150之线性代数无答案版考研资料.pdf

2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 01第第一一章章行行列列式式重重点点题题型型行行列列式式的的计计算算【例例 1】设12312,均为 4 维列向量，1231(,)A ，3122(,)B .若1A，2B，则2AB.【详详解解一一】因为132132122(2,2,2,2)AB ，则有1321321132132222,2,2,2,2,2,2AB ，又1321321123112000120(2,2,2,)(,)20100001 ，于是有1321321120001202,2,2,20100001A 7.1321322312220101200(2,2,2,2)(,)01200002 ，有1321322201012002,2,2,22801200002B ，所以27(28)21AB .【详详解解二二】（特特值值法法）令1000010000100001A，0100001010000002B则2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 021200012022120100003AB第第二二章章矩矩阵阵重重点点题题型型一一求求高高次次幂幂【例例 2】设A为 3 阶矩阵，(9,18,18)Tb，非齐次线性方程组Axb的通解为12(2,1,0)(2,0,1)(1,2,2)TTTkk，其中12,k k为任意常数，求A与100A.【详详解解】由2100A，2001A 知12(2,1,0),(2,0,1)TT 为矩阵A属于特征值120的两个线性无关的特征向量.由191218922182A知3(1,2,2)T为矩阵A属于特征值39的特征向量.令123(,)P ，则1009P AP 得122102541221102024524490129122244AP P故2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 03100100199100221025412211020245924490129122244APP或9910099122()9244244Atr AA重重点点题题型型二二逆逆的的判判定定与与计计算算【例例 3】设,A B为n阶矩阵.（I）若A与ABE 可逆，证明BAE 可逆；（II）若ABE 可逆，证明BAE 可逆；【证证明明】（I）方法一：11111()|()0EBAA ABAAB AABAA ABA ABEAB故BAE 可逆.方法二：因为A可逆，1()AAB ABA，ABBA，EABEBA，ABE 可逆，则BAE 可逆.（II）因为EAB可逆，所以存在可逆矩阵C，()EAB CE，CABCE左乘B右乘A，得BCABABCABA，()()EBA BCAEBAE()()EBA BCAEE，因此EBA可逆，且1()EBABCAE.【例例 4】设,A B为n阶方阵，且(0)ABaAbB ab.证明：（I）ABBA；（II）()()r Ar B；（III）,A B的特征向量相同.【详详解解】（I）由(0)ABaAbB ab，得()()AbE BaEabE1()()AbE BaEEab，1()()BaEAbEEab所以BAaAbB，ABBA.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 04（II）()()();ABaAbBbBA BaEr Br bBr A BaEr A()()();ABaAbBaAAbE Br Ar aArAbE Br B故()().r Ar B（III）设是B的特征值，是B的属于特征向量，即,0B,则0,0,aAbBABaAbA 即(),a Ab若a，则0，矛盾，故a，则,bAa即是A的特征向量.又aAbBBA，A的特征向量也是B的特征向量.重重点点题题型型三三秩秩的的计计算算与与证证明明【例例 5】对于二阶矩阵A，则1()EAEA是5AO的（A）必要条件（B）充分条件（C）充要条件（D）无关条件【详详解解】首先1222()()()0EAEAEA EAEEAEA充分性：20A，显然5230AAA必要性：50A，550AA，0A 所以()2r A，()0r A 或()1r A.1）()0r A，0A，20A 2）()1r A，54()0Atr AA，()0tr A，2()0Atr AA.故选（C）【例例 6】（南开大学 2017）设A为3 2阶矩阵，B为2 3阶矩阵，满足822254245AB，求BA.【详详解解】2()()2r ABr A，故()2r A，同理()2r B.1222449244ABE2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 05令122244244C，则()1r C，得29CC，即2(9)9(9)ABEABE，故2()9ABAB，即9ABABAB，故90909BAE.（全国大学生 2012 年竞赛题）设,A B分别为32,23阶矩阵，满足8043962201AB，求BA.（华东师范大学 2013）设,A B分别为42,24阶矩阵，满足1010010110100101AB，求BA.