02.V研客2022考研数学-基础班-高数第二章-姜晓千考研资料.pdf

V研客众志成城，抗疫必胜V高等数学 电子讲义2022考研 数学 基础阶段主讲：姜晓千考研数学主讲：晓千老师1第二章 一元函数微分学第第一一节节 导导数数与与微微分分一、导数1.导数的定义(1)导数值：0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfxxfxxfxyxfxxxx。(2)左导数：000000-)()(lim)()(lim)(-0-xxxfxfxxfxxfxfxxx。(3)右导数：000000)()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfxxx。(4)导函数：xxfxxfxfx)()(lim)(0。(5)高阶导数：00)1()1(0)1(0)1(00)()()(lim)()(lim)(0 xxxfxfxxfxxfxfnnxxnnxn。2.可导的充要条件：)(0 xf 存在的充分必要条件为)()(00 xfxf。3.可导的必要条件：可导必连续。证明：设)(xf在0 x处可导，由导数的定义知，0)()(lim00 xfxfxx，从而)()(lim00 xfxfxx，故)(xf在0 x处连续。4.导数的几何意义：由tanlim)(00 xyxfx知，函数在0 x这一点的导数值等于函数在这一点的斜率（xy表示端点连线的斜率，画个图就明白了）。切线方程：)(000 xxxfyy法线方程：)()(1000 xxxfyy二、微分1.微分的定义：若函数)(xfy 在0 x处满足)()()(00 xoxAxfxxfy，V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师2则称)(xfy 在0 xx 处可微，记xAxAydd。注：xxyy d,d。进一步分析：AxxoxAxxfxxfxfxx)(lim)()(lim)(00000，从而xxfyd)(d0，由此可以看出此结果与)(dd0 xfxy也是统一的。三、微分的几何意义xfxytan)(dd0例 1：0)0(f，1)0(f，求。3320)(2)(limxxfxfxx注：利用导数定义求极限0 x可以推广为任何式子，只要这个式子是趋于零的。例如（1）：)0()0()(lim220fxfxfx（因为当0 x时，02x，所以得出来的结果是右极限）。例如（2）：)0(211cos1cos)0()1(coslim)0()1(coslim2020fxxxfxfxfxfxx（因为当0 x时，1cos x，所以01cosx，从而01cos x，故最后得出来的是左极限）例 2：)(xf在0 x处连续，下列错误的是（）A.若xxfx)(lim0存在，则0)0(f。B.若xxfxfx)()(lim0存在，则0)0(f。C.若xxfx)(lim0存在，则)0(f 存在。D.若xxfxfx)()(lim0存在，则)0(f 存在。注：关于极限、连续、导数的三个重要结论（1）()lim,()0()xf xg xg x，则()0f x(分母推分子)V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师3（2）()lim0,()0,()xf xAf xg x则()0g x。(分子推分母)（3）()f x在0 x 处连续,且0()limxf xAx，则(0)0,(0).ffA（已知极限推函数值与导数值）例 3：xxxxf233)(，)0()(nf存在，则n最大为（）例 4：xxxxxf32)2()(，不可导点的个数（）第第二二节节 导导数数计计算算一、基本初等函数（1）幂函数1)(xx证明：1000lim1)1(lim)(limxxxxxxxxxxxxxxxxx）（特别地，令21，xxx21)()(21，进一步，cxxdx2。令2，32212)()1(xxx。（2）指数函数aaaxxln)(证 明：aaxaxaxaaxaaaxxxxxxxxxxxlnlnlim1limlim)(000。特 别 地，令ea，xxe)e(。（3）对数函数axxaln1)(log证明：axxxxaaxxxxxxxxxxxxxaxaaxaln1limln1ln)1ln(lim)1(loglimlog)(loglim)(log0000特别地，令ea，xx1)(ln证明：当0 x时，xx1)(ln；当0 x时，xxx1)1(1)ln(。（4）三角函数xxcos)(sin；xxsin)(cos；xx2sec)(tan；xx2csc)(cot；V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师4xxxtansec)(sec；xxxcotcsc)(csc。证明：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcoscos2limsinsincoslim)1(cossinlimsinsincoscossinlimsin)sin(lim)(sin200000 xxxxxxxx22222seccos1cossincos)cossin()(tan注：两角和公式sincoscossin)sin(sinsincoscos)cos(tantan1tantan)tan(（5）反三角函数；211)(arcsinxx；211)(arccosxx；211)(arctanxx。