2022考研数学150之概率论（4-7）考研资料.pdf

2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第第四四章章 数字特征数字特征 重点题型重点题型一一 期望与期望与方差的计算方差的计算【例【例 28】将 3 个球放入 4 个盒子中，每个球放入每个盒子都是等可能的，则有球的盒子数X的期望 EX=.【详解】【详解】令1,1,2,3,40,iiXii=第 个盒子中有球第 个盒子中无球，则330133144iX，且41iiXX=，得34134 14iiEXEX=.【例例 29】设独立重复试验每次成功的概率为(01)pp，直到首次成功为止.若随机变量 1,1,Y=试验次数为奇数试验次数为偶数，则EY=.【详解】【详解】设首次成功的试验次数为X，则()XG p.由2011(1)2nnP YP Xppp=为奇数，得111122pP Ypp=，故 11222ppEYppp=.【例【例 30】设连续型随机变量X的分布函数为()F x，()YF X=，则2EY=.【详解【详解一一】设X的概率密度为()Xfx，则 22311()()()33XEYFx fx dxFx+=【详解【详解二二】由题设知0,1YU，得22111()1243EYDYEY=+=+=.【例【例 31】设随机变量X的概率密度为2141()xxf xe+=，则2792EXX=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 2【详详解解一一】22222122222771799()922211111912 922229 2xttttEXXxx f x dxxx edxtxttedttdetee+=+=+=1915222dt+=+=【详解【详解二二】由22121124211()122xxxf xee+=，知1 1,2 2XN，故 2277117999522244EXXEXEX=+=【例【例 32】设随机变量X与Y相互独立均服从2(0,)N，则max,EXY=.【详解】【详解】由题设得(,)X Y的联合概率密度为f x ye222221(,)2xy+=，故 22222220022002222max,max,(,)4max,(,)4 8(,)4 2xyyyyxyEXYxyf x y dxdyx y f x y dxdydyxf x y dxdyxedxxedyed+=2220004442 2yyedyyed+=【例【例 33】（1）设()XP，则3EX=；（2）设()XG p，则3EX=.【详【详解解】（1）32232323332320(1)(2)32(1)(2)32 (1)(2)3323!(3)!33!kkkkkkEXE X XXXXE X XXEXEXk kkeekkek=+=+=+=+=+=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 3（2）3221221242321(1)(2)32(1)(2)32111 (1)(2)(1)332661661 (1)kkkkEXE X XXXXE X XXEXEXpk kkpppppppppppppp=+=+=+=+=+=+【例例 34】在曲线22yxx=与x轴所围区域随机落点，设落点坐标为(,)X Y.（I）求落点到y轴的距离的概率密度与分布函数；（II）求落点到原点的距离的平方的期望.【详解】【详解】（I）设曲线22yxx=与x轴所围区域为D，则2204(2)3DSxxdx=，故(,)X Y的 联合概率密度为3,(,)(,)40,x yDf x y=其他.落点到y轴的距离为X，X的边缘概率密度为 222033(2),02()(,)44 0,x xXdyxxxfxf x y dy+=其他 分布函数为32 0,03(),0243 1,2XxxFxxxx=.（I）求1P XY；（II）求EZ.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 4【详解】【详解】（I）1X的概率密度为1,0()0,0 xXexfxx=.由指数分布的参数可加性知(9)YE，故Y的概率密度为99,0()0,0yYeyfyy=.由1X与Y相互独立，得1(,)X Y的联合概率密度为 199,0,0(,)()()0,xyXYexyf x yfx fy=其他 故 9101001(,)910 xyxxx yP XYf x y dxdye dxedyedx+=（II）910001(,)9100 xyxxx yEZxf x y dxdyxe dxedyxedx+=【评注评注】参数可加性：设X与Y相互独立.（1）若(,)XB m p，(,)YB n p，则(,)XYB mn p+；（2）若1()XP，2()YP，则12()XYP+；（3）若211(,)XN，222(,)YN，则221212(,)XYN+；（4）若2()Xm，2()Yn，则2()XYmn+；（5）若1()XE，2()YE，则12min,()X YE+.重重点题型点题型二二 协方差协方差与相关系数与相关系数的计的计算算【例例 36】设随机变量1 5,2 2XU，X表示不超过X的最大整数.（I）求D X；（II）求()D XX；（III）求X与 X的相关系数.