重重点点题题型型四四关关于于伴伴随随矩矩阵阵【例例 7】设()ijAa为 3 阶非零矩阵，ijA为ija的代数余子式，2(,1,2,3)ijijAa i j，则A.【详详解解】由2(,1,2,3)ijijAa i j23*3222111112121313111213112,2,2,2,80()2220(0)TTTAAAAAAA EAAA EAAAAAa Aa Aa Aaaaa或舍不防设【例例 8】设0001200037211001210011200A，则*A.【详详解解】OCABO，AB C，111OBACO211121112B，1 1 11 1 11 1 1BEDE，DBE2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 0623DD，23BEBE，2540BBE，(5)4B BEE，13115113144113BEB ，2111214112B 1237C，17231C，12137C 11*111*003110013100113288000124000OC B BOBAA AB CB C COCOOC BB CO【评评注注】分块矩阵伴随*1*111*1ACACACB AA CBAA CBA BOBOB OBOA BOB*1*1*111AOAOAOB AOAOA BCBCB CBB CAA BB CAB*1*1*111(1)(1)mnmnCACA CAOA BOBA BBOBOBOB AA CBAA CB *1*111*1(1)(1)mnmnOAOA OAB CAA BB CABA BBCBCBCB AOAO 第第三三章章向向量量重重点点题题型型一一线线性性表表示示的的判判定定与与计计算算【例例 9】设1234,均为 3 维非零列向量，则下列结论错误的是【】（A）若4不能由123,线性表示，则123,线性相关（B）若123,线性相关，234,线性相关，则124,也线性相关2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 07（C）若3不能由12,线性表示，4不能由23,线性表示，则1可以由234,线性表示（D）若112234142434(,)(,)rr ，则4可以由123,线性表示【详详解解】例如1(1,0,0)T，2(0,1,0)T，3(0,2,0)T，4(0,0,1)T，可知（B）不正确，应选（B）.关于（A）：如果123,线性无关，又因1234,是 4 个 3 维向量必线性相关，而知4必可由123,线性表示.关于（C）：由已知条件，有（）12123(,)(,)rr ，（）23234(,)(,)rr .若23(,)1r，则必有12123(,)(,)rr ，与条件（）矛盾，故必有23(,)2r，那么由（）知234(,)3r ，从而1234(,)3r .因此1可以由234,线性表示.关于（D）：经初等变换有112231223(,)(,)123(,)，414243441231234(,)(,)(,)，从而1231234(,)(,)rr .因而4可由123,线性表示【例例 10】设向量组（I）123(1,0,1),(1,1,2),(1,2,)TTTa；向量组（II）12(1,2,1),(1,0,)TTb.（1）当,a b为何值时，向量组（II）可由向量组（I）线性表示，并求出表示式；（2）设11101212Aa，11201Bb.当,a b为何值时，矩阵方程AXB有解，并求出所有解.【详详解解】（1）对12312(,)作初等行变换，123121111111111(,)012200122012100301abab 2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 08当3a 时，12,均可由123,唯一线性表示，解得11232，212312(1)11333bbbaaa.当3a，1b 时，12,均可由123,线性表示且表示不唯一，解得1111213(3)(22)kkk，2212223(1)2kkk，其中12,k k是任意常数.（2）由矩阵方程AXB，将X，B以列分块，设12(,)X，12(,)B，得1212(,)(,)A 即,1,2iiAi.由（1）知，当3a 时，AXB有唯一解，且13132(1)23103babXaba；当3a，1b 时，AXB无穷多解，且12121231222kkXkkkk，其中12,k k是任意常数.【例例 11】设2121,均为 3 维列向量，21,线性无关，21,线性无关.（I）证明：存在非零列向量，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示；（II）若1212(1,2,1),(2,5,3),(2,3,1),(1,0,3)TTTT，求所有既可由21,线性表示，又可由21,线性表示的向量.【详详解解】（I）4 个 3 维向量1212,必线性相关，故存在不全为零的数1212,k k l l，使得022112211llkk于是22112211llkk此时112211220kkll，否则由21,线性无关，21,线性无关，得1212,k k l l全为零，与1212,k k l l不全为零矛盾.