211)cotarc(xx证明：令xyarctan，则有yxtan，由反函数的求导法则可得2211sec1dd1ddxyyxxy注：由xy tan可得211cosxy，画图并利用勾股定理就可以得出。二、四则运算大前提：)(xu，)(xv均可导。（1）vuvu)(证明：V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师5()uv0()()()()limxu xxv xxu xv xx 00()()()()=limlimxxu xxu xv xxv xuvxx （2）vuvuuv)(证明：)()()()()()(lim)(lim)()()(lim)()()()(lim)()()()(lim)()()()(lim)(000000 xvxuxvxuxxvxxvxxuxvxxuxxuxxvxuxvxxuxxvxxuxxvxxuxxvxuxxvxxuuvxxxxxx（3）2)(vvuvuvu证明：xxxvxuxvxxuxvxvxxvxxxvxuxvxxuxxvxuxxvxxuvuxxx )()()()(lim)(1)()()()()()(lim)()()()(lim)(0200)()()()()()()()(lim)()()(lim)(1)()()()(lim)()()()(lim)(12002002xvxvxuxvxuxuxxvxxvxvxxuxxuxvxxxvxuxvxuxxvxuxvxxuxvxxxx特别地，令1)(xu，则2)1(vvv。三、复合函数对于函数)(ufy，)(xuu 且)(uf，)(xu均可导，则)()()(xuufxy。例 5：xy2sin2e，求y。例 6：xxxxxxf5sin4sin3sin2sinsin)(，求)0()2020(f。注：导函数的奇偶性与周期性（1）可导的奇函数的导函数为偶函数V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师6（2）可导的偶函数的导函数为奇函数（3）可导的周期函数的导数为周期函数四、隐函数（1）隐函数的定义：)(xyy 由方程0),(yxF确定。（2）解法：方法一、代入求导，解得；y方法二、公式法，yxFFxy)(例 7：)(xyy 由)tan(yxy确定，)(xy，)(xy。五、反函数1()xfy由()yf x确定，()f x可导且()0fx，则)(1dd1ddxfxyyx，32221ddfffffdxdydxdydxdyx 例 8：)(1yfx由xxye2确定，求yxdd，22ddyx。六、参数方程)(xfy 由参数方程)()(tyytxx确定，)(),(tytx可导且0)(tx,则)()(ddddddtxtytxtyxy，32221ddxxyxyxxxyxydtdxdtdxdyddxdxdydxy 例 9：)(xfy 由tytxtcose确定，求)(xf，)(xf 。七对数求导法（1）幂指函数例：xxy，求y若得解，1)(xxxxxy这种解法是错误的。法一：对数求导法V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师7将原始转化为xxylnln，则1lnxyy，进而)1(lnxxyx。法二：幂指转化)1(lne)1(ln)e()(lnlnxxxxyxxxxxx*推广：)ln()e()(lnuvuuvuvv例 10：xxysin2)1(，求y。（2）多个因式积、商、开方，遇到这种形式的式子求导数，用幂指转化法最好使。例 11：32)1()2)(1(xxxxy，求y。八高阶导数（1）法一：递推法mnmnmnxnmmmxnmnm,0,!3,)1()1()()(推广：23211)()(2)(1()()()(!)1()1(abaxabaxbaxbaxanbaxnnnn（2）()()lnxnxnaaa，()(e)eax bnax bna（3），nnnnbaxanbax)()!1()1()ln(1)(baxabax)ln(（4），nnanbaxbax)2sin()sin()(nnanbaxbax)2cos()cos()(法二：Leibniz 公式)()1(1)(0)(CCC)(nnnnnnnnuvvuvuuv备注：Leibniz 公式对照二项式公式nnnnnnnnbabababa011100CCC)(去记。法三：Taylor 公式（00 x）（1）利用八个常见函数的 Taylor 公式得到)(xf具体的 Taylor 公式nnxaxaaxf10)(V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师8（2）由 Taylor 公式系数的唯一性，知!)0()(nfann,从而得!)0()(nafnn。例 12：)1ln()(2xxxf，求)0()4(f，)0()6(f。推广：)31(ln)(22xxxf，求).0(),0()6()5(ff第第三三节节 导导数数的的应应用用一、单调性与极值（一）单调性第一章已经详细讲过，这里不再重复（二）极值1、极 值 的 定 义：)(xf在)(0 xU内 有 定 义，若0，当00 xx时，有)()()()(00 xfxfxfxf，则称)(0 xf为极大（小）值，0 xx 为极大（小）值点。例如：2)(xxf，1,0 x，0)0(f为极小值，1)1(f为极大值。