耦合级联失效系统可靠性建模与分析.pdf

第 卷第 期运 筹 与 管 理 ，年 月 收稿日期：基金项目：国家自然科学基金资助项目（，）；中央民族大学青年学术团队引领计划（）；中央民族大学研究生精品示范课程项目（）作者简介：王琦（），男，硕士研究生，研究方向：数理统计，系统可靠性；贾旭杰（），通讯作者，女，教授，研究方向：数理统计，系统可靠性；翁宇如（），男，硕士研究生，研究方向：数理统计；田美玉（），女，硕士研究生，研究方向：数理统计，系统可靠性。耦合级联失效系统可靠性建模与分析王 琦，贾旭杰，翁宇如，田美玉（中央民族大学 理学院，北京 ；北京交通大学 发展规划与学科建设处，北京 ）摘要：现实生活中绝大多数系统并不是孤立存在的，如通信网和电网，它们相互依存、相互影响，这种系统间的耦合关系使得级联失效范围变得更广，导致级联过程更为复杂，从而影响整个系统可靠性及其正常运行。针对此问题，论文以电力通信系统为研究背景，给出了耦合系统转移率的解析表达，分析了元件负载增加影响元件故障率的级联失效效应和子系统间的相依关系，建立了耦合级联失效系统的可靠性模型，并证明了系统可靠度的计算方法和解析式结果。并且利用一个算例展示了耦合系统发生级联失效的具体过程，以验证该方法的有效性与可行性。本文为基于负载和时间的耦合系统的级联研究提供了新的思路，可拓展至不同的耦合关系、耦合强度以及不同的负载分配模式来进一步研究系统的级联失效过程以及可靠度分析。关键词：相依关系；耦合系统；级联失效；连续时间马尔可夫过程；可靠度中图分类号：文章标识码：文章编号：（）：，（，；，）：，：；引言电力系统运行中往往与通信系统存在耦合关系，在电力系统的发电、输电、变电、配电、用电和电力调度等各个环节中，通信系统都发挥着重要作用。这种相依关系使得构建电力和信息双向流动的智能电网成为可能，有助于实现控制自动化，并提高电网的经济效益。相依关系也存在着双向传递负面影响的可能，引起系统内部和系统之间的连锁故障，最终影响不同系统组成的耦合系统的可靠性。年意大利大停电中，一个发电厂的意外关闭导致通信系统节点故障。这使得电力系统无法进行有效的电网监控与数据采集，进一步加剧了电力系统的故障程度，最终导致了耦合系统的大规模级联失效 。因此，在可靠性建模时，将存在相依关系的多个系统作为单个耦合系统进行研究是很有必要的。级联失效是系统中发生大规模故障的常见机制，表现为系统中元件的故障会通过元件间的耦合关系引发其他元件相继故障，最终引发一系列故障的故障传播现象。关于级联失效的研究，大量的工作都集中在不存在相依关系的单个系统上，建立基于负载转移的概率模型进行分析。等 提出了标准的 模型，该模型假设系统中个组件的初始负载独立同分布，当组件的负载超过其阈值时，组件故障并将一个固定的额外负载转移到其他工作的组件上。和 对 等 的成果进行了改进，考虑了级联失效传播过程中的时间因素，并给出了系统可靠性的分析和证明过程。对系统级联失效产生影响的因素有很多，但当前的研究主要集中于研究其中的某一个或几个特征 ，缺少分析耦合系统中级联失效的随机模型。针对耦合系统中级联失效的研究，和 构建了基于离散时间马尔可夫过程的电网和通信网相互依赖的分析模型 ，模型给出了系统故障的路径，无法给出系统可靠性的解析表达。实际中的电力系统是承担负载的系统，当线路负载超过其阈值时，线路故障并将自身负载重新分配给其他未故障线路，其中发生的级联失效表现为线路负载的分配与转移 。通常情况下，与负载较小的线路相比，负载较大的线路会更快地发生故障。因此，电力系统线路的故障率是时变的 。此外，耦合系统中的一个系统出现故障时，可能导致另一个系统故障 。基于这一实际背景，本文考虑了元件故障率与耦合系统状态之间的相互作用，以更加准确地评估元件的动态性能。本文基于连续时间马尔可夫过程，对存在相依关系的耦合系统中的级联失效进行随机建模。模型考虑了元件负载增加影响元件故障率的级联失效效应，以及子系统间的相依关系，证明了此类耦合系统可靠度的计算方法和解析式结果。模型描述与假设子系统 ，组成耦合系统，其中系统 有 个 类元件，系统 有 个 类元件。每个元件和耦合系统包括两种状态：工作和故障。