令22112211llkk，则0，既可由21,线性表示，又可由21,线性表示.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 09（II）设11223142xxxx，即112231420 xxxx，对1212(,)作初等行变换，121212211001(,)2530010113130011 其中4x为自由未知量，可以任意取值.令4xu，得1212,xu xu yu yu，故1232uuuuu，其中u为任意常数.重重点点题题型型二二线线性性相相关关与与线线性性无无关关的的判判定定【例例 12】设123,均为 3 维向量，30，则对任意常数,k l，向量组1323,kl 线性无关是向量组123,线性无关的【】（A）必要非充分条件（B）充分非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件【详详解解】充分性反证法：向量组123,线性相关，则31122,tt向量组1323111222112211221122121212,1,11,1klk ttl ttktktltltktktltlt 1212121,101ktktCCktltltlt 存在,k l使得0C，从而1323,kl 相关，矛盾，故123,无关.必要性：设113223()()0kl 则1122123()0kl 由123,线性无关，得120，从而1323,kl 线性无关，故应选（C）.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 010【例例 13】设齐次线性方程组11 112213314421 122223324400a xa xa xa xa xa xa xa x有基础解系111121314(,)Tbbbb，221222324(,)Tbbbb.记111121314(,)Taaaa，221222324(,)Taaaa，证明向量组1212,线性无关.【详详解解】由题设知112244(,)2TTrr，得12(,)2r，故12,线性无关，且0(,1,2)Tiji j.设存在1234,k k k k，使得112231420kkkk（*）（*）式两边左乘(1,2)Tii，得11121212122200TTTTkkkk （*）其系数矩阵为1112112121221222(,)(,)(,)TTTTTTT 由()()Tr Ar A A，得1112122122(,)2TTTTrr ，故方程只有零解，得120kk.将120kk代入（*）式，由12,线性无关，得340kk，故1212,线性无关第第四四章章线线性性方方程程组组重重点点题题型型一一解解的的判判定定【例例 14】设,为n维单位列向量，P为n阶可逆矩阵，则下列方程组中只有零解的是【】（A）()0TEx（B）1()0TTP Px（C）1()0TTPPx（D）()0TEx【详详解解】应选（D）.由,为n维单位列向量，得1TT .2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 011方法一：（A）不正确，当0 x时，()()0TTE ；（B）不正确，当0 xP时，1()()()0TTTTP PPPP ；（C）不正确，当10 xP时，1111()()()0TTTTPPPPP ，故应选（D）.方法二：令(1,0,0)T，则0()101TExx有非零解，排除（A）；令(1,0,0)T，PE，可排除（B）；令(1,0,0)T，PE，可排除（C），故应选（D）.方法三：2TT，2DEDE，232DDE，因此D可逆，且11(3)2DDE，故方程组()0TEx只有零解，应选（D）.方法四：由特征值的性质知T的特征值11T，20n，从而TE的特征值为 2，1，1，故TE可逆，因此方程组()0TEx只有零解，故应选（D）.重重点点题题型型二二求求齐齐次次线线性性方方程程组组的的基基础础解解系系与与通通解解【例例 15】已知5 4矩阵1234(,)A ，若1(3,1,2,1)T，2(0,1,0,1)T是齐次线性方程组0Ax 的基础解系，那么下列命题13,线性无关；1可由23,线性表示；34,线性无关；11234(,)3r 中正确的是【】（A）（B）（C）（D）【详详解解】由12,是齐次方程组0Ax 的解，有11234123431(,)32021A （1）2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 012212342401(,)001A （2）（1）（2）得13320或123203，故命题错误，命题正确.由12,是齐次方程组0Ax 的基础解系，知()2nr A，那么1234(,)()2rr A ，如果34,线性相关，则43k，又1323，24，与秩1234(,)2r 相矛盾，故命题正确.用排除法知错误，当然也可用初等变换判断出1123412(,)(,0)2rr ，可知命题错误.综上分析，可知应选（C）.【例例 16】设1010111001Aaa.（I）当,a b为何值时，(1,1,)Tb a可由A的列向量组线性表示，并求出表示式；（II）求线性方程组()0TA A x 的通解；（III）讨论二次型123(,)()TTf x x xxA A x的正定性.