线性代数基础补弱课讲义-吕老师【公众号：小盆学长】免费分享.pdf

线性代数（线性代数（7-127-12 章）章）第七章第七章 行列式行列式第一节第一节 考试要求考试要求1.了解行列式；代数余子式；2.会做计算行列式的值；代数余子式求法；3.熟练行列式计算。第二节第二节 知识讲解知识讲解一、行列式的定义一、行列式的定义1.1.二阶行列式二阶行列式定义：11122122=1122 1221称为二阶行列式.二阶行列式的计算对角线法则2.2.三阶行列式三阶行列式（1 1）定义：）定义：111213212223313233=112233+122331+132132 112332 122133132231.称为三阶行列式.对角线法则：（2 2）说明：）说明：1）三阶行列式包括 3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积2）其中三项为正，三项为负.3）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.例例 1.计算行列式。解：解：=3+3+3 2 2 2=+2 23.3.阶行列式阶行列式（1）找规律）找规律=111213212223313233=112233+122331+132132 112332 122133 1322311)三阶行列式共有 3!=6 项.2)每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.3)每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列.(2)(2)排列与逆序排列与逆序=111213212223313233=112233+122331+132132 112332 122133 132231例如：132132列标排列是 312，+正号112332列标排列是 132，负号由个不同数码 1,2,组成的有序数组12，称为一个级排列.级排列共有!个.定义：定义：在一个级排列12中，如果由较大的数排在较小的数前面 时，=0），即形如的方阵称为上三角矩阵；的方阵称为下三角矩阵.（4）对称矩阵定义.设为阶方阵，如果满足=，即=,=1,2,，那么称为对称阵.例如：=1261680106为对称阵.二、矩阵的计算二、矩阵的计算1.1.矩阵的加法矩阵的加法定义：设=与=是两个 （同型）矩阵，则矩阵与的和记作+，规定为+=11+1112+1221+2122+221+12+21+12+2+注：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.阵加法的运算规律阵加法的运算规律(1)+=+；(2)+=+；(3)+=+=.11 12 21 22 1 2 1 2称为矩阵的负矩阵，记为.显然有+=.因此，定义矩阵的减法：=+.2.矩阵的数乘矩阵的数乘定义数与矩阵的乘积记作，规定=111221221212数乘矩阵的运算规律：（设、为 矩阵，为数）(1)+=+；(2)+=+；(3)=；(4)1=，0=.加法和数乘合称为矩阵的线性运算.3.矩阵的乘法矩阵的乘法（1）定义设=是一个 矩阵，=是一个 矩阵，那么规定矩阵与矩阵的乘积是一个 矩阵=，其中=11+22+=1?=1,2,;=1,2,并把此乘积记作=.注意.只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.例如，168601123321589有意义，而123321589168601无意义.例241222243622=163281622，101211300514034121311211=567102621710.（2）矩阵乘法的运算规律：1)=；矩阵乘法满足结合律！2)+=+，+=+；分配律3)=其中为数；4)=，=；5)=.注意注意 1：交换律不成立.原因：1）有意义，不一定有意义；2）若为 、为 阶矩阵，则，均有意义，但为阶方阵，为阶方阵；常见，设=12，=12，=1212=111221221212，=1212=11+22+.3）当、为同阶方阵时，为同阶方阵，但仍不一定有=.例如，=2412，=2436.=1632816，=0000.结论结论.一般 .若=.，称、可交换（前提是、为同阶方阵）.注意注意 2.矩阵乘法不满足消去律：原因：原因：1）=或 =；2）=，=.左消去律不成立.3）=，=.右消去律不成立例如，=1203，=1004，=1100.=1100，=1100，即=，但 .注意注意 3.单位矩阵与矩阵乘法不改变矩阵=，=.举例.142208360100010001=142208360.100010001101211300514=101211300514.