当 类元件发生故障时，该元件负载由工作状态的 类元件平均分担，这导致剩余 类元件的故障率增加，进而可能令更多元件发生故障。类元件具有相同初始负载，当时刻 的 类元件故障数为 （）时，元件负载正比于 （），利用负载函数 （第 期王 琦，等：耦合级联失效系统可靠性建模与分析（）表示负载程度对故障率的影响，类元件 故 障 率 表 示 为（）（），其中 为基础故障率。本文考虑系统 依赖于系统 的情况，利用耦合函数 （）表示依赖强度，其中 （）为时刻 的 类元件故障数，受系统间相依关系影响的 类元件故障率表示为 （）（）。当 类元件全部故障时，耦合系统故障，类元件故障率受到两种因素的影响：元件负载程度以及系统间相依关系。关于耦合级联失效系统可靠性模型的具体假设如下：假设 每个元件故障后不可维修。假设 在 的初始时刻，所有元件均正常工作。假设 每个 类元件的 寿 命 分布 为 参数 的指数分布，每个 类元件的寿命分布为参数 的指数分布。假设 所有元件的寿命分布相互独立。系统耦合及状态转移过程本文利用连续时间马尔可夫过程建立随机模型，以系统状态转移描述子系统的耦合关系，耦合系统发生级联失效是耦合系统在状态空间中的一系列转移 。耦合系统状态空间在任意时刻 ，类元件故障数记为 （），类元件故障数记为 （）。耦合系统状态由 （）和（）共同表示，记为（），（），其中 （），（），（），（）。随机过程（），（），为连续时间马尔可夫过程。假定当 类元件全部故障时，耦合系统故障，则耦合系统状态空间为 ，工作状态集为 （，），（，），（，），（，），（，），（，），故障状态集为 （，），（，），（，）。图 耦合系统的状态转移图耦合系统的状态转移过程如图 所示。当（），（）（，）时，若 类元件发生故障时，耦合系统由状态（，）转移至（，）；当 类元件发生故障时，耦合系统由状态（，）转移至（，）；若无元件发生故障，耦合系统不发生状态转移，将停留在原状态（，）。为了简便，图 略去了耦合系统停留在原状态的转移过程。元件负载程度对元件故障率的影响本文仅考虑 类元件的负载程度对自身故障率的影响。当 类元件发生故障时，子系统 的总负载将重新分配。令 表示 类元件的初始负载，子系统 的总负载可表示为 。当有（）个 类元件故障时，由于未故障的 （）个 类元件平均分担总负载，因此正常工作的元件负载（）。通常情况下，增高的负载会导致更高的元件故障率 。但实际中，很难在每次元件故障后测定剩余工作元件的故障率。因此，为准确对系统可靠性进行研究，本文利用故障率变化模型 对 类元件故障率进行分析。定义负载函数：（），（）为负载程度参数。类元件的故障率 （）可以表示为：（）（）（）其中，为 类元件总数，（），为 类元件故障数，为系统初始状态时 类元件的故障率，（）为 （）个 类元件故障后剩余工作元件的故障率。当 （）时，类元件全部故障，（）。负载函数 描述了元件负载程度对元件故障率的影响强度。存在极小值 ，当 时，类元件的负载程度不影响 类元件故障率。随着 函数值的增大，系统可靠性降低的程度不断增大。系统间相依关系对耦合系统的影响耦合系统中的级联失效不仅要考虑各系统内部的故障，还要兼顾相耦合的系统间的影响。从粗略的角度来看，一个系统对另一个系统的影响可以分为：）改善，）恶化，）不变。在马尔可夫过程的理论中，影响表现为：）降低元件的故障率，）提高元件的故障率，）不改变元件的故障率。因此，元件的故障率可以反映系统间相依关系对耦合系统的影响。本文仅考虑子系统 依赖于子系统 的情况。定义耦合函数：（），（）为 类元件故障数。耦合系统中，类元件的故障率为 （）（），将公式（）代入可得：（）（）（）（）（）耦合函数 （）描述了子系统 对子系统 的依赖强度。例如，当 （）时，子系统 中运 筹 与 管 理 年第 卷 类元件的故障率将增加一倍。（）有两个极值，当 （）时，子系统 对子系统 无影响；当 （）时，状态（）（）（，）为一个瞬时状态，耦合系统进入它时就即刻离开进入状态（，），这样的状态仅在理论上可能。我们可以定性地给出耦合函数 （）的意义。当 （）的值越接近 时，耦合系统可靠性受到的影响越小；当 （）的值越接近时，耦合系统可靠性降低的程度越大。