【详详解解】（I）令123(,)A ，对()A作初等行变换，1011101101110111()100010010001Aabaaab当1b 且1a 时，10010101()00100000A()()3r Ar A，方程组112233xxx有唯一解，11x，21x，30 x，可由123,唯一线性表示，表示式为12.当1b 且1a 时，2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 01310110111()00000000A()()23r Ar A，方程组112233xxx无穷多解，令3xk，得121xxk，可由123,线性表示，但表示不唯一，表示式为123(1)(1)kkk，其中k为任意常数.（II）【方方法法一一】22201011113TaA Aaaaaa由22(1)(3)0TA Aaa，得1a .当1a 时，0TA A，()3Tr A A，()0TA A x 只有零解；当1a 时，对TA A作初等行变换，202101022011224000TA A()0TA A x 的基础解系为(1,1,1)T ，通解为k，其中k为任意常数.【方方法法二二】由于()0TA A x 与0Ax 同解，只需求0Ax 的通解.对A作初等行变换，1011010110111000101000Aaaa当1a 时，()3r A，0Ax 只有零解；当1a 时，0Ax 的基础解系为(1,1,1)T ，通解为k，其中k为任意常数.（III）【方方法法一一】由2220101+1113TaA Aaaaaa，顺序主子式2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 0142222222012020,2(1)0,01+1(1)(3)01113aaaaaaaaaa，当1a 时，222220101+1(1)(3)0113aaaaaaaa，故二次型正定.当1a 时，222220101+1(1)(3)0113aaaaaaaa故二次型不正定.【方方法法二二】由正定的定义知()TTxA A x正定0，有()()()0TTTA AAA0，有0A0Ax 只有零解故当1a 时，二次型正定，当1a 时，二次型不正定.重重点点题题型型三三求求非非齐齐次次线线性性方方程程组组的的通通解解【例例 17】设 4 阶矩阵1234(,)A ，其中123,线性相关，234,线性无关.若(1,2,3,)Ta为齐次方程组0Ax 的解.（I）求a；（II）若(2,)Tb c d是Ax的解，1234，求,b c d.【详详解解】（I）由234,线性无关，知23,线性无关.又123,线性相关，故1可23,唯一线性表示.由0A，即123412(,)03a ，得1234230a，故0a.若0a，可得234,线性相关，矛盾.（II）由()3r A，知0Ax 的基础解系中只有一个解，故1230 为其基础解系.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 015又1111A ，故Ax的通解为11213101k ，从而12213101kkbkcd ，得3b，4c，1d.【例例 18】设1234,均为 4 维列向量，123,线性无关，41232，非齐次线性方程组12231234(,)tx 有无穷多解.（I）求t的值；（II）求方程组的通解.【详详解解】（I）记123(,)A ，1223123(,)Bt，123101(,)11011BtAC ，10111011Ct 由于4Bx有无穷多解，故()3r B，而()3r A，故有0C，从而2t.（II）由于412311(,)1122A ，所以4Bx即为112ACxA .又因为()3r A，故4Bx同解于112Cx ，即10111110112tx .101110111121011201120000C 所以4Bx的通解为111210 xk .【例例 19】设 4 阶矩阵1234(,)A ，非齐次线性方程组Ax的通解为(1,2,4,0)(1,2,2,1)TTk，其中k为任意常数.若3214(,)B ，求线性方程组123Bx的通解.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 016123412(,)040 得123240.由4()1r A，得()3r A，故124,线性无关.由123412(,)21 得123422.由3214321123()(,)(,22)2r Brr 知对应齐次线性方程组0Bx 的基础解系中有4()2r B个线性无关的解.321123(,22)0 x 的基础解系为1(4,2,1,0)T，2(2,2,1,1)T.321123123(,22)x 的特解为(1,1,1,0)T，故123Bx的通解为1 122kk，其中12,k k为任意常数.【例例 20】设 3 阶矩阵123(,)A ，非齐次线性方程组Ax的通解为(2,1,1)(1,2,0)TTk，其中k为任意常数.若1233(,5)B ，求线性方程组3By的通解.