专题2 数列极限中的解题方法（紧密）【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 数列极限中的解题方法（紧密）这份讲义，涵盖了过去 37 年考研数学的数列极限中几乎所有的重要考法吃透，高分吃透，高分！一、递推数列一、递推数列中的单调有界准则中的单调有界准则.2（一）的解唯一.2（二）的解不唯一.2 二、不单调的递推数列二、不单调的递推数列如何处理如何处理.2 三、压缩映像原理三、压缩映像原理.2 四、递推关系由不等式给出的数列四、递推关系由不等式给出的数列.3 五、两个递推数列五、两个递推数列的趋向速度的趋向速度.3 六、积分与数列极限相结合六、积分与数列极限相结合.3（一）利用分部积分，导出递推公式.3（二）利用夹逼准则（或无穷小乘有界）.4 七、无穷项相加的夹逼准则七、无穷项相加的夹逼准则.4 八、定积分定义的各种考法八、定积分定义的各种考法.5（一）最简单的定积分定义 .5（二）定积分定义的一般情形.5（三）通过取对数，将连乘变成连加.5（四）夹逼准则与定积分定义相结合.6（五）两个定积分定义相乘！（有小结论）.6（六）统一结构，简化表达式（这个思想很常见，不只是积分定义里）.6 九、积分与求和的统一九、积分与求和的统一.6 十、方程根的极限十、方程根的极限.7 十一、数列极限中的概念题十一、数列极限中的概念题.7（一）数列极限的定义.7（二）四则运算与复合运算对数列收敛性、有界性的影响.7（三）判断数列有没有最大最小值.8（四）已知复合极限存在，判断内层或外层极限是否存在.8 考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 一一、递推数列递推数列中的单调有界准则中的单调有界准则（一）（一）的解唯一的解唯一 例题例题 1(2018 年)设,证明收敛并求极限.注注：本题的价值非常高本题的价值非常高，是递推数列极限的考研真题里最精彩的一道，希望大家重点复习.类题(凯哥，每日一题)，求.例题例题 2(李艳芳，900 题)设满足，且，求.（二）（二）的解不唯一的解不唯一 例题例题 3(汤家凤，1800 题)设，当时，证明收敛并求极限.二、不单调的递推数列二、不单调的递推数列如何处理如何处理 例题例题 4(汤家凤，高数辅导讲义)设，证明收敛并求极限值.注注 1：对付不单调的数列，可以先把极限值找出来，再用递推放缩的方法，证明确实是极限.注注 2：使用该方法的核心，是凑出表达式“”，其中是常数.类题(武忠祥，十七堂课)设，证明收敛并求极限值.三、压缩映像原理三、压缩映像原理 例题例题 5(张宇，闭关修炼)设当时，并设存在常数，满足 对于上任意两点和，都有，试证明：(1)存在唯一的，使得.(2)对于任意给定的，定义，证明收敛，且.注注 1：一个常用的推论：设，若存在，使得，则一定收敛.注注 2：在利用压缩映像原理解题时，最常见的错误就是忽略了的条件.从压缩映像原理的证明过程中可以发现，是非常重要的正是因为，所以才推出了，也才能保证收敛.这里的 相当于是一个“压缩比例”或“压缩因子”.所以，如果只是证明出来了，是证明不出数列收敛的；只有证明出，才能说明数列收敛，也就是说，这个 是不可缺少的，在解题时一定要找到这个具体的在解题时一定要找到这个具体的，切记！，切记！)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 6(汤家凤，高数辅导讲义)已知数列满足.证明：收敛.类题(李正元，复习全书)，利用压缩映像原理，证明数列收敛.例题例题 7(李林，880 题)(1)证明：方程在内有唯一实根；(2)取，令，证明：收敛于.四、递推关系由不等式给出的数列四、递推关系由不等式给出的数列 例题例题 8(2013 年)(1)求的最小值；(2)设满足，证明收敛并求极限.注注：递推关系由不等式给出，也能使用单调有界，但最后求极限时要用夹逼准则将不等式变成等式.类题 设，证明收敛并求极限.五五、两个递推数列两个递推数列的趋向速度的趋向速度 例题例题 9(2023 年，改编)(1)当时，证明；(2)设，当时，证明：是比更高阶的无穷小.类题(张宇，1000 题)设，.计算.六、六、积分与数列极限相结合积分与数列极限相结合（一）利用（一）利用分部积分，分部积分，导出递推公式导出递推公式 例例题题 10(2019 年)，证明：单调减少且，并求.例题例题 11(李林，880 题)设，求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）4 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（二）利用夹逼准则（或无穷小乘有界）（二）利用夹逼准则（或无穷小乘有界）例题例题 12(李林，880 题)证明：.