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 5【详解】【详解】（I）X的概率密度为1 15,()2 220,xf x=其他 .【方法一】【方法一】由 55222112211 ()122E Xx f x dxx dxdxdx+=+=552222221122113()2222E Xxf x dxx dxdxdx+=+=得 221()2D XE XE X=【方法【方法二二】X的概率分布为 X 0 1 2 P 14 12 14 故 112124E X=+=，21134242E X=+=，221()2D XE XE X=（II）【方法一【方法一】由 5212512211221()()()()21111 (1)(2)2222E XXxxf x dxxx dxxdxxdxxdx+=+=5222212512222211221()()()()21111 (1)(2)2223E XXxxf x dxxxdxx dxxdxxdx+=+=得 221()()()12D XXE XXE XX=【方法【方法二二】由1 5,2 2XU，得32EX=，13DX=.由 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 6 5522211221115()()228E X Xx x f x dxx x dxxdxxdx+=+=得 3(,)()8Cov XXE X XEX E X=故 1()2(,)12D XXDXD XCov XX=+=（III）X与 X的相关系数为(,)3 68Cov XXDXD X=重重点题型点题型三三 相关相关与与独立独立的判定的判定【例例 37】设(,)X Y为二维随机变量，则下列结论正确的是【】（A）若X与Y不相关，则2X与2Y不相关（B）若2X与2Y不相关，则X与Y不相关（C）若X与Y均服从正态分布，则X与Y相互独立X与Y不相关（D）若X与Y均服从0 1分布，则X与Y相互独立X与Y不相关【详解】【详解】选（D），（A）（B）由不相关的几何直观意义可排除；（C）X与Y均服从正态分布，但是(,)X Y未必服从二维正态，也就未必X与Y独立与X与Y不相关等价；（D）设(1,)XBp，(1,)YBq，若()E XYEX EYpq=，则(,)X Y的联合概率分布为 X Y 0 1 0(1)(1)pq(1)pq 1 q 1(1)p q pq q 1p p 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 7 显然X与Y独立，反之亦成立，故应选（D）.【例【例 38】设随机变量0,2XU，sinYX=，sin()ZXa=+，其中0.2a.若Y与Z不相关，则a=.【详解】【详解】201sin02EYxdx=，201sin()02EZxadx=+=2011()sin sin()cos22E YZxxadxa=+=由Y与Z不相关，得()0E YZEY EZ=，即1cos02a=，故2a=或32.【例例 39】设随机变量(,)X Y的联合概率密度为1(1),1,1(,)4 0,xyxyf x y=其他，1,00,0XYUXY+=+，1,00,0XYVXY=.（I）证明X与Y不相互独立，但2X与2Y相互独立；（II）判别U与V是否相互独立；（III）求312P UVU+=与312P XYX+=.【详解】【详解】（I）X的边缘概率密度为 1111(1),11()(,)42 0,Xxy dyxfxf x y dy+=其他 同理Y的边缘概率密度为1,11()20,Yyfy=其他.由于(,)()()XYf x yfx fy，故X与Y不相互独立.令2X=，2Y=，则的分布函数为 2()F xPxP Xx=当0 x 时，()0F x=；当1x 时，()1F x=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 8 当01x时，()F xPxXxx=故的分布函数为 0,0(),01 1,1xF xxxx=同理的分布函数为 0,0(),01 1,1yFyyyy=(,)的联合分布函数为 22 0,00,01,01(,),01,1,1,01 1,1,1xyxyxyF x yPxyP Xx Yyxxyy xyxy=或 由于(,)()()F x yF x Fy=，故2X与2Y相互独立.（II）00111110,00,0(1)424xxP UVP XYXYdxxy dyxdx=+=故应选（C）.【例【例 41】设总体(1)XE，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则当n 时，211niiXne=依概率收敛于 .【详【详解解】由题设得1EX=，1DX=，22()2EXDXEX=+=.由辛钦大数定律，当n 时，22112nPiiXEXn=，故2112niiXPnee=.【评注评注】由辛钦大数定律，当n 时，11,1,2,nPkkkikiAXEXkn=.进一步：若g为连续函数，则1212(,)(,)Pkkg A AAg.