【详详解解】由题设得1231(,)20 ，1232(,)101 即122，12320，且3()1r A，即123()(,)2r Ar ，从而1233123123()(,5)(,25)2r Brr ，故齐次方程0Bx 的基础解系中有4()2r B个解.由2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 01712312312321(,25)2010 12312312(,25)051 知0Bx 的基础解系为1(2,1,1,0)T，2(1,2,5,1)T.由1233123312(,5)210 知(1,2,1,0)T是3Bx的特解.方程3By的通解是1 122kk，其中12,k k为任意常数.重重点点题题型型四四解解矩矩阵阵方方程程【例例 21】设110011001A，若存在矩阵X，满足AXXA，则称X与A可交换.试求出所以与A可交换的矩阵.【详详解解】110100010011010001001001000AEB.设111213212223313233xxxXxxxxxx与A可交换，则AXXABXXB.其中111213212223212223313233313233010001000000 xxxxxxBXxxxxxxxxx，2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 018111213111221222321223132333132001000010000 xxxxxXBxxxxxxxxxx.由BXXB推出，21313211223312230,0,0,xxxxxxxx，从而所有与A可交换的矩阵形如111213111211000 xxxXxxx，其中111213,xxx为任意常数.重重点点题题型型五五公公共共解解的的判判定定与与计计算算【例例 22】（公公共共解解的的计计算算）设A为24阶矩阵，线性方程组0Ax 的基础解系为12(1,3,0,2),(1,2,1,3)TT，线性方程组0Bx 的基础解系为12(1,1,2,1),(0,3,1,)TTa.（I）求满足条件的一个矩阵A；（II）若方程组0Ax 与0Bx 有非零公共解，求a的值及所有的非零公共解.【详详解解】（I）记12(,)C，则12(,)ACAO，从而TTC AO，故矩阵TA的列向量即矩阵A的行向量是齐次线性方程组0TC x 的解.对TC作初等行变换1213021035(,)12130111T 得0TC x 的基础解系1(3,1,1,0)T，2(5,1,0,1)T，所以满足题设的其中一个矩阵A为31105101A（II）若齐次线性方程组0Ax 与0Bx 的非零公共解，则既可由12,线性表示，也可由12,线性表示，设11223142xxxx，则112231420 xxxx.对1212(,)作初等行变换，12121110111032130123(,)01210011231000aa 2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 019由0，知1234,x x x x不全为零，从而1212(,)4r ，故0a.121210020101(,)00110000 令4xk，3xk，2xk，12xk，因此0Ax 与0Bx 的公共解为122(1,4,1,1)Tkkk，其中k为非零常数.重重点点题题型型六六同同解解的的判判定定与与计计算算【例例 23】设A，B为n阶方阵，若线性方程组0Ax的解都是0Bx的解，则下列方程中与0Ax同解的个数为【】0)(xBA0ABx0BAx0 xBABA0 xBA（A）1（B）2（C）3（D）4【详详解解】由0Ax 的解都是0Bx 的解，知0Ax 与0AxB同解.又ABAABB行，故0AxB与0ABxAB同解，故应选（B）.【例例 24】设线性方程组（I）123123135xxxxxxa与（II）12312323424(1)xxbxxxbxc同解，求,a b c的值及方程组的同解.【详详解解】联立（I）、（II），对增广矩阵作初等行变换，111111113510122234002272410016abbbabcbc2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 020由（I）与（II）同解，知（I）、（II）及联立后的方程组增广矩阵的秩均为 2，得7a，1b，6c.对（I）的增广矩阵作初等行变换，1111102135 170112对应齐次线性方程组的基础解系为(2,1,1)T ，（I）的特解为(1,2,0)T，通解（同解）为k，其中k为任意常数.【例例 25】设A为n阶矩阵，为n维列向量.证明：（I）若存在正整数m，使得0mA，10mA，则向量组,mAA线性无关；（II）线性方程组0nA x 与10nAx同解；（III）1()()nnr Ar A.【详详解解】设为齐次方程的解，先证（1）的解是（2）的解.若0nA，则1()0nnAA A，即若是（1）的解，则必是（2）的解.再证（2）的解也是（1）的解，若10nA，反证设0nA，对于向量组2,(0,1,2,)nAAAnn，则若2120nnkk Ak Ak A，两边同乘nA，并代入10nA，20,nA，得0nkA.