22考研真题同源150题 概率论第一讲(答案版)考研资料.pdf

2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 1 第一章第一章 事件与概率事件与概率 重点题型重点题型一一 事件事件的的关系关系、运算运算与概率的性质与概率的性质【例【例 1】设X，Y为随机变量，305P XY=，4max(,)05PX Y=，则min(,)0PX Y=【】（A）15 （B）25 （C）35 （D）45【详解】【详解】选（D）设0AX=，0BY=，则0XYABBA=，max(,)0X YAB=，min(,)0X YAB=.min(,)0()()PX YP ABP ABBAAB=()()0,01max(,)0P ABBAP ABP XYPX Y=+=+3441555=+=.重点题型重点题型三三 三大三大概率公式概率公式的计算的计算【例【例 2】设A，B为两个随机事件，()0.4P A=，(|)0.5P B A=，已知A和B中至少有一个不发生，则A发生B不发生的概率为 .【详解】【详解】填“14”.()()()0.4 0.50.2P ABP A P B A=，()()()()()P AB ABP ABP AB ABP ABP AB=()()0.40.211()1 0.24P AP ABP AB=.【例【例 3】袋内有a个红球与2a个白球，每次都随机地摸出一个球，若是红球，则将该球放回并且再加进a个红球，然后再从袋中任取一个球，如果仍是红球，则再将该球放回并且再加进a个红球，如此继续，直至摸到白球为止，则第n次才摸到白球的概率是 .【详解】【详解】应填“4(1)(2)n nn+”设事件iA=“第i次摸到白球”，1,2,in=，则nA表示前1n次均摸到红球且第n次摸到白球，且 2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 2 121iiAA AA，2,in=，()nP A为所求，根据古典型概率公式 11()33aP Aa=，2121()42aP A Aa=，31233()55aP A A Aa=，112(2)1()3(2)1nnananP AAAanan+=+，11(1)()3(1)2nnananP A AAanan+=+，1122()3(1)2nnaP A AAanan=+，或 11112()1()122nnnnnP A AAP A AAnn=+，根据乘法公式12112112()()()()()nnnnnP AP A AAAP A P A AP A A AA=1 2 31243 4 512(1)(2)nnnn nn=+.【例【例 4】设随机变量X服从参数为的 Poisson 分布，随机变量Y在0 X之间任取一个非负整数.求概率2P Y=.【详解】【详解】因为,0,1,2!iP Xieii=，于是有全概率公式得 022|iP YP YXi P Xi=12311!ikikeeiik=+21(1)2ee=112eee=【例【例 5】设X为三个同类产品中次品的个数，且32EX=，现从中任取一个产品，则该产品是次品的概率为 .【详解】【详解】设01230123Xpppp，则12323EXppp=+，设A表示该产品为次品，由全概率公式得 33001()332iiiiEXP AP Xi P A Xip=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 3 第二章第二章 一维随机变一维随机变量量 重点重点题型题型一一 分布函数分布函数的判定与计算的判定与计算【例例 6】同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现 6 点为止，则抛掷次数X的分布函数为 .【详解】设A表示“甲骰子出现 6 点”，B表示“乙骰子出现 6 点”，C表示“出现 6 点”，则 11()()1()1()()36P CP ABP ABP A P B=于是，X的分布律为11111(1),1,2,33636kP Xkk=X的分布函数为 1 0,1 0,1,()25,11,136xxkxxF xP XxP Xkxx=其中 x表示不超过x的最大整数 重点题型重点题型二二 概率密度概率密度的判定与计算的判定与计算【例【例 7】设随机变量X的密度函数和分布函数分别为()f x和()F x，当0 x 时，1()()f xF xk+=；当0 x 时，2()()f xF xk+=，其中1k，2k为常数.（）求1k，2k及()f x；（）求2P aXa的最大值，其中a为常数.