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2022考研数学150之概率论(4-7)考研资料.pdf
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2022 考研 数学 150 概率论 资料
2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第第四四章章 数字特征数字特征 重点题型重点题型一一 期望与期望与方差的计算方差的计算【例【例 28】将 3 个球放入 4 个盒子中,每个球放入每个盒子都是等可能的,则有球的盒子数X的期望 EX=.【详解】【详解】令1,1,2,3,40,iiXii=第 个盒子中有球第 个盒子中无球,则330133144iX,且41iiXX=,得34134 14iiEXEX=.【例例 29】设独立重复试验每次成功的概率为(01)pp,直到首次成功为止.若随机变量 1,1,Y=试验次数为奇数试验次数为偶数,则EY=.【详解】【详解】设首次成功的试验次数为X,则()XG p.由2011(1)2nnP YP Xppp=为奇数,得111122pP Ypp=,故 11222ppEYppp=.【例【例 30】设连续型随机变量X的分布函数为()F x,()YF X=,则2EY=.【详解【详解一一】设X的概率密度为()Xfx,则 22311()()()33XEYFx fx dxFx+=【详解【详解二二】由题设知0,1YU,得22111()1243EYDYEY=+=+=.【例【例 31】设随机变量X的概率密度为2141()xxf xe+=,则2792EXX=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 2【详详解解一一】22222122222771799()922211111912 922229 2xttttEXXxx f x dxxx edxtxttedttdetee+=+=+=1915222dt+=+=【详解【详解二二】由22121124211()122xxxf xee+=,知1 1,2 2XN,故 2277117999522244EXXEXEX=+=【例【例 32】设随机变量X与Y相互独立均服从2(0,)N,则max,EXY=.【详解】【详解】由题设得(,)X Y的联合概率密度为f x ye222221(,)2xy+=,故 22222220022002222max,max,(,)4max,(,)4 8(,)4 2xyyyyxyEXYxyf x y dxdyx y f x y dxdydyxf x y dxdyxedxxedyed+=2220004442 2yyedyyed+=【例【例 33】(1)设()XP,则3EX=;(2)设()XG p,则3EX=.【详【详解解】(1)32232323332320(1)(2)32(1)(2)32 (1)(2)3323!(3)!33!kkkkkkEXE X XXXXE X XXEXEXk kkeekkek=+=+=+=+=+=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 3(2)3221221242321(1)(2)32(1)(2)32111 (1)(2)(1)332661661 (1)kkkkEXE X XXXXE X XXEXEXpk kkpppppppppppppp=+=+=+=+=+=+【例例 34】在曲线22yxx=与x轴所围区域随机落点,设落点坐标为(,)X Y.(I)求落点到y轴的距离的概率密度与分布函数;(II)求落点到原点的距离的平方的期望.【详解】【详解】(I)设曲线22yxx=与x轴所围区域为D,则2204(2)3DSxxdx=,故(,)X Y的 联合概率密度为3,(,)(,)40,x yDf x y=其他.落点到y轴的距离为X,X的边缘概率密度为 222033(2),02()(,)44 0,x xXdyxxxfxf x y dy+=其他 分布函数为32 0,03(),0243 1,2XxxFxxxx=.(I)求1P XY;(II)求EZ.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 4【详解】【详解】(I)1X的概率密度为1,0()0,0 xXexfxx=.由指数分布的参数可加性知(9)YE,故Y的概率密度为99,0()0,0yYeyfyy=.由1X与Y相互独立,得1(,)X Y的联合概率密度为 199,0,0(,)()()0,xyXYexyf x yfx fy=其他 故 9101001(,)910 xyxxx yP XYf x y dxdye dxedyedx+=(II)910001(,)9100 xyxxx yEZxf x y dxdyxe dxedyxedx+=【评注评注】参数可加性:设X与Y相互独立.(1)若(,)XB m p,(,)YB n p,则(,)XYB mn p+;(2)若1()XP,2()YP,则12()XYP+;(3)若211(,)XN,222(,)YN,则221212(,)XYN+;(4)若2()Xm,2()Yn,则2()XYmn+;(5)若1()XE,2()YE,则12min,()X YE+.