这种说法是错误的，因为 0,1这两个点不存在去心领域。注：（1）极值点只能在区间内部取得，端点一定不是极值点。从而极值不一定是最值，最值不一定是极值。（2）区间内部的最值点一定是极值点。2、极值的必要条件（费马引理）：可导的极值点，导数为 0。证 明：设)(xf在0 x处 可 导 并 且 取 得 极 小 值，0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx，0)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx，由可导的充要条件知0)()(00 xfxf，故0)(0 xf。3、极值的充分条件充分条件一：)(xf在0 xx 处连续，)(xf 在0 xx 的左右去心领域内异号（)(0 xf 存在与否不要求）。例如：xxf)(，)0(f为极小值，但)0(f 不存在。例 1：)(xf连续，导数图像如图，则)(xf有（）V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师9A.一个极小值，两个极大值B.两个极小值，一个极大值C.两个极小值，两个极大值D.三个极小值，一个极大值充分条件二：)(xf在0 x处连续，0)(0 xf，0)(0 xf，则当0)(0 xf时，)(0 xf为极小值，当0)(0 xf时，)(0 xf为极大值。证明：不妨设0)(0 xf，0)(0 xf。0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx，由极限的保号性知，0，当00 xxx时，0)(xf，)(xf单调递减；当00 xxx时，0)(xf，)(xf单调递增，故)(0 xf为极小值。例 2：)(xf 在ax 处连续，1)(limaxxfax，则（）A.)(af为极大值B.)(af为极小值C.)(,(afa为拐点D.既不是极值点也不是拐点二、凹凸性与拐点（一）凹凸性1、凹凸的定义：Ixx21,，若有V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师102)()()2(2121xfxfxxf（2)()()2(2121xfxfxxf），则称)(xf为I上的凹（凸）函数。2、凹凸函数的判定：Ix，若有0)(xf（0)(xf），则)(xf为I上的凹（凸）函数。证明：Ixx21，由拉氏定理知，)2,(2111xxx，使得2)()()2(121121xxfxfxxf，（1）),2(2212xxx，使得2)()2()(122212xxfxxfxf。（2）由（1）（2）可得2)()()()()2(212212121xxffxfxfxxf，由0)(xf知，)(xf 单调递增，从而)()(21ff，于是2)()()2(2121xfxfxxf，故)(xf为I上的凹函数。同样的方法可证明)(xf为I上的凸函数的情况。（二）拐点1、定义：凹凸函数的转折点。例如：3)(xxf的拐点为)0,0(注：拐点是一个坐标。2、拐点的必要条件：二阶可导的拐点，二阶导数为 0.3、拐点的充分条件充分条件一：)(xf在0 x处连续，)(xf 在0 x的左右去心领域内异号（)(0 xf 存在与否不要求）。例 3：（2015）)(xf在0 x处连续，)(xf 的图像如图所示，则)(xf拐点的个数为（）。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师11充分条件二：若)(xf在0 x处连续，0)(0 xf，0)(0 xf，则)(,(00 xfx为)(xf的一个拐点。证明：不妨设0)(0 xf，0)(0 xf。0)(lim)()(lim)(000000 xxxfxxxfxfxfxxxx，由极限的保号性知，0，当00 xxx时，0)(xf，)(xf为凸函数；当00 xxx时，0)(xf，)(xf为凹函数，故)(,(00 xfx为函数)(xf的拐点。例 4：求曲线23595)2()(xxxf的凹凸区间与拐点。三、渐近线1、水平渐近线：若cxfx)(lim，则称cy 为水平渐近线（或x，或x都可以）例如：xxfarctan)(，2x为两条水平渐近线。2、垂直渐近线：若)(lim0 xfxx（或0 xx或0 xx）则称0 xx 为垂直渐近线。例如：xxf1)(和xxfln)(的垂直渐近线都为0 x。注：求垂直渐近线只需要讨论如下的点（1）分母为零的点，例如)1(sin)(xxxxf在1,0 xx时。（2）无定义的端点，例如xxfln)(在0 x时。3、斜渐近线：若axyxlim且baxyxlim（或x或x），则称baxy为斜渐近V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师12线。注：在同一侧有水平渐近线就无斜渐近线，有斜渐近线就无水平渐近线（因为极限的唯一性）。例 5：求xxxfarctan)(的渐近线。四、证明不等式证明不等式的步骤（1）化简构造辅助函数（2）求导得到单调区间（3）代入端点证明不等式例 6：证明)0()(2lnbaababab五、方程根的个数求方程根的个数的步骤（1）化简构造辅助函数（2）求导得到单调区间（3）代入端点利用零点定理例 7：求方程01elnxx的根的个数。例 8：当0 x时，方程112xkx只有一个根，求k的取值范围。