【详解】【详解】（）当0 x时，由1()()f xF xk+=及()F x连续知1()()f xkF x=连续，进而()()xF xf t dt=可导，且()()F xf x=，故有1()()F xF xk+=，解得11()xF xkce=，0 x，由于11lim()lim()0 xxxF xkc e=，所以有10c=和10k=，即()0F x=，0 x.同 理，当0 x 时，()()xF xf t dt=可 导，且()()F xf x=，由2()()F xF xk+=，解 得22()xF xkc e=，由于22lim()lim()1xxxF xkc e+=，得21k=，故2()1xF xc e=，又()F x连续，所以0lim()(0)xF xF+=，得210c=，即21c=，即()1xF xe=，0 x.由上知 0,0()1,0 xxF xex=，所以 0,0()(),0 xxf xF xex=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 4（）当0a时，20P aXaP=；当0a 时，2222()aaxaaaaP aXaf x dxe dxee=，222aadP aXaeeda=+，令20dP aXada=，解得ln2a=.当0ln2a时，20dP aXada；当ln2a 时，20dP aXada；故当ln2a=时，2P aXa取最大值，且最大值为 ln22ln21ln22ln24PXee=重点题型重点题型三三 关于关于八大分布八大分布【例【例 8】设X为随机变量，,s t为正数，,m n为正整数，下列结论正确的个数为【】若X服从参数为的指数分布，则|P Xst Xs+与s无关 若X的密度函数为21,1()0,1xf xxx=则当1t 时，2|P Xt Xt与t无关 若X服从参数为p的几何分布，则|P Xmn Xm+与m无关 若X的分布律为1,1,2,(1)P Xkkk k=+，则2|P Xn Xn与n无关（A）1（B）2 （C）3 （D）4【详解】【详解】选（D）根据指数分布的无记忆性，P Xst XsP Xt+=与s无关；12,212212P Xt XtP XttP Xt XtP XtP Xtt=，与t无关；,P Xmn XmP Xmn XmP Xm+=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 5(1)(1)(1)m nnmP XmnppP Xmp+=，与m无关；12,212212P Xn XnP XnnP Xn XnP XnP Xnn=，与n无关，四个结论全部正确，选（D）.【例例 9】设随机变量X服从参数为6的泊松分布，则当P Xn=最大时，n=.【详解】【详解】随机变量X服从参数为的泊松分布，于是11P XnP Xnn=+=+，当为非正整数，n=时，P Xn=最大，事实上，111P XP X=+=+=，即得 1P XP X=+=，又 11P XP X=，即得 1P XP X=，根据上述分析可得当 n=时，P Xn=最大.6=2n=.2P X=最大.重点题型重点题型四四 求求一一维维连续型连续型随机变随机变量函数量函数的的分布分布【例【例 10】设随机变量X的概率密度为2221,0()2 ,0 xxexf xex=，求：（）2YX=的概率密度()Yfy；（）EY.【详解】【详解】（）先求Y的分布函数()YFy，当0y 时，()0YFy=；当0y 时，2()()()YXXF yP YyP XyPyXyFyFy=，其中()XFx是随机变量X的分布函数.当0 x时，()()XFxx=，()()XFyy=，当0 x 时，220111()(1)222xtxXFxedte=+=+，211()(1)22yXFye=+，2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 6 从而2 0,0()11(1)(),022YyyFyeyy=+，故2 0,01()(),02yYyfyeyyy=+，其中()x与()x分别是标准正态分布的分布函数与概率密度函数.（）0222220()()xEYEXx f x dxxx dxx edx+=+211113()(3)28244xx dx+=+=+=.【例【例 11】设随机变量X的分布函数为 1,1(),01 0,0 xF xabxxx=+，且104P X=，求：（I）常数ba,；（II）ln()YF X=的分布函数()YFy.【详解】【详解】（）由分布函数的性质得10(0)(00)04P XFFaa=.又()F x在点1x=处右连续，即(1 0)(1)FF+=，得1ab=+，解得34b=，从而 1,113(),0144 0,0 xF xxxx=+（）因为X在0,1上取值，所以13()44F XX=+，从而1()14F X，于是0ln4Y.