专题15 多元微分学的解题方法（紧密）.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 专题 15 多元微分学中的解题方法（紧密）以下的五个考法，涵盖了过去 37 年考研数学的多元微分学中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、计算偏导数一、计算偏导数.2（一）显函数的偏导数.2（二）复合函数的偏导数.2（三）隐函数的偏导数.2（四）多约束下的偏导计算.3（五）高阶偏导数.3（六）换元求偏导.3 二、可微性与全微分二、可微性与全微分.3 三、已知偏导，反求函数三、已知偏导，反求函数.5 四、多元函数极值四、多元函数极值.5（一）无条件极值.5 1.显函数的无条件极值.5 2.隐函数的无条件极值.5（二）条件极值.5 方法一 拉格朗日乘数法.5 方法二 利用均值不等式和柯西不等式.6（三）有界闭区域的极值.6（四）多元极值的选择题.6 五、隐函数存在定理五、隐函数存在定理.7 配套作业配套作业.8 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一、计算偏导数一、计算偏导数（一）显函数的偏导数（一）显函数的偏导数 例例题题 1(教材)设，证明：.例例题题 2(教材)已知理想气体的状态方程为（为常数），证明.注注：本题说明，偏导符号中的横线“”不能看成分数线，是一个整体，并非分之.例例题题 3(李永乐，复习全书)设，则 .（先代后导比先导后代更快）（二）（二）复合函数的偏导数复合函数的偏导数 例题例题 4(教材)设，且，求和.例题例题 5 设可微，求：.（三）三）隐函数的偏导数隐函数的偏导数 例题例题 6(教材)设，证明：.类题(2010 年)由方程确定，则.例题例题 7(汤家凤，1800 题)，确定了 是的函数，和可微，和连续，且.求：.例题例题 8(k 次齐次函数)若对任意的，均有，则称是 次齐次函数.证明：若可微，则是 次齐次函数的充要条件是.例题例题 9(李永乐，660 题)设可微，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（四）（四）多约束下的偏导计算多约束下的偏导计算 例题例题 10(教材)设，求和.例题例题 11(教材)设，其中具有一阶连续偏导数，求和.例题例题 12(汤家凤，1800 题)设满足，令，.证明：.（五）（五）高阶偏导数高阶偏导数 无论对谁求了导，也无论求了几阶导，求导以后的新函数，与原来的函数有着相同的枝状图与复合关系.例题例题 13(教材)设，求 例题例题 14(2009 年，改编)设，求.（六）（六）换元求偏导换元求偏导 例题例题 15(2010 年)设二阶偏导连续，且.确定常数的值，使得在变换，化简为.例题例题 16 设，.确定，使得满足方程.二、二、可微性可微性与与全微分全微分 例题例题 17 对于二元函数而言，请给出“极限存在、连续、可偏导、可微、一阶偏导连续”这几个 概念之间的强化关系，并给出证明或反例.例题例题 18(姜晓千，压轴 150)设，其中，证明：(1)在点处连续；(2)在点处可微.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 19(2007 年)二元函数在点处可微的一个充要条件是()注注 1：本题的选项没有任何干扰性，考生们主要在中犹豫不决.很多人认为是错的，因为分子没有出现和，所以不是可微定义，故排除.但事实上，二元函数在某点处可微的定义到底如何描述的呢 设在点的邻域有定义，和，.若存在常数和，使得极限，则称在点处可微，并且，通过计算可发现，并且，通过计算可发现，此时此时，.也就是说，是先有了和，使得，然后我们才推导出来了这里的和就是两个偏导和，这是一个逻辑问题.所以，对于选项的，可以改写为，所以这就是可微的定义式，而且我们还能推出且.至于，大家只需要记住：二元函数的偏导函数也是二元函数，所以“偏导连续”是指的这个二元函数连续，所以求极限时应该是二元极限才对，怎么能只对 或取极限呢？所以明显错了！注注 2：真题中不止一次考过大家对选项这个极限的理解，类似的题目还有 类题(2012 年)设连续函数满足，则 .例题例题 20(2012 年)若函数在处连续，那么下列命题正确的是()例题例题 21 已知，求.类题(1996 年)已知为某函数的全微分，则 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 三、已知偏导，反求函数三、已知偏导，反求函数 例例题题 21(2015 年)已知，求.例题例题 22(张宇，1000 题)，求在的部分与 轴围成的图形绕 轴旋转一周所成的旋转体体积.四、多元函数极值四、多元函数极值（一）无条件极值（一）无条件极值 1.显函数的无条件极值显函数的无条件极值 例题例题 23(2013 年)求函数的极值.