第第四四节节 微微分分中中值值定定理理*这一节要解决四个定理的证明及应用，分别为 Rolle 中值定理、Lagrange 中值定理、Cauchy 中值定理、Taylor 公式。一、Rolle 中值定理若)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，)()(bfaf，则),(ba，使得0)(f。证明：由最值定理，)(xf存在最大值M，最小值m。当mM 时，Cxf)(，对),(ba，都有0)(f。当mM 时，由)()(bfaf，知至少有一个最值在区间内部取得，必为极值。不防设),(ba，使得Mf)(,由 Fermat 定理，知有0)(f。几何意义：V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师13*备注：Rolle 中值定理适合应用在证明含有一个点的等式，（1）化简构造辅助函数；（2）代入端点利用 Rolle 定理。例 1：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0,)(,)(ababfbaf，证明：),(ba，使得)()(ff。推广：证明0)()(nff。方法：令)()(xfxxFn，则)()()(1xfnxxfxxFnn，0)()()(1fnfFnn，故0)()(nff。例 2：)(xf在2,1 上连续，)2,1(内可导，2)2(,21)1(ff，证明)2,1(，使)(2)(ff。推广：证明0)()(nff。方法：令nxxfxF)()(。例 3：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0)()(bfaf，证明对),(,ba，使得0)()(ff。推广：证明0)()()(fgf。方法：令)(e)()(xfxFxg，则)()(e)(e)()()(xfxgxfxFxgxg，V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师14由 Rolle 中值定理，知),(ba，使得0)()(e)(e)()()(fgfFgg，故结论得证。特别地：（1）0)()(ff，令)(e)(xfxFx。（2）0)(2)(ff，令)(e)(2xfxFx。（3）0)()(ff，令)(e)(22xfxFx。二、Lagrange 中值定理若)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，则),(ba，使得abafbff)()()(。证明：即证0)()()(abafbff，即可看出原函数求导后得abafbfxf)()()(。方法一：令xabafbfxfxF)()()()(，则)()(bFaF，从而由 Rolle 定理可得),(ba，使得abafbff)()()(。方法二：令)()()()()()(axabafbfafxfxF，则)(0)(bFaF，由 Rolle 定理可得),(ba，使得0)(F，即0)()()(abafbff，故abafbff)()()(。几何意义：abafbff)()()(切线斜率端点连线斜率附：Lagrange 中值定理的变形)()()(abfafbf，ba。例 4：)(xf在 1,0上连续，)1,0(内可导，)1()0(ff，证明10，使0)()(ff。三、Cauchy 中值定理V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师15若)(xf，)(xg在,ba上连续，),(ba内可导，则),(ba，使得)()()()()()(agbgafbfgf。证明：即证0)()()()()()(gagbgafbff，即可看出原函数求导后得)()()()()()(xgagbgafbfxf。令)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF，则)(0)(bFaF，由 Rolle 定理，知),(ba，使得0)(F，即0)()()()()()(gagbgafbff，故)()()()()()(agbgafbfgf。*备注：Cauchy 中值定理适合应用在证明含有，两个点的等式。（1）对)(xf利用 Lagrange 中值定理；（2）对)(xf，)(xg利用 Cauchy 中值定理。例 5：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0)(xf，证明),(,ba，使得ababffeee)()(。四、Taylor 公式这一部分在第一章有详细的讲解。例 6.()f x在0,1上三阶可导,(0)0f,(1)1f,1()02f,证明(0,1),使()24f。第二章 例题答案第一节 导数与微分例 1：0)0(f，1)0(f，求3320)(2)(limxxfxfxx解：原式=1)0()0(2)0()0()(lim2)0()(lim3300fffxfxfxfxfxx注：利用导数定义求极限0 x可以推广为任何式子，只要这个式子是趋于零的。例如（1）：)0()0()(lim220fxfxfx（因为当0 x时，02x，所以的出来的结果是右极限）。例如（2）：)0(211cos1cos)0()1(coslim)0()1(coslim2020fxxxfxfxfxfxx（因为当0 x时，V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师161cos x，所以01cosx，从而01cos x，故最后得出来的是左极限）例 2：)(xf在0 x处连续，下列错误的是（）A.