通过相邻故障时刻耦合函数值的比较，可以给出单次 类元件故障对系统 的影响。耦合系统的状态转移概率根据图 及公式（），当（），（）（，）时，（）个 类元件处于工作状态，每个元件的故障率为 （）（）。当一个处于工作状态的 类元件发生故障时，耦合系统由状态（，）转移至（，），因此在 时间内，耦合系统由状态（，）转移至状态（，）的转移概率为（，），（，）（）（）（）（）（）（）类似地，根据 类元件的故障率 ，在 时间内，耦合系统由状态（，）转移至状态（，）的转移概率为：（，），（，）（）（）（）（）当耦合系统中未发生元件故障时，耦合系统不发生状态转移。在 时间内，耦合系统停留在原状态（，）的转移概率为（，），（，）（）（）（）（）（）（）（）在 时间内，连续时间马尔可夫过程（），（），发生两次或两次以上转移的概率为：（）（）（）（）（）（）可靠性指标分析耦合系统的转移率矩阵 为（）（）维方阵，将 表示为分块矩阵形式：（）其中 为（）维方阵，表示耦合系统由状态（，（）转移至状态（，（）的转移率矩阵。中第 行、第 列的元素为 ，。表示耦合系统由状态（，）转移至状态（，）的转移率。记耦合系统时刻 处于状态 的概率为（）（），（），。由（）构成状态概率向量（），（）（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），（，）（），其满足微分方程组 ：（）（）（）其中 （）表示对每个分量分别求导数。已知耦合系统在初始时刻是全新的，因此微分方程组（）的初始条件为 （）（，）。记 （）的拉普拉斯变换为（）（），对微分方程组（）两边做拉普拉斯变换，得（）（）（），（）耦合系统可靠度记为 （），则（）（）（）对（）式进行拉普拉斯变换，得（）（）（）（）将（）式代入（）式，经逆拉普拉斯变换可求得 （）。算例分析考虑耦合电力通信系统，由 条电力系统线路、条通信系统线路组成，其中假设电力系统线路的故障率 ，通信系统线路的故障率 。反映线路负载程度对线路故障率影响强度的负载函数 （）取为递增序列 （），（），（），（），（）；当 （）时，（）。反映电力系统对通信系统依赖强度的耦合函数 （）取为递增序列，（），（），（）。耦合系统的工作状态集 （，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，）。根据公式（），可得耦合系统的转移率矩阵 ，第 期王 琦，等：耦合级联失效系统可靠性建模与分析其中 ，其余分块矩阵均为零矩阵。根据公式（），利用 软件对耦合系统可靠度 （）进行拉普拉斯变换可得 （）（）（），其中（，）。再进行逆拉普拉斯变换可得耦合系统可靠度 （），如图 所示，耦合系统的 为 。图 耦合系统与非耦合系统可靠度曲线图为了进行对比分析，考虑电力系统线路故障率不受线路负载程度、通信系统状态影响的非耦合系统，即 负 载 函 数 （）、耦 合 函 数（）取为常数 。类似地，该非耦合系统中电力系统线路数量 、通信系统线路数量 ，电力、通 信 系 统 线 路 的 故 障 率 分 别 为 、。利用类似于第 节介绍的耦合系统可靠性分析的方法，可得非耦合系统可靠度槇（），如图 所示，非耦合系统的 为 。基于算例可以得出，在线路数量、线路故障率均相同的情况下，耦合系统可靠度 （）小于线路故障率不受影响的非耦合系统可靠度槇（），并且耦合系统较非耦合系统的 更小。比较结果表明，系统中的耦合关系对系统可靠性有显著影响。总结本文研究了耦合级联失效系统的可靠性，首次利用连续时间马尔可夫过程，对存在相依关系的耦合系统中的级联失效进行随机建模，得到了此类耦合系统的可靠度 （）和 ，并基于算例分析得到耦合系统可靠度 （）小于线路故障率不受影响的非耦合系统可靠度槇（），并且耦合系统较非耦合系统的 更小。可进一步拓展系统寿命分布类型及耦合关系，比如非线性关系。参考文献：，（）：，（）：，（）：袁鹏程，林徐勋 基于 更新过程的城市交通网络级联失效评价模型 运筹与管理，（）：，：，（）：，（）：，（）：，：，：兑红炎，白光晗 多态防护系统可靠性及重要度分析 运筹与管理，（）：，（）：，（）：曹晋华，程侃 可靠性数学引论 北京：高等教育出版社，运 筹 与 管 理 年第 卷