由分布函数的定义()ln()YFyP YyPF Xy=，当0y 时，()0YFy=；当0ln4y时，134141()ln1443434yyYFyPXyP XeP Xe=+=由410134ye，且当0 x 时，()F x连续，从而41()1134yyYFyFee=当ln4y 时，()1YFy=.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 7 综上所述，ln()YF X=的分布函数 0,0()1,0ln4 1,ln4yYyFyeyy=【例【例 12】设随机变量1,1XU，记0,10.51,0.51XYX=，0.5ZX=，求（）Y的概率分布；（）Z的概率密度()zfz；（）UYZ=的分布函数()UFu.【详解】【详解】（）由题设得Y概率分布为010.750.25Y.（）由分布函数的定义()0.5zF zP ZzP Xz=，当0z 时，()0zF z=；当00.5z时，()0.50.5zF zPzXzz=+=；当0.51.5z时，()0.510.250.5zF zPzXz=+；当1.5z 时，()1zF z=.所以Z的概率密度 1,00.5()()0.5,0.51.5 0,zzzfzF zz=其他 （）0,10.50.5,0.51XUYZXX=当0u 时，()0UFu=；当0.5u 时，()1UFu=；当00.5u时，()10.50.750.5UF uP UuPXuu=+=+综上所述，U的分布函数为 0,0()0.750.5,00.5 1,0.5UuF uuuu=+2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 8【例【例 13】设随机变量(1)XE，1YX=+，ZXX=，其中 X表示不超过X的最大整数.（I）求Y的概率分布及6|5P YY；（II）求Z的概率密度()Zfz；（III）求 E X.【详解】【详解】（I）X的概率密度为,0()0,0 xexf xx=.Y的概率分布为(1)1111111 (1)(1,2,)kxkkkkP YkPXkPXkP kXke dxeeeek=+=（）故()YG p，其中11pe=.由几何分布的无记忆性得 116|51111(1)P YYP YP Yee=（II）【方法一】【方法一】（分布函数（分布函数法法）Z的分布函数为()ZFzP ZzP XXz=当0z 时，()0ZFz=；当1z 时，()1ZFz=；当01z时，100001()()(1)1zk zxkk zzkZkkkkkeFzP kXkze dxeeeee+=+=故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.【方法【方法二二】（公式公式法法）在),1k k+内 zxxxk=单调递增，值域为)0,1，反函数为xzk=+，()z kZfze=，01z kzkeeee=，故Z的概率密度为,01()1 0,zZeezfze=其他.2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 9（III）【方法一】【方法一】2310121223111211()lim2 lim2()()1 lim()11nxxxxnnnnnnnnE Xx f x dxx e dxe dxe dxne dxeeeen eeeeeeneee+=+=+=+=【方法【方法二二】由 102()11zZeeEZzfz dzze dzee+=得 21111eE XEXEZee=【方法【方法三三】1111111E XEYee=【评注评注】八大分布的无记忆性：（1）设()XG p，则对任意正整数,m n，有|P Xmn XmP Xn+=，|P Xmn XmP Xn=+=（2）设()XE，则对任意0s，0t，有|P Xst XsP Xt+=，|0P Xst XsPXt+=【例例 14】设随机变量(0,1)XN，max,0YX=.（I）求Y的分布函数()YFy，并讨论其间断点的类型；（II）求EY，DY；（III）求(,)Cov X Y.【详解详解】（I）Y的分布函数为()max,0YFyP YyPXy=当0y 时，()0YFy=；当0y 时，()()YFyP Xyy=.由于 1(00)(0)(00)02YYFF+=2 2022022 考研数学考研数学满分过关满分过关 1 15050 10 故0y=为()YFy的跳跃间断点.（II）由 22022200max,0max,0()()111 2222xxEYEXxx dxxx dxxxedxed+=22220222max,0max,0()()1111 ()()2222EYEXxx dxxx dxxx dxEXDXEX+=+=得 2211()22DYEYEY=（III）220(,)()max,0max,0()11 ()()22Cov X YE XYEX EYE XXxxx dxxx dxxx dx+=