若xxfx)(lim0存在，则0)0(fB.若xxfxfx)()(lim0存在，则0)0(fC.若xxfx)(lim0存在，则)0(f 存在。D.若xxfxfx)()(lim0存在，则)0(f 存在。注：)(xf在0 x处连续，Axxfx)(lim0，则0)0(f，Af)0(。解：由注释知选项 A、B、C 是正确的的，选项 D 举返例xxf)(，由于0)0()0(ff，故xxfxfx)(-)(lim0存在，但)0(f 不存在。例 3：xxxxf233)(，)0()(nf存在，则n最大为（2）例 4：xxxxxf32)2()(，不可导点的个数（2）解：在看例 3 和例 4 之前，先看这样的一个结论：00)()(xxxxxfn在0 x处n阶可导，1n阶不可导。特别地，当0n时，0)(xxxf在0 x处不可导；当1n时，00)()(xxxxxf在0 x处可导，因为0)(lim)()(lim)(00000000 xxxxxxxxxfxfxfxxxx。利用注释的结论，例 3 和例 4 的答案是显然的（例 4 需要化解为11)2-)(1()(xxxxxxf的形式。例 5：xy2sin2e，求y解：xxxyxx4sine222cos2sin2e2sin2sin22例 6：xxxxxxf5sin4sin3sin2sinsin)(，求)0()2020(f.解：当)(xf为奇函数时，)(xf 为偶函数，)(xf 为奇函数.，故)0()2020(f为奇函数，从而0)0()2020(f例 7：)(xyy 由)tan(yxy确定，求)(xy，)(xy V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师17解：方法一：代入求导yyyyyyyyxyyxy222221)1)(1()1)(tan1()1()(sec解得111222yyyy。方法二：公式法令)tan(),(yxyyxF，111)(sec1)(sec)(22222yyyyxyxFFxyyx。)11(22234 yyyyyy例 8：)(1yfx由2e xyx确定，求yxdd，22ddyx解：)2(e1dd2xxyxx，3222323222)2(e24)2(e)222(eddxxxxxxxxxyxxxx例 9：)(xfy 由tytxtcose确定，求xydd，22ddxy1esinddttxy，322)1e(esin)1e(cosddtttttxy例 10：xxysin2)1(，求y解：方法一：对数求导法方法二：幂指转化法由于)1ln(sin2exxy，故。21sin)1ln(cos)1()1ln(sin)1(22sin22sin2xxxxxxxxxyxx例 11：32)1()2)(1(xxxxy，求y解：由于)1ln(ln)2ln()1ln(31ln2xxxxy，故)1212111(312xxxxxyy把 y 带入，便可求出结果。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师18例 12：)1ln()(2xxxf，求)0()4(f，)0()6(f解：方法一：Leibniz 公式12)1(1!2C)1ln(C)0(0224024)4(xxxxxf；180)1(!3)1(!2C)0(04326)6(xxf方法二：Taylor 公式由65434322413121)413121()(xxxxxxxxxxf，得!4)0(21)4(f，!6)0(41)6(f，从而12!421)0()4(f，180!641)0()6(f。推广：)31ln()(22xxxf，求)0()5(f，)0()6(f解：由 于642222293)3(213)(xxxxxxf，故3240!629)0()6(f，。0!50)0()5(f第三节 导数的应用例 1：)(xf连续，导数图像如图，则)(xf有（C）A.一个极小值，两个极大值B.两个极小值，一个极大值C.两个极小值，两个极大值D.三个极小值，一个极大值例 2：)(xf 在ax 处连续，1)(limaxxfax，则（A）D.)(af为极大值E.)(af为极小值F.)(,(afa为拐点V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师19G.既不是极值点也不是拐点法一：用第二个充分条件0)(af，01)()(lim)(axafxfafax，故)(af为极大值。方法二：用第一个充分条件由极限的保号性知，0，当axa时，0)(xf，)(xf单调递增；当axa时，0)(xf，)(xf单调递减，故)(af为极大值。例 3：（2015）)(xf在0 x处连续，)(xf 的图像如图所示，则)(xf拐点的个数为（2）例 4：求曲线23595)2()(xxxf的凹凸区间与拐点。解：xxxf910)2(35)(32，910)2(910)(31 xxf。令0)(xf，得3x，又因为)2(f 不存在，故当2x时，0)(xf，)(xf为凸函数；当32 x时，0)(xf，)(xf为凹函数；当3x时，0)(xf，)(xf为凸函数，从而)4,3(),920,2(为函数)(xf的拐点。例 5：求xxxfarctan)(的渐近线。解：)(limxfx，故无水平渐近线。