因为0nA，所以0k，依次左乘1nA，可得10k，左乘2nA，可得20,k 即可得2,nAAA线性无关，但已知1n个n维向量必线性相关，得出矛盾，故10nA时，必有0nA，即（1）与（2）同解，从而1()()nnnr Anr A，故1()()nnr Ar A.第第五五章章特特征征值值与与特特征征向向量量重重点点题题型型一一特特征征值值与与特特征征向向量量的的计计算算【例例 26】设A为 3 阶矩阵，1(1,1,0)T，2(1,0,1)T为矩阵A属于特征值121,2的特征向量，(1,1,2)T，则2A.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 021【详详解解】应填(7,1,8)T.由于12111101(,)101012012000 所以122，从而2222121212(2)28(7,1,8)TAAAA【例例 27】设TTA，其中,为 3 维单位正交的列向量，则A的特征值为.【证证明明】由()()()()1 123TTTTr Arrr 得0A，故 0 为A的特征值.由题设知1TT ，13TT ，得13TTA ，13TTA 4()()(0)3A，2()()(0)3A 故，分别为A的特征值43和23的特征向量.【例例 28】设,A B为n阶矩阵，且()()r Ar Bn.证明：（I）0为,A B的特征值；（II）0Ax 与0Bx 的基础解系组成的向量组线性相关；（III）,A B有公共特征向量.【详详解解】（I）由()()r Ar Bn，知()r An，()r Bn，因此有0AB，故0为,A B相同的特征值.（II）设()r As，()r Bt，0Ax 的基础解系为12,n s，0Bx 的基础解系为12,n t，由于()()nsntn，故向量组1212,n sn t 必线性相关.（III）由1212,n sn t 线性相关知，存在不全为零的1212,n sn tk kkl ll使112211220n sn sn tn tkkklll，2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 022【例例 29】设,A B是n阶矩阵.证明：（I）ABBA与有相同的特征值；（II）若A有n个互异的特征值且A的特征向量也是B的特征向量，则ABBA.【证证明明】（I）设是矩阵AB属于特征值的特征向量，即()AB等式两边左乘B，得()()()BA BB若0B，则是矩阵BA的特征值.若0B，则()0AB从而0，于是|0ABA BBA所以0也是矩阵BA的特征值，故矩阵AB的特征值都是矩阵BA的特征值.同理可证BA的特征值都是AB的特征值，因此ABBA与有相同的特征值.（II）因为A有n个互异特征值12,n，所以A有n个线性无关的特征向量12,n，即iiiA，1,2,in.由iiiB，1,2,in，得()iiiiiiBAB iAB.对于n维向量空间nR中的任一向量，必存在唯一的12,nk kk，使1 122nnkkk.从而111()()nnniiiiiiiiiiiBABAkkABkAB，所以ABBA.【评评注注】设,A B为n阶矩阵，则()()()tr ABtr Atr B，()()tr kAk tr A，()()tr ABtr BA，()()Ttr Atr A.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 023重重点点题题型型二二相相似似的的判判定定与与计计算算【例例 30】设 3 阶矩阵A有三个不同的特征值123,，对应的特征向量分别为123,.若123.（I）证明不是A的的特征向量；（II）证明2,AA线性无关；（III）若32AA，求A的特征值，并计算2AE.【详详解解】（I）反证法：设是A的的特征向量，则123123123112233112233,()()()()()0AAA 123,不全为 0，则123,线性相关，矛盾，故不是A的的特征向量.（II）由(1,2,3)iiiAi，得1231231122332222212233112233()()()AAAAAAA AA 【方方法法一一】（定定义义法法）设存在123,k k k，使得21230kk Ak A，即222112321122333112233222121311122322123333()()()()()()0kkkkkkkkkkkk 由123,线性无关，得212131212232212333000kkkkkkkkk又21122212321313222223312311111()()()01故方程组只有零解，即1230kkk，故2,AA线性无关.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 024【方方法法二二】（矩矩阵阵的的秩秩）21122123222331(,)(,)11AA 又21122212321313222223312311111()()()01故2,AA线性无关.（III）令2(,)PAA，则P可逆，得223222000(,)(,)(,)(,)100011APAAAAAAAAAAA故1000100011P AP.记000100011B，则AB0BE，解得1230,0,1，故A的特征值为 0，0，1，2AE的特征值为 2，2，3，212AE.