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 10 第第六六章章 统计初步统计初步 重点题型重点题型一一 求统计量的抽样分布求统计量的抽样分布【例【例 42】设随机变量(0,1)XN，2(1)Y.对给定的(01)=，数)1(2满足2(1)P Y=，则=)1(205.0【】（A）025.0U （B）2025.0U （C）05.0U （D）205.0U【详解】详解】由0.0250.025P XU=，得220.0250.05P XU=.又22(1)X，故220.050.025(1)U=，应选（B）.【例【例 43】设随机变量1234,XXXX相互独立均服从(0,1)N，22122234XXYXX+=+.对给定的(01)=，则【】（A）11y y=（B）121y y=（C）1221y y=（D）1221y y=【详解】详解】由题设知2212XX+与2234XX+相互独立均服从2(2)，故 22122212222234342(2,2)2XXXXYFXXXX+=+由P Yy=，得(2,2)yF=，故11(2,2)(2,2)1y yFF=，应选（A）.【例【例 44】设总体2(,)XN，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，样本均值为X，样本方差为2S.若1nX+为对X的又一独立观测值，则11nXXnnS+服从 分布.【详解】【详解】由题设知2(,)XNn，21(,)nXN+，211(0,)nnXXNn+，1(0,1)1nXXUNnn+=+，222(1)(1)nSn与U相互独立，故 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 11 122(1)1(1)1nXXUnt nnSnSn+=+【例例 45】设总体2(0,)XN，12,XX为来自总体X的简单随机样本.（I）判定12XX+与12XX是否相互独立；（II）求1212XXXX+与212212()()XXXX+的分布；（III）求2212.E XX【详解【详解】（I）由于1X与2X相互独立，均服从2(0,)N，故2212(,)(0,0;,;0)XXN.又1212121111XXXXXX+=，且112011=，故1212(,)XXXX+服从二维正态分布.又 121212(,)0Cov XXXXDXDX+=故12XX+与12XX相互独立.（II）由212(0,2)XXN+，212(0,2)XXN，知12(0,1)2XXN+，12(0,1)2XXN，故2212(1)2XX.又122XX+与2122XX相互独立，故 1212212122(1)2XXXXtXXXX+=，212212()(1,1)()XXFXX+（III）由 222222244412200112242xxxxE XXxedxxedxed+=同理122E XX=，得 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 12 22212121212124()()E XXE XXXXE XXE XX=+=+=重点题型重点题型二二 求统计量的求统计量的数字特征数字特征【例例 46】设总体2(0,)XN，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，样本均值为X，样本方差为2S.若222(1)(01)cnXc Sc=+.（I）判定2是否为2的无偏估计；（II）求c的值，使得2D取得最小值.【详解】【详解】（I）由(0,1)nXN，222(1)nX，得221nXE=，222nXD=，故22EXn=，4222DXn=.由222(1)(1)nSn，得22(1)1nSEn=，22(1)2(1)nSDn=，故22ES=，4221DSn=.由于 2222(1)EcnEXc ES=+=故2为2的无偏估计.（II）由X与2S相互独立，知2X与2S相互独立，故 222222242(1)(1)21cDc n DXcDScn=+=+当1cn=时，2D取得最小值.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 13 第七第七章章 参数参数估计估计 重点题型重点题型一一 求求矩估计与矩估计与最大似然估计最大似然估计【例例 47】（1）设总体X的概率密度为2222231(;)2xf xx e=，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则2的矩估计量为 ；（2）设总体X的概率分布为,1,2,ln(1)mP Xmmm=，01未知，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则的矩估计量为 .【详解】【详解】（1）2(;)0EXxf xdx+=，2222222222233222222211(;)3221 332xxxxEXx f xdxx dex ex edxxedx+=令22113niiXn=，得2的矩估计量为22113nMiiXn=.（2）111ln(1)ln(1)1mmmEXmP Xm=22111121ln(1)ln(1)1 ()ln(1)ln(1)(1)mmmmmmmmEXm P Xmm=由21EXEX=，得21EXEX=，故的矩估计量为1122111111nniiiinniiiiXXnXXn=.