1993年数学三真题答案解析.pdf

11993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析1993 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】65【解析】2222sin35235limsin2limlim25353xxxxxxxxxxx,极限02sinsinlimlim12xttxtx,而223563limlim53105xxxxxxx洛,所以235236limsin215355xxxx.(2)【答案】34【解析】令 3232xg x,x则有 01g,21232gxx,则 03g,由复合函数求导法则知 0300313arctan1.4xdyfggfdx(3)【答案】22ln3【解析】利用几何级数求和公式01(1),1nnxxx令ln32x,即得0(ln3)12.ln322ln312nnn(4)【答案】0【解析】本题考查伴随矩阵的定义及矩阵的秩的定义.由于 2r A,说明A中 3 阶子式全为 0,于是A的代数余子式0ijA,故0*A.所以秩0*r A.若熟悉伴随矩阵*A秩的关系式关注公众号【考研题库】保存更多高清资料2 1101*n,r An,r A,r An,r An,易知0*r A.注注：按定义112111222212nn*nnnnAAAAAAA,AAA伴随矩阵是n阶矩阵,它的元素是行列式A的代数余子式,是1n阶子式.(5)【答案】(4.804,5.196)【解析】此题是求一个一般总体、大样本、方差已知的关于期望值的置信区间,可以用正态总体的区间估计公式近似求其置信区间.因X的方差为1,设X的期望为,则(0,1)/XUNn.当置信度为10.95,时0.05,有正态分布表知0.02521.96uu.因此用公式：22(,)Ixuxunn.将25,1,100,1.96xnu代入上式,得到所求的置信区间为(4.804,5.196)I.二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.)(1)【答案】(C)【解析】利用函数连续定义判定.由于当0 x 时,21sinx为有界变量,x为无穷小量,则 2001limlimsin0 xxf xxx,且 00f.于是 f x在0 x 处连续.故(A)(B)不正确.又因为 22200011sin0sin11limlimlimsin0 xxxxfxxxxxxx不存在,所以 f x在0 x 处不可导,所以选(C).【相关知识点】函数连续定义：如果函数在0 x处连续,则有000lim()lim()()xxxxf xf xf x.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料3(2)【答案】(A)【解析】22ln11111ln.fxFxfxffxxxxxx【相关知识点】积分上限函数的求导公式：xxdf t dtfxxfxxdx.(3)【答案】(B)【解析】AA 有n个线性无关的特征向量.由于当特征值12时,特征向量12,线性无关.从而知,当A有n个不同特征值时,矩阵A有n个线性无关的特征向量,那么矩阵A可以相似对角化.因为当A的特征值有重根时,矩阵A仍有可能相似对角化(当特征根的代数重数等于其几何重数的时候),所以特征值不同仅是能相似对角化的充分条件,故应选(B).(4)【答案】(D)【解析】()1P B A 的充分必要条件是()1()P ABP A,即()()P ABP A.显然四个选项中,当AB时,ABA,可得()()P ABP A.因此AB是()1P B A 的充分条件.因此选(D).(5)【答案】(B)【解析】题目即考查概率论方面的知识,在计算过程中又用到定积分的一些知识.由积分的性质,换元积分,并改变积分上下限有()()()(),xtaaaFax dxt dtx dx 随机变量X的密度函数为()x,则()1x dx,又由于()()xx,所以001()()2x dxx dx,(偶函数积分的性质)即001()()()()2aaaax dxx dxx dxx dx.于是0001()()()()()()2aaaaFax dxx dxx dxx dxx dx.故应选(B).三、(本题满分 5 分)三、(本题满分 5 分)【解析】方法一：方法一：利用一阶微分形式的不变性,将方程两端微分,得0z y xz y xdzdydxedxxedzdydx.整理后得111z y xz y xz y xz y xxedzxeedxxedy.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料4由此,得11z y xz y xz y xxeedzdxdyxe .方法二方法二：应先求出函数对,x y的偏导数,将0z y xzyxxe 两边分别对,x y求偏导,110110z y xz y xxxz y xyyzexez,zxez,解之得111z y xxz y xxezxe ,1yz.故111z y xxyz y xxedzz dxz dydxdyxe .四、(本题满分 7 分)四、(本题满分 7 分)【解析】2222limlim 1lim 1x aaxxxax axxxxaaaxaxaxa ,令2atxa,则当x 时,0t,1202lim 1lim 1x aatxtatexa,所以22lim222lim 1xx aaxaxax aax axaeexa .而22222224224xxxxaaaax edxx dex exedx 22222lim222baxabb ea exde2222222axxaaa exeedx 2222222lim22limabababba ebeaeee222222aaaa eaee,由2222222aaaaea eaee,得20aa,所以0a 或1a.五、(本题满分 9 分)五、(本题满分 9 分)【解析】(1)利润函数为关注公众号【考研题库】保存更多高清资料522()()()()LpqCdeq qaqbqcdb qea qc,对q求导,并令0dLdq,得()2()0dLdbea qdq,得2()dbqea.