【例例 31】设200001010A，100010062B，判定,A B是否相似.若相似，求可逆矩阵P，使得1P APB.【详详解解】由A的特征方程20001(2)(1)(1)001AE 得A的特征值12，21，31.当12时，解(2)0AE x，得特征向量1(1,0,0)T；当21时，解()0AE x，得特征向量2(0,1,1)T；当31 时，解()0AE x，得特征向量3(0,1,1)T.2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 025B的特征值为12，21，31.当12时，解(2)0BE x，得特征向量1(0,0,1)T；当21时，解()0BE x，得特征向量2(1,0,0)T；当31 时，解()0BE x，得特征向量3(0,1,2)T.令1123(,)P ，2123(,)P，则111122200010001P APPBP得111112 1121212()()PP APPPPA PPB.先求12P，2010100100021()001010010100102001001010PE令1112100010100021021011001011100110011102011010110PPP则1P APB.【方方法法二二】令123(,)P ，则1123123(,)(,)P APBAPPBAB 即1122333,6,2AAA，亦即12330,6,20AEAEAE 100100011011011000AE解得1011 0000102021001012000AE解得3100 330061002(6)0110011001100000AE解得2021010k2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 026故021110110P【2019，数数一一、数数二二、数数三三】设22122002Ax与21001000By相似.（I）求,x y；（II）求可逆矩阵P使得1P APB.【例例 32】设211212112A，100011001B，求可逆矩阵P，使得1P APB.【详详解解】由题设知100011001APP，设123(,)P ，123123100(,)(,)011001A ，从而有11A，22A，323A，即有1()0AE，2()0AE，32()AE.由于111000000AE行，可取1110 ，1221212111001kkkkkk ，代入后有12122112211111122200021110000kkkkAEkkkk行，为使方程有解，必须有1220kk，可取12k，21k ，得2(1,2,1)T，进而解得3(1,0,0)T，故111120010P（注：本题中可逆矩阵P不唯一）.重重点点题题型型三三相相似似对对角角化化的的判判定定与与计计算算【例例 33】设abAcd，则下列条件不是A相似于对角矩阵的充分条件的是【】（A）0A（B）,b c同号（C）bc（D）,b c异号【详详解解】应选（D）.当bc时，A为实对称矩阵，可以相似对角化，故（C）是充分条件；2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 027A的特征方程为2()0abEAadadbccd当0adbc时，2()4()0adadbc，A有两个不同的特征值，可以相似对角化，故（A）是充分条件；当,b c同正或同负时，2()40adbc，A有两个不同的特征值，可以相似对角化，故（B）是充分条件；当,b c异号时，2()4adbc 可能会等于零，此时A有二重特征值.例如，1111A，1b ，1c，,b c异号，211011EA，120，但(0)1rEA，A的线性无关的特征向量只有一个，从而A不可以相似对角化，故（D）不是充分条件，应选（D）.【例例 34】设11124233Aa，*A与2000000bBbc相似，其中0,0bc，（I）求,.a b c（II）求可逆矩阵P，使得1P A PB.【详详解解】（I）*A与2000000bBbc相似，得*A的特征值为2,b b c.*22,Ab cAbc，A的特征值为,bc cc.由A可相似对角化，得111()242133cr AcErcac所以其行向量两两成比例，即11124224233cccac2 20 02 22 2 考考研研数数学学满满分分过过关关 1 15 50 028解得5a,12b,2c.（II）11111124222222335333AEDED的特征值为4,0,0.对应的特征向量1231112,1,0301 A的特征值为6,2,2.对应的特征向量1231112,1,0301 *A的特征值为4,12,12.对应的特征向量1231112,1,0301 故123(,)P ,1P A PB【例例 35】设A为 3 阶矩阵，123,为三维线性无关的列向量，其中1是齐次线性方程组0Ax 的解，且2122A，312332A，（I）求矩阵B，使得123123(,)(,)AB ；（II）求A的特征值与特征向量；（III）判断是否存在可逆矩阵P，使得1P AP为对角矩阵，若存在求P，若不存在说明理由.【详详解解】（I）由题设得12312123123011(,)(0,2,32)(,)02