专题4 高阶导数中的解题方法（紧密）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 4 高阶导数中的解题方法（紧密）以下的 5 个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的高阶导数中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、找规律法一、找规律法.2（一）直接求导，找规律.2（二）求导之前，先恒等变形，简化表达式.2 二、莱布尼兹求导公式二、莱布尼兹求导公式.2 三、泰勒展开法三、泰勒展开法.3 四、数学归纳法四、数学归纳法.3 五、最难的考法：利用莱布尼兹求导公式，构造线性递推五、最难的考法：利用莱布尼兹求导公式，构造线性递推.4 配套作业配套作业.4 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、一、找规律法找规律法（一）直接求导，找规律（一）直接求导，找规律 以下公式不需要记忆，它们都可以用找规律法轻松推出（其中为常数，且），特别地，；，特别地，；，特别地，；，特别地，；，特别地，.例题例题 1 利用找规律的方法，求出下列简单函数的高阶导数.(1)(余丙森，1000 题)已知，求.(2)(2007 年)设函数，则 .例题例题 2(李林，880 题)设一阶可导，且，求.（二）求导之前，先恒等变形，简化表达式（二）求导之前，先恒等变形，简化表达式 例题例题 3(李正元，复习全书)已知，求.例题例题 4(李林，880 题)已知，求.二二、莱布尼兹求导公式莱布尼兹求导公式，该公式特别适用于 和 中至少有一个为多项式函数时.（提醒：以下 4 道题都有更好的方法，此处只是刻意展示莱布尼兹求导公式这个方法而已）例题例题 5(2000 年)设，求.（其中）例题例题 6(张宇，1000 题)设，求.类题(李艳芳，900 题)设，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 8 设，其中在的某邻域内有阶连续导数，求.三三、泰勒展开法泰勒展开法 利用泰勒展开的唯一性(1)先将题目给出的函数展开成的样子；(2)又因为的麦克劳林展开式为.对比系数可知，必有，.总之，可以解出，这样就求出了在 处的高阶导数.（一句话总结：具体展开、抽象展开、对比系数、得出答案！具体展开、抽象展开、对比系数、得出答案！）例题例题 9(余丙森，1000 题)设，求和.例题例题 10(2007 年)设函数，则 .例题例题 11(2016 年)设函数，且，则 .注注：(张宇，1000 题)其实，不仅要知道的展开式，还要记住如何展开.例题例题 12(2015 年)函数在处的 阶导数 .例题例题 13(李艳芳，900 题)设，求和.例题例题 14(张宇，1000 题)设，求.类题(李艳芳，900 题)设，求.四四、数学归纳法数学归纳法 本方法主要适用于高阶导数的证明题证明题，下面是一道最为典型的例题 例题例题 15(张宇，1000 题，改编)证明：注注：张宇 1000 题里的原题，是将取定为了，并且是个选择题，难度变小了.毕竟，选择题可以用排除法，先求 1 阶导和 2 阶导，然后在 4 个选项里代入，排除错误项.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 五五、最难的考法最难的考法：利用莱布尼兹求导公式，构造线性递推利用莱布尼兹求导公式，构造线性递推 这种方法在真题里从来没考过真题里从来没考过，但是 660 题里有一道天花板难度的高阶导数题，用的就是这个方法.例题例题 16(杨超，139 分)已知，求.例题例题 17(凯哥，每日一题)已知，求.类题(李永乐，660 题)已知，求.以上 3 个题的具体解法，我在 B 站系统介绍过，时间是 2022 年 3 月 30 日，大家可以前去观看，我们在正课上就不再花时间讲解了，毕竟从来没有考过这么难的.当然，我后面也会把这部分视频单独上传到课程群.配套作业配套作业 无，例题已经足够了.