重重点题型点题型二二 协方差协方差与相关系数与相关系数的计的计算算【例例 36】设随机变量1 5,2 2XU,X表示不超过X的最大整数.(I)求D X;(II)求()D XX;(III)求X与 X的相关系数.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 5【详解】【详解】(I)X的概率密度为1 15,()2 220,xf x=其他 .【方法一】【方法一】由 55222112211 ()122E Xx f x dxx dxdxdx+=+=552222221122113()2222E Xxf x dxx dxdxdx+=+=得 221()2D XE XE X=【方法【方法二二】X的概率分布为 X 0 1 2 P 14 12 14 故 112124E X=+=,21134242E X=+=,221()2D XE XE X=(II)【方法一【方法一】由 5212512211221()()()()21111 (1)(2)2222E XXxxf x dxxx dxxdxxdxxdx+=+=5222212512222211221()()()()21111 (1)(2)2223E XXxxf x dxxxdxx dxxdxxdx+=+=得 221()()()12D XXE XXE XX=【方法【方法二二】由1 5,2 2XU,得32EX=,13DX=.由 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 6 5522211221115()()228E X Xx x f x dxx x dxxdxxdx+=+=得 3(,)()8Cov XXE X XEX E X=故 1()2(,)12D XXDXD XCov XX=+=(III)X与 X的相关系数为(,)3 68Cov XXDXD X=重重点题型点题型三三 相关相关与与独立独立的判定的判定【例例 37】设(,)X Y为二维随机变量,则下列结论正确的是【】(A)若X与Y不相关,则2X与2Y不相关(B)若2X与2Y不相关,则X与Y不相关(C)若X与Y均服从正态分布,则X与Y相互独立X与Y不相关(D)若X与Y均服从0 1分布,则X与Y相互独立X与Y不相关【详解】【详解】选(D),(A)(B)由不相关的几何直观意义可排除;(C)X与Y均服从正态分布,但是(,)X Y未必服从二维正态,也就未必X与Y独立与X与Y不相关等价;(D)设(1,)XBp,(1,)YBq,若()E XYEX EYpq=,则(,)X Y的联合概率分布为 X Y 0 1 0(1)(1)pq(1)pq 1 q 1(1)p q pq q 1p p 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 7 显然X与Y独立,反之亦成立,故应选(D).【例【例 38】设随机变量0,2XU,sinYX=,sin()ZXa=+,其中0.2a.若Y与Z不相关,则a=.【详解】【详解】201sin02EYxdx=,201sin()02EZxadx=+=2011()sin sin()cos22E YZxxadxa=+=由Y与Z不相关,得()0E YZEY EZ=,即1cos02a=,故2a=或32.【例例 39】设随机变量(,)X Y的联合概率密度为1(1),1,1(,)4 0,xyxyf x y=其他,1,00,0XYUXY+=+,1,00,0XYVXY=.(I)证明X与Y不相互独立,但2X与2Y相互独立;(II)判别U与V是否相互独立;(III)求312P UVU+=与312P XYX+=.【详解】【详解】(I)X的边缘概率密度为 1111(1),11()(,)42 0,Xxy dyxfxf x y dy+=其他 同理Y的边缘概率密度为1,11()20,Yyfy=其他.由于(,)()()XYf x yfx fy,故X与Y不相互独立.令2X=,2Y=,则的分布函数为 2()F xPxP Xx=当0 x 时,()0F x=;当1x 时,()1F x=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 8 当01x时,()F xPxXxx=故的分布函数为 0,0(),01 1,1xF xxxx=同理的分布函数为 0,0(),01 1,1yFyyyy=(,)的联合分布函数为 22 0,00,01,01(,),01,1,1,01 1,1,1xyxyxyF x yPxyP Xx Yyxxyy xyxy=或 由于(,)()()F x yF x Fy=,故2X与2Y相互独立.(II)00111110,00,0(1)424xxP UVP XYXYdxxy dyxdx=+=故应选(C).【例【例 41】设总体(1)XE,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则当n 时,211niiXne=依概率收敛于 .【详【详解解】由题设得1EX=,1DX=,22()2EXDXEX=+=.由辛钦大数定律,当n 时,22112nPiiXEXn=,故2112niiXPnee=.【评注评注】由辛钦大数定律,当n 时,11,1,2,nPkkkikiAXEXkn=.进一步:若g为连续函数,则1212(,)(,)Pkkg A AAg.