2111,422Dx yyyx=.于是D也可表示为()21,0,2Dx yxxyx=.故()()()2111142221004d,dd,dd,dyxyyxyf x yxyf x yxxf x yy+=.【169】设(),f x y为连续函数，则()1400dcos,sindf rrr r=（）A.()22120d,dxxxf x yy B.()202120d,dxxf x yy C.()22120d,dyyyf x yx D.()202120d,dyyf x yx 解析：积分区域D由221xy+=，yx=，0y=围成，所以()()221142000dcos,sindd,dyyf rrr ryf x yx=.故应选 C.【170】计算二重积分24212dsinddsind22xxxxxxyxyyy+.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 解析：积分区域如右图所示：则 24212dsinddsind22xxxxxxyxyyy+221dsind2yyxyxy=2212cosd2yyyxyy=212coscosd22yyy=212cosd2yy y=()223144dsin22yy=+.【171】已知200elim0txyttdxdyt+=，则（A）11,2=.（B）12,2=.（C）11,2=.（D）12,2=.解析：交换积分次序22000eetxtyyytdxdydydx=，于是220100eelimlimtytttydyttt+=，可知11=，112=，答案选 D.【172】已知0ab，求积分10lnbaxxdxx=.解：由于baybaxxx=，故()11|lnlnbbaybyaaxxxx dyxx=，因此，原式1100bbyyaax dy dxdxx dy=101ln(1)|1bbybaaadyx dxdyyy=+1ln(1)ln(1)ln1bbaa+=+=+.一笑而过 考研数学