直通车0基础阶段测测试卷 线代 解析【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

直通车-线代-零基础阶段测试卷-解析 时间：120 分钟 满分：100 分 1.求解方程211123049xx=.【解析】方程左端的三阶行列式 2223418921256Dxxxxxx=+=+由2560 xx+=解得2x=或3x=.（提示：或根据范德蒙行列式计算）2.设矩阵1020020010100001=A，矩阵B满足2+=ABBAEO，则+BE=.【答案】112【解析】2+=ABBAEO，即()()()4,11+=+=BEAEE BE AE，故11=.12+=+BEAE 3.设向量组3,12a aa线性无关，判断向量组23,1b b b的线性相关性：（1）223312,23,53112b=a+ab=a+a b=a+a；（2）2333,2,+112212b=aab=aa b=a+aa.【解析】（1）()()123123105,=,123030b b ba a a，而10512360030=，于是()()123123,=R,3R=b b ba a a，故123,b b b的线性无关.（2）()()123123101,=,121011b b ba a a，而1011210011=，于是()123,2Rb b b，故 123,b b b的线性相关.4.设有线性方程组：()()()1231231231+0131xxxxxxxxx+=+=+=，问取何值时，方程组（1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解.【解析】因系数矩阵A为方阵，方程组有无穷多解0A=2111111111111(3)1 11(3)00(3)11111100A+=+=+=+=+（1）当03 且，方程组有唯一解；（2）当0=时，1 1 1011101 1 1300011 1 100000A b=，2()1R A bR A=，方程组无解；（3）当=3时，()()2RR=AB，方程组有无限多个解，此时12311=12,10 xcRxcx +.5.设四元齐次线性方程组 I：122400 xxxx+=，II：12323400 xxxxxx+=+=.求：（1）方程 I 与 II 的基础解系；（2）I 与 II 的公共解.【解析】（1）由方程 I 得1424xxxx=.因此方程 I 的基础解系为()T10010=,()T21 101=.由方程 II 得14234xxxxx=.因此方程 II 的基础解系为()T101 10=,()T21101=.（2）I 与 II 的公共解就是方程 III:12241232340000 xxxxxxxxxx+=+=+=的解.因为方程组 III 的系数矩阵 1100100101010101 1110001201110000rA=,所以与方程组 III 同解的方程组为1424342xxxxxx=.方程组 III 的基础解系为()T1,1,2,1=因此 I 与 II 的公共解为()T1,1,2,1,xccR=.6.已知 3 阶矩阵A的特征值为1,2,3，求3257+AAA.【解析】令32(5)7=+,则()()()13,22,33=是()A的特征值,故()()()()328|5713|23231|+=AAAA.7.设001=11100tA，问t为何值时，矩阵A能对角化？【解析】20111(1)(1)0,1.10t=EA（一重），1=（二重）1=时，10110112021101000tt=EA，3()321R=EA个线性无关的特征向量.1=时，10110110001101000tt=EA 1）若3()2R=EA，()1,1Rt=EA时，2 个线性无关的特征向量，A可相似对角化.2）3()1R=EA，()2,1Rt=EA时有 1 个线性性无关的特征向量，A不可相似对角化.8.求一个正交变换将二次型222123232334fxxxx x=+化成标准形.【解析】二次型的矩阵为200032023=A.由 200032023=AE(2)(5)(1)=,得A的特征值为1232,5,1=.当12=时，解方程(2)0 x=AE,由 0000122012001021000=AE,得特征向量T(1,0,0).取T1(1,0,0)p=.当25=时，解方程(5)0 x=AE,由 3001005022011022000=AE,得特征向量T(0,1,1).取T211(0,)22p=当31=时，解方程()0 x=AE，由 100100022011022000=AE,得特征向量1(,)0,1T.取311(0,)22Tp=.于是有正交矩阵123(,)p pp=T和正交变换xy=T使22212325fyyy=+9.用配方法化二次形22212312232422fxxxx xx x=+成规范形，并写出所用变换的矩阵.【解析】22222212312231223231124222()4222fxxxx xx xxxxxx x=+=+22212233112()(2)222xxxxx=+，令1122233312()21(2)22yxxyxxyx=+=,即1123223331112222212xyyyxyyxy=+=,经 过 可 逆 变 换xy=C，二 次 型 化 为 规 范 形222123fyyy=+所 用 的 变 换 矩 阵 为11110222001=C.10.判别二次型22212312133924fxxxx xx x=+的正定性.【解析】二次型的矩阵为112130209=A，因为1121110,20,1306013209=，所以f为正定二次型.