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 10 第第六六章章 统计初步统计初步 重点题型重点题型一一 求统计量的抽样分布求统计量的抽样分布【例【例 42】设随机变量(0,1)XN,2(1)Y.对给定的(01)=,数)1(2满足2(1)P Y=,则=)1(205.0【】(A)025.0U (B)2025.0U (C)05.0U (D)205.0U【详解】详解】由0.0250.025P XU=,得220.0250.05P XU=.又22(1)X,故220.050.025(1)U=,应选(B).【例【例 43】设随机变量1234,XXXX相互独立均服从(0,1)N,22122234XXYXX+=+.对给定的(01)=,则【】(A)11y y=(B)121y y=(C)1221y y=(D)1221y y=【详解】详解】由题设知2212XX+与2234XX+相互独立均服从2(2),故 22122212222234342(2,2)2XXXXYFXXXX+=+由P Yy=,得(2,2)yF=,故11(2,2)(2,2)1y yFF=,应选(A).【例【例 44】设总体2(,)XN,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,样本均值为X,样本方差为2S.若1nX+为对X的又一独立观测值,则11nXXnnS+服从 分布.【详解】【详解】由题设知2(,)XNn,21(,)nXN+,211(0,)nnXXNn+,1(0,1)1nXXUNnn+=+,222(1)(1)nSn与U相互独立,故 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 11 122(1)1(1)1nXXUnt nnSnSn+=+【例例 45】设总体2(0,)XN,12,XX为来自总体X的简单随机样本.(I)判定12XX+与12XX是否相互独立;(II)求1212XXXX+与212212()()XXXX+的分布;(III)求2212.E XX【详解【详解】(I)由于1X与2X相互独立,均服从2(0,)N,故2212(,)(0,0;,;0)XXN.又1212121111XXXXXX+=,且112011=,故1212(,)XXXX+服从二维正态分布.又 121212(,)0Cov XXXXDXDX+=故12XX+与12XX相互独立.(II)由212(0,2)XXN+,212(0,2)XXN,知12(0,1)2XXN+,12(0,1)2XXN,故2212(1)2XX.又122XX+与2122XX相互独立,故 1212212122(1)2XXXXtXXXX+=,212212()(1,1)()XXFXX+(III)由 222222244412200112242xxxxE XXxedxxedxed+=同理122E XX=,得 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 12 22212121212124()()E XXE XXXXE XXE XX=+=+=重点题型重点题型二二 求统计量的求统计量的数字特征数字特征【例例 46】设总体2(0,)XN,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,样本均值为X,样本方差为2S.若222(1)(01)cnXc Sc=+.(I)判定2是否为2的无偏估计;(II)求c的值,使得2D取得最小值.【详解】【详解】(I)由(0,1)nXN,222(1)nX,得221nXE=,222nXD=,故22EXn=,4222DXn=.由222(1)(1)nSn,得22(1)1nSEn=,22(1)2(1)nSDn=,故22ES=,4221DSn=.由于 2222(1)EcnEXc ES=+=故2为2的无偏估计.(II)由X与2S相互独立,知2X与2S相互独立,故 222222242(1)(1)21cDc n DXcDScn=+=+当1cn=时,2D取得最小值.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 13 第七第七章章 参数参数估计估计 重点题型重点题型一一 求求矩估计与矩估计与最大似然估计最大似然估计【例例 47】(1)设总体X的概率密度为2222231(;)2xf xx e=,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则2的矩估计量为 ;(2)设总体X的概率分布为,1,2,ln(1)mP Xmmm=,01未知,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则的矩估计量为 .【详解】【详解】(1)2(;)0EXxf xdx+=,2222222222233222222211(;)3221 332xxxxEXx f xdxx dex ex edxxedx+=令22113niiXn=,得2的矩估计量为22113nMiiXn=.(2)111ln(1)ln(1)1mmmEXmP Xm=22111121ln(1)ln(1)1 ()ln(1)ln(1)(1)mmmmmmmmEXm P Xmm=由21EXEX=,得21EXEX=,故的矩估计量为1122111111nniiiinniiiiXXnXXn=.