【例【例 48】设总体(1,)XBp，样本值为 1，1，1，0，则2DX的矩估计值为 .【详【详解】解】令EXX=，得p的矩估计值为34p=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 14 由24222()(1)DXEXEXpppp=或2(1,)XBp，2(1)DXpp=，得2DX的矩估计值为3(1)16pp=.【例【例 49】（1）设总体()XG p，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则EX的最大似然估计量为 ；（2）设lnYX=的概率密度为,0(;)0,0yeyf yy=未知，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则EX的最大似然估计量为 ；（3）设总体X的概率密度为1,01(;)0,xxf x未知，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，则1Ue=的最大似然估计量为 ；（4）设总体(,1)XN，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，求2P X=的最大似然估计值为 .【详解】详解】（1）对样本值12,nx xx，似然函数为1()(1)niixnnL ppp=两端取对数，得1ln()lnln(1)niiL pnpxnp=+.令 1ln()101niidL pnxndppp=得p的最大似然估计量为1 pX=.又1EXp=，故EX的最大似然估计量为1Xp=.（2）令ln,1,2,iiyx in=，似然函数为11()(;)niinyniiLf ye=.两端取对数，得1ln()lnniiLny=.令1ln()0niidLnyd=，得的最大似然估计量为11lnnniiiinnYX=.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 15 又(1)0()1YyyYEXEee fy dyedy+=故EX的最大似然估计量为11lnniinnX=.（3）对样本值12,nx xx，似然函数为1111()nnniiiiLxx=.两端取对数，得1ln()ln(1)lnniiLnx=+.令1ln()ln0niidLnxd=+=，得的最大似然估计量为1lnniinx=，故1Ue=的最大似然估计量为111lnniiXnee=.（4）的最大似然估计值为x=.又2121(2)P XP X=，故的最大似然估计值为 1(2)1(2)x=.【评注】【评注】参数估计的不变性：（1）若为的矩估计，()g x为连续函数，则()g为()g的矩估计；（2）若为的最大似然估计，()g x为单调函数，则()g为()g的最大似然估计.【例【例 50】设总体X的概率密度为,01(),120,bxxf xaxx=其他，样本值为 0.5，0.8，1.5，1.5，则,a b的最大似然估计值为 ；（2）设总体X的概率密度为,01(;,),120,xf xx=其他，其中,(0,1)未知，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.记N为样本值12,nx xx中小于 1 的个数，则,的最大似然估计值为 .2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 16【详解】【详解】（1）由12013()122baf x dxbxdxaxdx+=+=+=，得23ba=.对样本值 0.5，0.8，1.5，1.5，似然函数为222()0.50.8(1.5)0.9(23)L abbaaa=两端取对数，得ln()ln0.92ln(23)2lnL aaa=+.令ln()2023dL abdaaa=+=，得a的最大似然估计值为13a=，故b的最大似然估计值为 231ba=.（2）由(;,)1f xdx+=，得1=.对样本值12,nx xx，似然函数为 11()1()(;)(1)(1)(1),0,1,1,2NNnn NNnNn NiiiiiiLf xxxxx+=个个 两端取对数，得ln()ln()ln(1)LNnN=+.令ln()()01LNnN=，得的最大似然估计值为Nn=，故的最大似然估计值为 11Nn=.【例例 51】设总体X在1N等可能取值，其中N为未知参数，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.（I）求N的矩估计量1N，并求11P N=；（II）求N的最大似然估计量2N，并求2N的概率分布.