因为222()0,d Leadq 所以,当2()dbqea时为利润函数的极大值点,根据题意也是利润的最大值点,所以2max()4()dbLcea.(2)因为1()()q pdpe,所以1()q pe,故需求对价格的弹性为peqdqqeq.(3)由1,得2dqe.六、(本题满分 8 分)六、(本题满分 8 分)【解析】由题设可得示意图如右.设12(,(),(,1)xP x f xP x e,则12SPP,即0()1()xxf t dtef x.两端求导,得()()xf xefx,即()()xf xfxe.由一阶线性非齐次微分方程求解公式,得()()()()p x dxp x dxf xeq x edxC()dxdxxee edxC1().2xxxxxe e dxC eCee由初始条件(0)0f,得12C .因此,所求函数为1()()2xxf xee.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程()()yp x yq x的通解公式为:()()()p x dxp x dxyeq x edxC,其中C为常数.七、(本题满分 6 分)七、(本题满分 6 分)【解析】因为()f x分别在0,c和,1c上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在12(0,),(,1)cc,使得12()(0)(1)()(),(),01f cfff cffcc关注公众号【考研题库】保存更多高清资料6由于点C在弦AB上,故有()(0)(1)()(1)(0)(1)(0),011 0f cfff cffffcc从而12()()(1)(0).ffff这表明()fx在区间12,上满足罗尔定理的条件,于是存在12(,)(0,1),使得()0f.八、(本题满分 10 分)八、(本题满分 10 分)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换,第一行和第三行互换,再第一行分别乘以 1、1加到第二行和第三行上,再第二行和第三行互换,再第二行乘以12k加到第三行上,有22114112411111124114kAkkkkk 22112411240134022802280134kkkkkk11240228(1)(4)00(4)2kkkk k.(1)当1k 且4k 时,()()3r Ar A,方程组有唯一解,即221232242,.111kkkkkxxxkkk(2)当1k 时,()3,()2r Ar A方程组无解.(3)当4k 时,有112410300228011400000000A.因为()()23r Ar A,方程组有无穷多解.取3x为自由变量,得方程组的特解为(0,4,0)T.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料7又导出组的基础解系为(3,1,1)T,所以方程组的通解为k,其中k为任意常数.【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A是m n矩阵,线性方程组Axb有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵AA b的秩,即()()r Ar A.(或者说,b可由A的列向量12,n 线表出,亦等同于12,n 与12,nb 是等价向量组)设A是m n矩阵,线性方程组Axb,则（1）有唯一解()().r Ar An（2）有无穷多解()().r Ar An（3）无解()1().r Ar A b不能由A的列向量12,n 线表出.九、(本题满分 9 分)九、(本题满分 9 分)【解析】经正交变换二次型f的矩阵分别为1101,1112AB.由于P是正交矩阵,有1P APB,即知矩阵A的特征值是 0,1,2.那么有2220,0.20.AEA【相关知识点】二次型的定义：含有n个变量12,nx xx的二次齐次多项式(即每项都是二次的多项式)1211,nnnijijijf x xxa x x其中ijjiaa,称为n元二次型,令12,Tnxx xx,ijAa,则二次型可用矩阵乘法表示为12,Tnf x xxx Ax其中A是对称矩阵TAA,称A为二次型12,nf x xx的矩阵.十、(本题满分 8 分)十、(本题满分 8 分)【解析】(1)依题意,因为随机变量X和Y同分布,则关注公众号【考研题库】保存更多高清资料8 P AP XaP YaP B,又事件AXaBYa和独立,故 P ABP A P B.估计广义加法公式：2324P ABP AP BP A P BP AP A.解以()P A为未知量的方程 23204P AP A.得1()2P A,(因3()2P A 不合题意).再依题设条件可知223131()()(8)288aaP AP Xaf x dxx dxa.再解以a为未知量的方程:384a,得34a.(2)直接根据公式可求得随机变量函数的数学期望:222202220011133338884Ef x dxx dxdxx.Xxx十一、(本题满分 8 分)十一、(本题满分 8 分)【解析】本题的关键在于理解随机变量 N t的意义,事件 N tk表示设备在任何长为t的时间内发生k次故障,其概率为()(0,1,2)!kttP N tkekk.由于T表示相继两次故障之间时间间隔,故当0t 时,0;F tP Tt当0t 时,事件Tt与Tt是互逆事件,并且Tt表示在长为t的时间内没有发生故障,它等价于事件 0N t.(1)易见T是只取非负值的连续型随机变量.当0t 时,0;F tP Tt当0t 时,事件Tt与 0N t 等价.于是有 1101tF tP TtP TtP N te.因此 1,00,tetF tt .计算得知T服从参数为的指数分布.(2)由于指数分布具有“无记忆性”,因此8816|88181(8)1(1)QP TTP TP TFee .关注公众号【考研题库】保存更多高清资料