361数学分析大纲.pdf

北京化工大学应用数学专业硕士研究生入学考试北京化工大学应用数学专业硕士研究生入学考试 数学分析考试大纲数学分析考试大纲 一、函数、极限、连续一、函数、极限、连续 考试内容考试内容 函数的概念及表示法,函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数；基本初等函数的性质及其图形，初等函数。数列极限与函数极限的严格定义以及它们的性质，函数的左极限与右极限，无穷小和无穷大的概念及其关系，无穷小的性质及无穷小的比较，极限的四则运算。极限存在的判别准则：单调有界准则，Cauchy 收敛准则，夹逼准则。两个重要极限。函数连续的概念。函数间断点的类型。初等函数的连续性。实数的连续性定理。闭区间上连续函数的性质。考试要求考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关 系式 2、理解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4、掌握基本初等函数的性质及其图形 5、掌握极限的概念，函数的左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系及其判别准则 6、掌握极限的性质及四则运算法则 7、掌握极限存在的准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限 9、掌握函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型掌握一致连续的概念和一致连续与连续的关系。10、掌握实数连续性的几个主要定理（确界原理、区间套定理、致密性定理、开覆盖定理）。11、掌握连续函数的性质和初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、一致连续性定理），并会应用这些性质 二、一元函数微分学二、一元函数微分学 考试内容考试内容 导数和微分的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系。平面曲线的切线和法线。基本初等函数的导数。导数和微分的四则运算，复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。高阶导数的概念。某些简单函数的 n 阶导数。一阶微分形式的不变性。罗尔（Roll）定理,拉格朗日（Lagrange）中值定理,柯西（Cauchy）中值定理。泰勒（Taylor）定理。洛必达（LHospital）法则。函数的极值及其求法，函数单调性。函数图形的凹凸性、拐点及渐近线，函数图形的描绘。函数最大值和最小值的求法及简单应用：弧微分、曲率的概念、曲率半径、两曲线的交角。考试要求考试要求 1、理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会 求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系 2、掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分了解高阶导数的概念，会求简单函数的 n 阶导数 会求分段函数的一阶、二阶导数 3、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数 4、掌握并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理，柯西中值定理 5、掌握函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用 6、会用导数判断函数图形的凹凸性和拐点，会来函数图形的水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形 7、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法 8、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径会求两曲线的交角 三、一元函数积分学三、一元函数积分学 考试内容考试内容 原函数和不定积分的概念。不定积分的基本性质，基本积分公式。定积分的概念和基本性质。可积的充要条件。定积分中值定理，变上限定积分定义的函数及其导数 牛顿一莱布尼茨（Newton-Leibniz）公式。不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法，有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分。广义积分的概念和计算，定积分的应用。考试要求考试要求 1、理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念。2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定 理，掌握换元积分法与分部积分法。3、掌握主要的可积充分和必要条件。3、会求有理函数、三角函数有理式及简单无理函数的积分。4、理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿一莱布尼茨公式。5、掌握广义积分的概念并会计算广义积分，会判别广义积分的收敛性。6、掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）。四、多元函数微分学四、多元函数微分学 考试内容考试内容 多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限和连续的概念。有界闭区域上多元连续函数的性质。多元函数偏导数和全微分的概念，全微分存在的必要条件和充分条件。隐函数存在定理及其应用。多元复合函数、隐函数的求导法。二阶偏导数，方向导数和梯度的概念及其计算。空间曲线的切线和法平面，曲面的切平面和法线，二元函数的二阶泰勒公式，多元函数极值和条件极值的概念，多元函数极值的必要条件，二元函数极值的充分条件。极值的求法，拉格朗日乘数法，多元函数的最大值、最小值及其简单应用。考试要求考试要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义 2、掌握二元函数的极限、累次极限与连续性的概念、以及有界闭区域上连续函数的性质 3、掌握多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法 5、掌握多元复合函数偏导数的求法 6、掌握隐函数存在定理及其应用.会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数 7、理解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程 8、理解二元函数的中值定理、泰勒公式理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值并会解决一些简单的应用问题 五、多元函数积分学五、多元函数积分学 考试内容考试内容 二重积分、三重积分的概念及性质。二重积分与三重积分的计算和应用。两类曲线积分的概念、性质及计算，两类曲线积分的关系。格林（Green）公式，平面曲线积分与路径无关的条件。已知全微分求原函数。两类曲面积分的概念、性质及计算 两类曲面积分的关系，高斯（Gauss）公式、斯托克斯（Stokes）公式、散度、旋度的概念及计算曲线积分和曲面积分的应用。含参量非正常积分。考试要求考试要求 1、理解二重积分、三重积分的概念，重积分的性质，重积分的中值定理。了解含参量非正常积分。2、掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标等），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标等）3、掌握两类曲线积分的概念、两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系 4、掌握计算两类曲线积分的方法 5、掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数 6、了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分 7、了解散度与旋度的概念，并会计算 8、会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功及流量等）。六、无穷级数六、无穷级数 考试内容考试内容 常数项级数的收敛与发散的概念。收敛级数的和的概念，级数的基本性质与收敛的必要条件、和充分必要条件。几何级数与 p 级数以及它们的收敛性。正项级数收敛性的判别法，交错级数与莱布尼茨定理。任意项级数的绝对收敛与条件收敛与收敛的判别法。函数项级数的收敛域与和函数的概念，一致收敛的概念及其在其收敛区间内的基本性质。一致收敛的判别法。幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域。幂级数的和函数。幂级数在其收敛区间内的基本性质。简单幂级数的和函数的求法。函数可展开为泰勒级数的充分必要条件。几个常见函数的麦克劳林（Maclaurin）展开式。函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数。狄利克雷（Dirichlet）定理。函数在-L,L上的傅里叶级数 函数在0,L上的正弦级数和余弦级数。考试要求考试要求 1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件、充分必要条件。2、掌握几何级数与 p 级数的收敛与发散的条件。3、掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法、积分判别法，会用根值判别法。4、掌握交错级数的莱布尼茨判别法掌握一般项级数收敛的两个判别法。5、了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系 6、理解函数项级数的收敛、一致收敛及和函数的概念 7、掌握函数项级数一致收敛的判别法和准则，及其在收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分）。8、掌握幂级数的收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法 9、理解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些数项级数的和 10、理解函数展开为泰勒级数的充分必要条件掌握 exp(x)、sinx、cosx、ln(1+x)和(1+x)a 的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数 11掌握傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-L，L上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，L上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。参考书：参考书：1、数学分析（第二版），复旦大学数学系 陈传璋、金福临等编，高教出版社。2、数学分析（第三版），华东师范大学编，高教出版社。注：以第一本书为主