【例【例 48】设总体(1,)XBp,样本值为 1,1,1,0,则2DX的矩估计值为 .【详【详解】解】令EXX=,得p的矩估计值为34p=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 14 由24222()(1)DXEXEXpppp=或2(1,)XBp,2(1)DXpp=,得2DX的矩估计值为3(1)16pp=.【例【例 49】(1)设总体()XG p,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则EX的最大似然估计量为 ;(2)设lnYX=的概率密度为,0(;)0,0yeyf yy=未知,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则EX的最大似然估计量为 ;(3)设总体X的概率密度为1,01(;)0,xxf x未知,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,则1Ue=的最大似然估计量为 ;(4)设总体(,1)XN,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,求2P X=的最大似然估计值为 .【详解】详解】(1)对样本值12,nx xx,似然函数为1()(1)niixnnL ppp=两端取对数,得1ln()lnln(1)niiL pnpxnp=+.令 1ln()101niidL pnxndppp=得p的最大似然估计量为1 pX=.又1EXp=,故EX的最大似然估计量为1Xp=.(2)令ln,1,2,iiyx in=,似然函数为11()(;)niinyniiLf ye=.两端取对数,得1ln()lnniiLny=.令1ln()0niidLnyd=,得的最大似然估计量为11lnnniiiinnYX=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 15 又(1)0()1YyyYEXEee fy dyedy+=故EX的最大似然估计量为11lnniinnX=.(3)对样本值12,nx xx,似然函数为1111()nnniiiiLxx=.两端取对数,得1ln()ln(1)lnniiLnx=+.令1ln()ln0niidLnxd=+=,得的最大似然估计量为1lnniinx=,故1Ue=的最大似然估计量为111lnniiXnee=.(4)的最大似然估计值为x=.又2121(2)P XP X=,故的最大似然估计值为 1(2)1(2)x=.【评注】【评注】参数估计的不变性:(1)若为的矩估计,()g x为连续函数,则()g为()g的矩估计;(2)若为的最大似然估计,()g x为单调函数,则()g为()g的最大似然估计.【例【例 50】设总体X的概率密度为,01(),120,bxxf xaxx=其他,样本值为 0.5,0.8,1.5,1.5,则,a b的最大似然估计值为 ;(2)设总体X的概率密度为,01(;,),120,xf xx=其他,其中,(0,1)未知,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.记N为样本值12,nx xx中小于 1 的个数,则,的最大似然估计值为 .2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 16【详解】【详解】(1)由12013()122baf x dxbxdxaxdx+=+=+=,得23ba=.对样本值 0.5,0.8,1.5,1.5,似然函数为222()0.50.8(1.5)0.9(23)L abbaaa=两端取对数,得ln()ln0.92ln(23)2lnL aaa=+.令ln()2023dL abdaaa=+=,得a的最大似然估计值为13a=,故b的最大似然估计值为 231ba=.(2)由(;,)1f xdx+=,得1=.对样本值12,nx xx,似然函数为 11()1()(;)(1)(1)(1),0,1,1,2NNnn NNnNn NiiiiiiLf xxxxx+=个个 两端取对数,得ln()ln()ln(1)LNnN=+.令ln()()01LNnN=,得的最大似然估计值为Nn=,故的最大似然估计值为 11Nn=.【例例 51】设总体X在1N等可能取值,其中N为未知参数,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.(I)求N的矩估计量1N,并求11P N=;(II)求N的最大似然估计量2N,并求2N的概率分布.