2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）答案.pdf

世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2012015 5 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试数学数学(二二)答案答案关注文都网校考研公众号领取更多考研资料一、一、选择题选择题:(1)【答案】(D)【解析】(1)xxxdxxee，则2222(1)3lim(1)3xxxxxdxxeexeee.(2)【答案】(B)【解析】220sinlim0sin()lim(1)txt xxtxtttf xeex，0 x，故()f x有可去间断点0 x.(3)【答案】(A)【解析】0 x 时，0fx 00f 1001cos010limlimcosxxxxfxxx0 x 时，11111cos1sinfxxxxxx 1111cossinxxxx fx在0 x 处连续则：10100limcos0 xffxx得10 +1100110lim=limcossin=0 xxffxxxxx世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：得：10，答案选择 A(4)【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。(5)【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解.令,yuxy vx，则,11uuvxyvv，从而22(,)yf xyxyx变为222(1)(,)111uuvuvf u vvvv.故222(1)2,1(1)fuvfuuvvv，因而111110,2uuvvffuv.故选（D）.(6)【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为11(,),432sin2sin2Drr所以1n23142sin2(,)(cos,sin)siDf x y dxdydf rrrdr故选 B.(7)【答案】D【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A badadadaadd，由()(,)3r Ar A b，故1a 或2a，同时1d 或2d。故选（D）(8)【答案】(A)【解析】由xPy，故222123()2TTTfx AxyP AP yyyy.且200010001TP AP.100001010QPPC世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：200()010001TTTQ AQCP AP C所以222123()2TTTfx AxyQ AQ yyyy。选（A）二、填空题：二、填空题：(9)【答案】48【解析】2222333(1)11dydytdttdxdxdtt22223(1)d ydtdxdx2222223(1)12(1)12(1)11dtttdtttdxdtt22148td ydx.(10)【答案】21ln2nn n【解析】根据莱布尼茨公式得：(2)2220(1)02 22 ln2(1)ln22nnnnxnxn nfCn n(11)【答案】2【解 析】已 知20()()xxxf t dt，求 导 得2220()()2()xxf t dtx f x，故 有10(1)()1,f t dt(1)12(1)5,f 则(1)2f.(12)【答案】22xxee【解析】由题意知：03y，00y，由特征方程：220解得121,2 所以微分方程的通解为：212xxyC eC e代入 03y，00y解得：12C 21C 解得：22xxyee(13)【答案】1d2d3xy【解 析】当0,0 xy时0z，则 对 该 式 两 边 求 偏 导 可 得世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：2323(3)xyzxyzzexyyzex 2323(3)2xyzxyzzexyxzey。将（0,0,0）点值代入即有12,.(0,0)(0,0)33zzxy 则可得(0,0)121|d2d.333dzdxdyxy (14)【答案】21【解析】A的所有特征值为2,2,1.B的所有特征值为3,7,1.所以|3 7 121B 。三、解答题：三、解答题：1523 小题小题,共共 94 分分.请将解答写在请将解答写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上.解答应写出文字说明解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.(15)【答案】111,32akb 【解析】方法一：因为233ln(1)()23xxxxo x，33sin()3!xxxo x，那么，23333000(1)()()()ln(1)sin231limlimlim()xxxaaa xbxxo xf xxaxbxxg xkxkx，可得：100213aabak，所以，11213abk 方法二：由题意得世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：300sin)1ln(lim)()(lim1kxxbxxaxxgxfxx203cossin11limkxxbxxbxax由分母03lim20kxx，得分子)cossin11(lim0 xbxxbxax0)1(lim0ax，求得 c；于是)()(lim10 