例题例题 24(2021 年)求函数的极值.例题例题 25(2022 年)当时，恒成立，则 的取值范围为 .2.隐函数的无条件极值隐函数的无条件极值 例题例题 26(姜晓千，压轴 150)设二阶连续可偏导，且.若，证明：在处取得极值，并判断是极大值还是极小值.例题例题 27(2004 年)设是由确定的函数，求的极值.（二）条件极值（二）条件极值 方法一方法一 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 例题例题 28(2010 年)求函数在约束条件下的最值.例题例题 29(2008 年)已知曲线，求曲线距面最远和最近的点.例题例题 30(2018 年)将长 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形、正三角形，求面积之和的最小值.例题例题 31(李林，880 题)求中心在原点的椭圆的长半轴与短半轴.例题例题 32(张宇，1000 题)证明：在约束下存在最大值和最小值，且它们恰好是方程的根.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 方法二方法二 利用均值不等式和柯西不等式利用均值不等式和柯西不等式(1)均值不等式均值不等式 设，则有以下不等式链成立：（）其中，等号在时取到.注注：上面四种平均数，分别称为调和平均、几何平均、算术平均、平方平均.(2)柯西不等式柯西不等式 设均为非负实数，则.其中，等号在和对应成比例时取到.例题例题 33 求内接于椭球体的长方体的最大体积.例题例题 34 求在上的最小值（）例题例题 35(2018 年)将长 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形、正三角形.三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在，求出最小值.（三）有界闭区域的极值（三）有界闭区域的极值 例题例题 36(2005 年)已知函数的全微分为，.求在椭圆域上的最大值和最小值.（四）（四）多元极值的选择题多元极值的选择题 例题例题 37(李林，880 题)在点处连续，且，则()例题例题 38 函数在的某邻域连续，且，则()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 39 函数在的某邻域连续，且，则()例题例题 40(张宇，1000 题)设连续，且，问是否是极值?类题(2003 年)已知函数在的某邻域连续，且，则()例题例题 41(2011 年)设有二阶连续导数，且，则函数 在点处取得极小值的一个充分条件是()例题例题 42(2014 年)设在有界闭区域上连续，在内部二阶连续可偏导，且满足及，则()五、隐函数存在定理五、隐函数存在定理(1)隐函数存在定理隐函数存在定理 1：一元函数情形：一元函数情形 设在点的某邻域内有连续的偏导数，且，则可以在点的某邻域内确定唯一一个连续且具有连续导数的函数，且.(2)隐函数存在定理隐函数存在定理 2：二元函数情形：二元函数情形 设在点的某邻域内具有连续的偏导数，且，则方程可以在点的某邻域内能确定唯一一个连续且具有连续偏导数的函数，且，.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 43(2005 年)设三元方程，由隐函数存在定理存在的一个邻域，在此邻域内该方程()例题例题 44 设二阶连续可偏导，若是由方程 所确定的隐函数，则是的极小值点的一个充分条件是()配套作业配套作业 作业作业 1(汤家凤，辅导讲义)设且可微，证明：.作业作业 2 设可导，求.作业作业 3 二阶连续可偏导，且.作换元.证明：.作业作业 4(汤家凤，1800 题)设是可微函数，令，证明：(1)若，那么 的取值仅和 和 有关；(2)若，那么 的取值仅与 有关.作业作业 5 设，则该函数在处()作业作业 6(李永乐，660 题)设，则下列结论正确的是().作业作业 7 设，则在点处()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数高数下下册册一条龙一条龙 9 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 作业作业 8 设满足，求.作业作业 9(汤家凤，辅导讲义)设，其中二阶偏导连续.且，求参数的值以及的表达式.作作业业 10(2012 年)求函数的极值.作业作业 11(姜晓千，压轴 150)设由方程确定，求的极值.作业作业 12(2008 年)求函数在约束条件和下的最值.作业作业 13(2013 年)求曲线上的点到坐标原点的最短距离和最长距离.作业作业 14(2007 年)求函数在区域的最值.作业作业 15(2006 年)设和均可微，且，已知是在条件 下的一个极值点，下列选项正确的是()