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概率第4讲：数字特征 期望 X Xpi EX=xipi 有限项相加 无限项相加 无穷级数 Xf(x)EX=xf(x)dx 有限区间积分 定积分 无穷区间积分 反常积分 Y=g(X)Xpi EY=g(xi)pi Xf(x)EY=g(x)f(x)dx Z=g(X,Y)(X,Y)pij EZ=g(xi,yj)pij(X,Y)f(x,y)EY=g(x,y)f(x,y)dxdy 最值 Y=minXi FY(y)=1-1-F(y)n fY(y)=n1-F(y)(n-1)f(y)EY=yfY(y)dy Z=maxXi FZ(z)=F(z)n fZ(z)=nF(z)(n-1)f(z)EZ=zfZ(z)dz 分解 X=X1+X2.+Xn 无条件 EX=EX1+EX2.+EXn 性质 E(c)=c E(EX)=EX 无条件 E(aX+bY)=aEX+bEY X与Y相互独立 E(XY)=EXEY 方差38 常用分布的期望和方差24 协方差15 独立性和相关性的判定34 切比雪夫不等式5 相关系数21 概率第4讲：数字特征 期望42 方差 X 定义 DX=E(X-EX)2 DX=0 E(X-c)2=DX 定义法 Xpi DX=(xi-EX)2pi Xf(x)DX=(x-EX)2f(x)dx 公式法 DX=E(X2)-(EX)2 E(X2)=DX+(EX)2=(EX)2 最值 Y=minXi EY=yfY(y)dy E(Y2)=(y2)fY(y)dy DY=E(Y2)-(EY)2 Z=maxXi EZ=zfZ(z)dz E(Z2)=(z2)fZ(z)dz DZ=E(Z2)-(EZ)2 分解 X=X1+X2.+Xn 无条件 DX=DX1+DX2.+DXn+2Cov(Xi,Yj)Xi与Xj相互独立 DX=DX1+DX2.+DXn 性质 D(c)=0 DX=0 X几乎处处为某常数，PX=a=1 D(aX+b)=(a2)DX 无条件 D(XY)=DX+DY2Cov(X,Y)X与Y相互独立 D(aXbY)=DX+DY D(XY)=DXDY+DX(EY)2+DY(EX)2=DXDY 常用分布的期望和方差24 协方差15 独立性和相关性的判定34 切比雪夫不等式5 相关系数21 概率第4讲：数字特征 期望42 方差38 常用分布的期望和方差 0-1分布B(1,p)EX=p DX=p(1-p)二项分布B(n,p)EX=np DX=np(1-p)泊松分布P()EX=DX=几何分布Ge(p)EX=1/p DX=(1-p)/(p2)均匀分布Ua,b EX=(a+b)/2 DX=(b-a)2/12 指数分布E()EX=1/DX=1/(2)正态分布N(,2)EX=DX=2 卡方分布 EX=n DX=2n 协方差15 独立性和相关性的判定34 切比雪夫不等式5 相关系数21 概率第4讲：数字特征 期望42 方差38 常用分布的期望和方差24 协方差 独立性和相关性的判定34 切比雪夫不等式5 相关系数 定义 Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)Cov(X,X)=DX 定义法(X,Y)pij Cov(X,Y)=(xi-EX)(yj-EY)pij(X,Y)f(x,y)EY=(x-EX)(y-EY)f(x,y)dxdy 公式法 Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY 性质 Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)单个可拆 定义 XY=Cov(X,Y)/(DX)(DY)线性相依性 量纲为1，无单位=0 X与Y不相关 0 X与Y相关 性质-1=XY0 XY=-1 PY=aX+b=1,a0 XY=1 Y=aX+b，a0，Y=aX+b几乎处处成立 a=DX/(2)P|X-EX|=1-DX/(2)