注注 1：本题不能直接使用积分中值定理不能直接使用积分中值定理，即“”的过程是错误的！这是因为，当 变化时被积函数也变化，所以由积分中值定理得到的 也和 有关，不妨记为.又由于，且则有可能成为型的“未定式极限”，不能断言该极限一定为零！注注 2：只要在连续，那么就必有，本题只是的特例.例题例题 13(凯哥，每日一题)设在上具有连续的导函数，证明：.注注：将取定为具体函数，则可命制很多题目，比如求、.例题例题 14(李永乐，660 题)()七七、无穷项相加的夹逼准则、无穷项相加的夹逼准则 例题例题 15(1)(2)(3)(武忠祥，辅导讲义)例题例题 16(陈文灯，复习指南).例题例题 17 请利用第一问的不等式，解决后面两道数列极限题.(1)(2011 年，改编)证明：当时，；(2)(凯哥，每日一题)设，求；(3)(李艳芳，900 题)设.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）5 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 八八、定积分定义定积分定义的各种考法的各种考法 确定确定、确定积分区间、确定步长、确定积分区间、确定步长、是否需要补系数，、是否需要补系数，这几个步骤这几个步骤是用好定积分定义的关键是用好定积分定义的关键.（一）（一）最简单的定积分定义最简单的定积分定义 例例题题 18(2017 年)求 例题例题 19(武忠祥，高数辅导讲义)类题 1(李艳芳，3 套卷)类题 2(张宇，闭关修炼)（二）（二）定积分定义的定积分定义的一般情形一般情形 例题例题 20(张宇，1000 题)设在连续，则()例题例题 21(李永乐，330 题改编)类题 1(陈文灯，复习指南)类题 2(张宇，高数 18 讲)（三）（三）通过取对数，将通过取对数，将连连乘变成乘变成连连加加 例题例题 22(武忠祥，辅导讲义)类题 1(汤家凤，高数辅导讲义)类题 2(李正元，复习全书)考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）6 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（四）（四）夹逼准则与定积分定义相结合夹逼准则与定积分定义相结合 例题例题 23(1998 年)类题 1(凯哥，每日一题)类题 2(汤家凤，1800 题)（五）两个定积分定义相乘！（有小结论）（五）两个定积分定义相乘！（有小结论）例题例题 24(李艳芳，900 题)（六）统一结构，简化表达式（这个思想很常见，不只是积分定义里）（六）统一结构，简化表达式（这个思想很常见，不只是积分定义里）例题例题 25(李永乐，6 套卷)类题(李永乐，复习全书)九、积分与求和的统一九、积分与求和的统一 例例题题 26(1999 年)设连续函数在上单调减少且非负，.证明收敛.例题例题 27(2011 年)(1)证明：对于任意的正整数，都有(2)设，证明：收敛 类题(李林，880 题)证明，并求.考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）7 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 十、方程根的极限十、方程根的极限 例题例题 28(2012 年)(1)证明方程在内有且仅有一个实根；(2)记(1)中的实根为，证明存在，并求此极限.例题例题 29(李林，880 题)设(1)证明：方程在内有且仅有一个实根；(2)设，满足，证明：且.十一、数列极限中的概念题十一、数列极限中的概念题（一）数列极限的定义（一）数列极限的定义 例例题题 30(2014 年)设，则当 充分大时，必有()（二）四则运算（二）四则运算与复合运算与复合运算对数列收敛性、有界性的影响对数列收敛性、有界性的影响 例题例题 31(李艳芳，900 题)设数列和满足，则下列结论中，正确的是()例题例题 32(2008 年)设在内单调有界，为数列，下列命题正确的是()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届-高数上册核心（高数上册核心（进阶进阶）8 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书（三三）判断数列有没有最大最小值判断数列有没有最大最小值 例题例题 33(2022 年)设，则()类题(李艳芳，900 题)已知，则数列()（四四）判断判断和和存在性的关系存在性的关系 例题例题 34(2022 年)设有数列，满足，则()类题(2024 年)设数列，若发散，则()