xgxfx203cossin111limkxxbxxbxx）（xkxxxbxxxbxx13cos)1(sin)1(lim20203cos)1(sin)1(limkxxxbxxxbxxkxxxbxxbxxxbxxbxbx6sin)1(coscos)1(cos)1(sin1lim0由分母06lim0kxx，得分子sin)1(coscos)1(2sin1 lim0 xxbxxbxxxbxbx0)cos21(lim0 xbx，求得21b；进一步，b 值代入原式)()(lim10 xgxfxkxxxxxxxxxx6sin)1(21cos21cos)1(sin211lim0kxxxxxxxxxxxxxxx6cos)1(21sin21sin)1(21sin21cos21sin)1(coscos21lim0k621，求得.31k(16)【答案】8【解析】由旋转体的体积公式，得dxxf2021)(VdxxA202)sin(dxxA20222cos1422Adxxxf202)(2VAxdxA-2cos220世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：由题,VV21求得.8A(17)【答案】极小值(0,1)1f【解析】xxyeyyxf)1(2),(两边对 y 积分，得)()21(2),(2xeyyyxfxx)()2(2xeyyx，故xxexxxf)1()()0,(，求得)1()(xexx，故)1()2(),(2xeeyyyxfxxx，两边关于 x 积分，得dxxeeyyyxfxx)1()2(),(2xxdexeyy)1()2(2dxeexeyyxxx)1()2(2C)1()2(2xxxeexeyyC)2(2xxxeeyy由yyyyyf2C2),0(22，求得.0C所以xxxeeyyyxf)2(),(2.令0)22(0)2(2xyxxxxeyfxeeeyyf，求得10yx.又xxxxxxeeeyyf 2)2(2，xxyeyf)1(2，xyyef2，当1,0yx时，(0,1)1,xxAf,0)1,0(B xyf2)1,0(yyfC，20,ACB(0,1)1f 为极小值.(18)【答案】245世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解析】2()DDx xy dxdyx dxdy2212202xxdxx dy122202(2)xxx dx2sin12222400222222sin2cos55xtxx dxttdt22242002222sin 2sin.5545uttdtudu(19)【答案】2个【解析】222()1211(21)fxxxxxx 令()0fx,得驻点为12x,在1(,)2,()f x单调递减,在1(,)2,()f x单调递增故1()2f为唯一的极小值,也是最小值.而111122411112241()11112ft dttdtt dttdt11122111224111t dttdtd在1(,1)2,211tt,故1121122110t dttdt从而有1()02f2121lim()lim11xxxxf xt dttdt 22122111lim()lim11lim11xxxxxxxf xt dttdttdtt dt考虑221221121limlim11xxxxtdtxxxt dt，所以lim()xf x.所以函数()f x在1(,)2及1(,)2上各有一个零点，所以零点个数为 2.(20)【答案】30min世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：【解析】设t时刻物体温度为()x t，比例常数为(0)k，介质温度为m,则()dxk xmdt，从而()ktx tCem，(0)120,20 xm，所以100C，即()10020ktx te又1()30,2x所以2ln10k，所以11()20100tx t当21x 时，t，所以还需要冷却min.(21)【证明】根据题意得点(,()b f b处的切线方程为()()()yf bf b xb令0y，得0()()f bxbf b因为(x)0f 所以(x)f单调递增，又因为(a)0f所以(b)0f，又因为()0fb所以0()()f bxbbf b又因为0()()f bxabaf b，而在区间（a,b）上应用拉格朗日中值定理有(b)f(a)(),(a,b)ffba 所以0()()()()()()()()()()()f bf bf bf bfxabaf bf bff bf b f因为(x)0f 所以(x)f 单调递增所以()()f bf所以00 xa，即0 xa，所以0axb，结论得证.(22)【答案】2010,111211aX【解析】世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：(I)323100100111100011aAOAaaaaaaaa (II)由题意知222211122212XXAAXAXAEX EAAX EAEEA X EAEXEAEAEAEAXEAA2011111112EAA，312111211X(23)【答案】（1）4,5ab；（2）231101011P【解析】(I)()()311ABtr Atr Bab 0231201330012031 ABba世纪文都教育科技集团股份有限公司地址：北京市海淀区西三环北路 72 号世纪经贸大厦 B 座电话：010-88820136传真：010-88820119网址：14235 abaabb(II)023100123133010123123001123AEC 123112311231231 CC的特征值1230,40时(0)0EC x的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)TT5时(4)0EC x的基础解系为3(1,1,1)TA 的特征值1:1,1,5 AC令123231(,)101011 P，1115P AP关注文都网校考研公众号领取更多考研资料