小专题1 极限的定义与性质.pdf

考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心（快速串讲快速串讲）1 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 极限的定义与性质 主讲人：凯哥 一、一、知识点知识点（一）数列极限定义（一）数列极限定义 对于，均，使得当时，有.（抽象，请认真听课！）注注：的几何意义，是对于任意的（无论 有多小），一定存在，使得当（也即第项以后）时，所有的均落在区间内，只有有限个点会落在该区间之外.（二）函数极限定义（二）函数极限定义 1.自变量趋向于定点自变量趋向于定点 对，均，使得当时，有.2.自变量趋向于无穷自变量趋向于无穷 对，均，使得当时，有.对，均，使得当时，有.（三）极限的性质（以函数极限为例，数列极限同理）（三）极限的性质（以函数极限为例，数列极限同理）1.唯一性唯一性 设，则具有唯一性.2.局部有界性局部有界性 设，则在的去心邻域内有界.注注 1：取，则在处的极限为，显然在的任何去心邻域都是无界的.注注 2：无穷大可以推出无界，但无界推不出无穷大！因为有一种振荡叫做“无界振荡”！考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心（快速串讲快速串讲）2 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 如，现研究在处的极限其中，在振荡，二者相乘后，相当于成为了的“振幅放大器”，让上的有界振荡升级为了“无界振荡”，所以显然不存在，但并不是无穷大.同理，时，也是“无界振荡”.3.局部局部保号性保号性 设(1)若，则，使得时，有；（极限正，则去心邻域正）(2)若，则，使得时，有.（极限负，则去心邻域负）注注：若在连续，导致极限值等于函数值，则“极限正，则邻域正；极限负，则邻域负”.（四）极限与无穷小的关系（脱帽法）（四）极限与无穷小的关系（脱帽法），其中是时的无穷小量，即.注注：这里的并不是“任意一个无穷小”！否则你会根本想不通这个定理到底是怎么来的！事实上，也就是说，这里的，显然是无穷小.这个定理最重要的作用，是强行脱去了极限符号，从“形式上”解出了的表达式，故也被戏称为“脱帽法”.示例示例(凯哥，每日一题)若，求.二、经典例题二、经典例题 例题例题 1(1999 年)“对，存在，当时，恒有”是“”的()考研竞赛凯哥考研竞赛凯哥-25 届届 高数上册核心高数上册核心（快速串讲快速串讲）3 为中华之崛起而读书为中华之崛起而读书 例题例题 2(2014 年)设，则当 充分大时，必有()例题例题 3 下列叙述正确的是()例题例题 4 设数列和满足，则()