由于)(xf在),(x是连续的，故无垂直渐近线。2arctanlim)(limxxxfxx。接下来求2)(limxxfx方法一：11lim111lim1)2(arctanlim)2(arctanlim2)(lim2222xxxxxxxxxxfxxxxx方法二：V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师20由于0,20,21arctanarctanxxxx，原式1)1arctan(limxxx，故12xy为右侧斜渐近线。2arctanlim)(limxxxfxx，接下来求2)(limxxfx方法一：1111lim12arctanlim)2(arctanlim2)(lim22xxxxxxxxfxxxx方法二：原式1)1arctan(limxxx，故12xy为左侧斜渐近线。例 6：证明)0()(2lnbaababab证明：方法一：即证0)(2)(ln(lnababab，构造辅助函数)(2)(ln(ln)(axaxaxxf，1lnln2lnln)(xaaxaxxaxxf，01)(22 xaxxaxxf，故)(xf 单调递增，0)()(afxf，从而)(xf单调递增，0)()(afxf，即)0()(2lnbaababab。方法二：即证01)1(2lnababab，令1,1)1(2ln)(xxxxxf，构造出函数后，接下来的步骤和方法一是一样的。方法三：往证0)1(2)1(lnababab，令1),1(2)1(ln)(xxxxxf，构造出函数后，接下来的步骤和方法一是一样的。例 7：求方程01elnxx的根的个数。解：令1eln)(xxxf，则e11)(xxf，令0)(xf，得ex，当e0 x时，0)(xf，)(xf单调递增；当ex时，0)(xf，)(xf单调递减。又1)e(f，)(lim0 xfx，)(limxfx，由零点定理知方程有两个根。例 8：当0 x时，方程112xkx只有一个根，求k的取值范围。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师21解：注：含有参数的方程根的问题要先分离参数。令311)(xxxf，则4242331)(xxxxxf，令0)(xf，得3x，当30 x时，0)(xf，)(xf单 调 递 增；当3x时，0)(xf，)(xf单 调 递 减。又932)3(f，32001lim)(limxxxfxx，0)(limxfx，画出)(xf的 图像，很显 然 得 到k的 取值 范 围为9320kk或。第四节 微分中值定理例 1：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0,)(,)(ababfbaf，证明：),(ba，使得)()(ff。证明：即证0)()(ff令)()(xxfxF，则)()(bFabaF，由 Rolle 中值定理，知),(ba使得0)(F，即0)()(ff，故)()(ff。例 2：)(xf在2,1 上连续，)2,1(内可导，2)2(,21)1(ff，证明)2,1(，使)(2)(ff。证明：即证0)(2)(ff。令2)()(xxfxF，则)2(21)1(FF，由 Rolle 中值定理，知)2,1(，使0)(2)()(42ffF，故0)(2)(ff。例 3：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0)()(bfaf，证明对),(,ba，使得0)()(ff。证明：即证0)(e)(eff。令)(e)(xfxFx，则)(0)(bFaF，由 Rolle 中值定理，),(ba使0)(F，故0)(e)(eff，从而0)()(ff。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客考研数学主讲：晓千老师22例 4：)(xf在 1,0上连续，)1,0(内可导，)1()0(ff，证明10，使0)()(ff。分析：由拉式定理，知),0(c，使cfcff)0()()(；)1,(c，使ccfff1)()1()(。因此由0111)0()(1)()1()0()()()(ccfcfccffcfcfff，知取21c即可。*证明：由拉式定理，知)21,0(，使得21)0()21()(fff；)1,21(，使21)21()1()(fff，故021)21()1(21)0()21()()(ffffff。例 5：)(xf在,ba上连续，),(ba内可导，0)(xf，证明),(,ba，使得ababffeee)()(。证明：由拉式定理，知),(ba，使abafbff)()()(，对xxgxfe)(),(利用 Cauchy 中值定理，知),(ba，使 得ababffee)(e)(。综 上 可 得)ee(e)()(abfabf，故ababffeee)()(。例 6.()f x在0,1上三阶可导,(0)0f,(1)1f,1()02f,证明(0,1),使()24f。证明:由泰勒公式，11(0,)2，21(,1)2使11111(0)()()()28248ffff（1）21111(1)()()()28248ffff（2）（2）式-（1）式,可得12()()48ff，不妨设12()()ff，令1,即可得()24f。V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客V 研客