【详解】详解】（I）X的概率分布为 X 1 2 N P 1N 1N 1N 故 11(12)2NEXNN+=+=令12NX+=，得N的矩估计量为121NX=，故 2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 17 1121212121111 1,1,1111nnnnP NPXP XP XXXnP XXXP XP XP XN=+=（II）设样本值为12,nx xx，则似然函数为 111(),1,1,2,niniL NxN inNN=由于()L N关于N单调递减，当12max,.,nNx xx=时，()L N取得最大值，故N的最大似然估计量为212max,.,nNXXX=.212121212121212max,.,max,.,max,.,1 ,1,1,1 111nnnnnnnP NkPXXXkPXXXkPXXXkP Xk XkXkP XkXkXkP Xk P XkP XkP XkP XkP Xk=1 ,1,2,nnkkkNNN=【例例 52】设总体X的概率密度为1,()0,xexf xx=为参数，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本.（I）若已知，求未知参数的最大似然估计量；（II）若已知，求未知参数的最大似然估计量；（III）若,均未知，求,的矩估计量与最大似然估计量.【详【详解】解】（I）设样本值为12,nx xx，则似然函数为 11()11()(;),1,2,niinxiiniLf xexin=两端取对数，得 11ln()ln()niiLnx=令 21ln()1(0niidLnxd=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 18 得的最大似然估计量为X=.（II）设样本值为12,nx xx，则似然函数为 11()11()(;),1,2,niinxiiniLf xexin=由于()L关于单调递增，当12min,.,nx xx=时，()L取得最大值，故的最大似然估计量为12min,.,nXXX=.（III）0001()()xtttxEXxf x dxxedxtte dtte dte dt+=+=+=+22220222220001()()222xttttxEXx f x dxx edxtte dtt e dtte dte dt+=+=+=+令X+=，22211()niiXn=+=，得,的矩估计量为2211niiXXn=，2211niiXXXn=.设样本值为12,nx xx，则似然函数为 11()11(,)(;,),1,2,niinxiiniLf xexin =由于(,)L 关于单调递增，当12min,.,nx xx=时，(,)L 取得最大值，故的最大似然估计量为12min,.,nXXX=.似然函数两端取对数，得 11ln(,)ln()niiLnx=令 1ln,)1(0niiLnx=+2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 19 代入12min,.,nXXX=，得的最大似然估计量为12min,.,nXXXX=.重重点题型点题型二二 估计量估计量的评价的评价标标准准【例【例 53】设为的无偏估计，且lim0nD=，则为的【】（A）一致估计 （B）有效估计 （C）矩估计 （D）最大似然估计【详解详解】由切比雪夫不等式，任意0，有2()()1DPE.由E=，lim0nD=，得21lim 1lim1nnDP=，故lim1nP=，即P，故为的一致估计，应选（A）.【例例 54】设总体11,22XU+，其中为未知参数，12,nXXX为来自总体X的简单随机样本，112max,.,nXXX=，212min,.,nXXX=，121()2=+.（I）求X的分布函数；（II）求 12,的概率密度；（III）判定是否为的无偏估计.【详解】【详解】（I）X的概率密度为111,()220,xf x+=其他 ，故X的分布函数为 1 0,2111()(),2221 1,2xxF xf t dtxxx=+（II）由最值函数的分布得 12,的概率密度为 1111111,()()()()()222 0,nnnn xxfxFxFxnFx f x+=2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 20 2211111,()()11()1()()222 0,nnnnxxfxFxF xnF xf x+，故2比2S更有效.重重点题型点题型三三 置信区间与假设检验置信区间与假设检验（数数一一）【例【例 56】设12,nXXX为来自总体2(,)XN 的简单随机样本，2未知，样本均值为X，样本方差为2S，()tn为()t n分布的上分位点，则ue的置信度为1的置信区间为 .【详解】【详解】由于的置信度为1的置信区间为22(1),(1)SSXtnXtnnn+，即22(1)(1)1SSP XtnXtnnn+=，故22(1)(1)1SSXtnXtnnnP eee+=.【例例 57】设X为来自总体2(,)XN 的一个简单随机样本的样本均值，的置信度为1的置信区间的长度为 2.检验假设0:1H=，在显著性水平下接受0H，则【】（A）(1,1)X （B）(1,3)X （C）(2,2)X （D）(0,2)X 【详详解解】若2已知，的置信度为1的置信区间为22,XUXUnn+.2 20 02 22 2 考考研数学研数学满分过关满分过关 1 15050 22 由222Un=，得21Un=，当21XUn=，()tn满足()P Ttn=.【详解】【详解】由于此检验为单边假设检验，故排除（A）；又因为2未知，故排除（B）；（D）为00:H时的拒绝域，故选（C）.