专题10 积分不等式的解题方法（紧密）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 10 积分不等式的解题方法（紧密）以下的 7 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的积分不等式中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、构造变限积分函数，证明积分不等式一、构造变限积分函数，证明积分不等式.2 二、利用中值定理，证明积分不等式二、利用中值定理，证明积分不等式.2（一）利用积分中值定理.2（二）利用拉格朗日中值定理.2（三）利用泰勒中值定理.3 情形一 已知.3 情形二 已知恒正或者恒负.3 三、利用分部积分，证明积分不等式三、利用分部积分，证明积分不等式.3 四、利用积分与求和的统一，证明积分不等式四、利用积分与求和的统一，证明积分不等式.4 五、逆用牛顿莱布尼兹公式，并放缩积分区间五、逆用牛顿莱布尼兹公式，并放缩积分区间.4 六、利用柯西不等式，证明积分不等式六、利用柯西不等式，证明积分不等式.4 七、转化为二重积分，并使用轮换对称性（后面再讲）七、转化为二重积分，并使用轮换对称性（后面再讲）.4 配套作业配套作业.4 注：注：考研数学中，积分不等式考得并不难，但如果抛开“考研风格”这个大前提，那么积分不等式就是一个无底洞，其题型和解法浩如烟海，你专门花一个月研究积分不等式都未必能研究得精通.所以，本讲义也不可能一位求全，只选择比较重要的几种考法进行讲解.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、一、构造变限积分函数，证明积分不等式构造变限积分函数，证明积分不等式 最常用、最简单的一个方法，便是将积分上限的 修改为，构造变限积分函数，然后对其求导.注注：要保证变限积分可导，一般需要连续.换言之，如果只告诉可积，则无法求导.例题例题 1(李正元，复习全书)在连续可导，.证明：，并分析当为什么函数时，该不等式恰好变成等式.例题例题 2(汤家凤，辅导讲义)设在连续且递增，证明：.注注：若改为“可积”，则不能求导，此时需要利用单调性构造现成的不等式，然后两边积分.例题例题 3(2014 年)，递增，证.例题例题 4(阿达玛不等式)在上满足，证明：.二、利用中值定理，证明积分不等式二、利用中值定理，证明积分不等式（一）利用积分中值定理（一）利用积分中值定理 若单调，则可用积分中值定理脱去积分符号，这样就将比较积分的大小变成比较函数值大小.例题例题 5(武忠祥，辅导讲义)设在连续，单调递减，证明：.注注：拆区间，使得积分区间不重叠，是常见操作.类题(张宇，1000 题)设在连续可导，.证明：对于，均满足.（二）利用（二）利用拉格朗日拉格朗日中值定理中值定理 例题例题 6(姜晓千，压轴 150)设在连续可导，且.证明：(1)若，则.(2)若，则.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（三）（三）利用利用泰勒中值定理泰勒中值定理 情形一情形一 已知已知 泰勒展开，两边积分，加绝对值以后放缩即可.例题例题 7 设在二阶连续可导，证：.情形二情形二 已知已知恒正或者恒负恒正或者恒负 将泰勒展开，然后扔掉拉格朗日余项，得到不等式，然后两边同时积分.例题例题 8(2018 年)设在二阶可导，证明：当时，.类题 1 设在二阶可导，证明：.类题 2(汤家凤，辅导讲义)设，证明：例题例题 9(阿达玛不等式)在上满足，证明：.例题例题 10(竞赛)设在连续，且，证明：.三、利用分部积分，证明积分不等式三、利用分部积分，证明积分不等式 例题例题 11 设在连续可导，证明：.例题例题 12 设在二阶连续可导，证：.注注：为什么会想到在第一次分部积分的时候，把改成，第二次把改成呢？因为，分部积分后的表达式，必然会出现两项，也就是，等号右边是两项.我们当然希望等号右边越简单越好，所以若能在 后面加减恰当的常数，使恰好为零就好了.所以，唯有把先后改成和，才能使得两次分部积分以后的中，同时含有和，代入上下限和后，就可以得到，也就是把“”彻底干掉.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 四、利用积分与求和的统一，证明积分不等式四、利用积分与求和的统一，证明积分不等式 例题例题 13(汤家凤，1800 题)设在连续，证：.五、逆用牛顿莱布尼兹公式，并放缩积分区间五、逆用牛顿莱布尼兹公式，并放缩积分区间 例题例题 14(汤家凤，1800 题)设在连续，证明：.类题(凯哥，每日一题)设在连续，证明：.六六、利用柯西不等式，证明积分不等式、利用柯西不等式，证明积分不等式 例题例题 15(柯西不等式)证明：若在连续，则.例题例题 16 设在连续且，请利用柯西不等式证明：七、转化为二重积分，并使用轮换对称性七、转化为二重积分，并使用轮换对称性（后面再讲后面再讲）配套作业配套作业 作业作业 1 设在连续，且，证明：，并给出取等条件.作业作业 2(李林，880 题)设在连续，且单调递增，当时，证明：.作业作业 3(李正元，复习全书)设，证明：.作业作业 4(张宇，1000 题)设在上二阶可导，且，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 5 设在连续可导，且，证明：.注注：例题 6 采用拉格朗日中值定理解决过此题，请你换一个方法，比如分部积分？作业作业 6(2022 年)设在有二阶连续的导数，证明：的充充分必分必要条件要条件是对不同 的实数，均满足.作业作业 7(凯哥，每日一题)证明：.