【详解】详解】(I)X的概率分布为 X 1 2 N P 1N 1N 1N 故 11(12)2NEXNN+=+=令12NX+=,得N的矩估计量为121NX=,故 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 17 1121212121111 1,1,1111nnnnP NPXP XP XXXnP XXXP XP XP XN=+=(II)设样本值为12,nx xx,则似然函数为 111(),1,1,2,niniL NxN inNN=由于()L N关于N单调递减,当12max,.,nNx xx=时,()L N取得最大值,故N的最大似然估计量为212max,.,nNXXX=.212121212121212max,.,max,.,max,.,1 ,1,1,1 111nnnnnnnP NkPXXXkPXXXkPXXXkP Xk XkXkP XkXkXkP Xk P XkP XkP XkP XkP Xk=1 ,1,2,nnkkkNNN=【例例 52】设总体X的概率密度为1,()0,xexf xx=为参数,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.(I)若已知,求未知参数的最大似然估计量;(II)若已知,求未知参数的最大似然估计量;(III)若,均未知,求,的矩估计量与最大似然估计量.【详【详解】解】(I)设样本值为12,nx xx,则似然函数为 11()11()(;),1,2,niinxiiniLf xexin=两端取对数,得 11ln()ln()niiLnx=令 21ln()1(0niidLnxd=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 18 得的最大似然估计量为X=.(II)设样本值为12,nx xx,则似然函数为 11()11()(;),1,2,niinxiiniLf xexin=由于()L关于单调递增,当12min,.,nx xx=时,()L取得最大值,故的最大似然估计量为12min,.,nXXX=.(III)0001()()xtttxEXxf x dxxedxtte dtte dte dt+=+=+=+22220222220001()()222xttttxEXx f x dxx edxtte dtt e dtte dte dt+=+=+=+令X+=,22211()niiXn=+=,得,的矩估计量为2211niiXXn=,2211niiXXXn=.设样本值为12,nx xx,则似然函数为 11()11(,)(;,),1,2,niinxiiniLf xexin =由于(,)L 关于单调递增,当12min,.,nx xx=时,(,)L 取得最大值,故的最大似然估计量为12min,.,nXXX=.似然函数两端取对数,得 11ln(,)ln()niiLnx=令 1ln,)1(0niiLnx=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 19 代入12min,.,nXXX=,得的最大似然估计量为12min,.,nXXXX=.重重点题型点题型二二 估计量估计量的评价的评价标标准准【例【例 53】设为的无偏估计,且lim0nD=,则为的【】(A)一致估计 (B)有效估计 (C)矩估计 (D)最大似然估计【详解详解】由切比雪夫不等式,任意0,有2()()1DPE.由E=,lim0nD=,得21lim 1lim1nnDP=,故lim1nP=,即P,故为的一致估计,应选(A).【例例 54】设总体11,22XU+,其中为未知参数,12,nXXX为来自总体X的简单随机样本,112max,.,nXXX=,212min,.,nXXX=,121()2=+.(I)求X的分布函数;(II)求 12,的概率密度;(III)判定是否为的无偏估计.【详解】【详解】(I)X的概率密度为111,()220,xf x+=其他 ,故X的分布函数为 1 0,2111()(),2221 1,2xxF xf t dtxxx=+(II)由最值函数的分布得 12,的概率密度为 1111111,()()()()()222 0,nnnn xxfxFxFxnFx f x+=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 20 2211111,()()11()1()()222 0,nnnnxxfxFxF xnF xf x+,故2比2S更有效.重重点题型点题型三三 置信区间与假设检验置信区间与假设检验(数数一一)【例【例 56】设12,nXXX为来自总体2(,)XN 的简单随机样本,2未知,样本均值为X,样本方差为2S,()tn为()t n分布的上分位点,则ue的置信度为1的置信区间为 .【详解】【详解】由于的置信度为1的置信区间为22(1),(1)SSXtnXtnnn+,即22(1)(1)1SSP XtnXtnnn+=,故22(1)(1)1SSXtnXtnnnP eee+=.【例例 57】设X为来自总体2(,)XN 的一个简单随机样本的样本均值,的置信度为1的置信区间的长度为 2.检验假设0:1H=,在显著性水平下接受0H,则【】(A)(1,1)X (B)(1,3)X (C)(2,2)X (D)(0,2)X 【详详解解】若2已知,的置信度为1的置信区间为22,XUXUnn+.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 22 由222Un=,得21Un=,当21XUn=,()tn满足()P Ttn=.【详解】【详解】由于此检验为单边假设检验,故排除(A);又因为2未知,故排除(B);(D)为00:H时的拒绝域,故选(C).

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