总结：=，=.例 1.求与矩阵=1101，可交换的所有矩阵.解：设=，则=+，=+，令=，得=0，=，=0，任意.（3）矩阵乘法的应用：线性方程组的矩阵形式111+122+1=1211+222+2=211+22+=记系数矩阵=111221221212，=12，=12，则上述方程组可写为=.4.矩阵的转置矩阵的转置（1）定义.把矩阵的行列互换得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.例.=122458，=142528.=186，=186.若是 矩阵，则是 矩阵.（2）转置矩阵的运算性质：1)=；2)+=+；分配律3)=；4)=.可推广到多个矩阵：12=21.5.方阵的幂方阵的幂（1）定义设为阶方阵，则的方幂定义为=1，为正整数，再规定0=.规律：=+，=.其中，为任意非负整数.注意，由于没有交换律，一般 .因此，一般 +2=+=+，+=+.例.设=0010，=0110，=1100.2=2=2=或 =.6.矩阵多项式矩阵多项式设 =0+1+22+是一个多项式，是一个阶方阵，定义矩阵多项式为 =0+1+22+例如，设 =2 5+3，=2133，2=751512，=2 5+3=751512 52133+31001=0000，7.方阵的行列式方阵的行列式（1）定义有阶方阵的元素所构成的行列式，叫做方阵的行列式，记作记作 或 det.=111221221212，=111221221212例=2368，则 =2368=2.注意：不要把矩阵和行列式 混为一谈.（2）运算性质：1)=2)=为的阶数3)=推广：12=1 2，特别：=8.向量的内积与正交向量的内积与正交（1）内积内积设 =1,2,T,=1,2,T,则称T=1?=11+22+为向量,的内积,记作,即,=T.（2）正交正交当 T=0 时,称向量,是正交向量.模 =12?称为向量 的模(长度).=1 时,称 为单位向量.（3）标准正交向量组标准正交向量组若列向量组 1,2,满足T=0,1,=则称 1,2,为标准或单位正交向量组.9.施密特标准正交化施密特标准正交化(又称正交规范化又称正交规范化)过程过程线性无关向量组 1,2的标准正交化(又称正交规范化)公式为1=1,2=22,11,11，得到的 1,2是正交向量组.将 1,2单位化,得1=11,2=22,10.总结重要的矩阵总结重要的矩阵(1)零矩阵零矩阵 每个元素均为零的矩阵,记为.(2)单位矩阵单位矩阵 主对角元素均为 1,其余元素全为零的阶方阵,称为阶单位矩阵,记成.(3)数量矩阵数量矩阵 数 和单位矩阵的乘积称为数量矩阵.(4)对角矩阵对角矩阵 非主对角元素均为零的矩阵称为对角矩阵.(5)上上(下下)三角矩阵三角矩阵 当 时,=0 的矩阵称为上(下)三角矩阵.(6)对称矩阵对称矩阵 满足条件 T=的矩阵 称为对称矩阵,T=.(7)反对称矩阵反对称矩阵 满足条件 T=的矩阵 称为反对称矩阵,T=,=0.(8)正交矩阵正交矩阵 设 是 阶方阵,满足 T=,则称 是正交矩阵.是正交矩阵 T=T=1 的行(列)向量组是标准正交向量组.三、分块矩阵三、分块矩阵1.1.分块矩阵分块矩阵分块方法分块方法对于规模较大，零较多或局部比较特殊的矩阵，为了简化运算，经常采用分块法，把大矩阵分割成小矩阵.在运算时，把这些小矩阵当做元素一样来处理.具体做法是：将矩阵用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.如下举例：2.分块矩阵的运算规则分块矩阵的运算规则（1）分块矩阵与的行数相同，列数相同，采用相同的分块法，有=1111，=1111其中与的行数相同，列数相同，那么+=11+111+11+1+（2）设=1111，为数，那么=1111由于矩阵的加法与数乘比较简单，一般不需要分块计算.（3）设=1111，则=1111.分块矩阵转置时，先按块转置，再将各子块内部转置.（4）设为 矩阵，为 矩阵，分块成=1111，=1111其中1，2，的列数分别等于1，1，2，的行数，那么=1111其中=1?=1,2,;=1,2,.例 1.设=1000010011211001，=1012100110114120，求.解：把，分块成=1，=112122，则=1112122=11111+211+22.又111+21=12111012+1011=2411，1+22=1211+4120=3331，于是=1010120121413331.3.几种特殊的分块矩阵几种特殊的分块矩阵（1）分块三角阵形如=12的分块矩阵，称为分块上三角阵分块上三角阵，其中=1,2,都是方阵.类似有分块下三角阵分块下三角阵.（2）分块三角矩阵性质：）分块三角矩阵性质：1)设与是两个同类型的分块三角矩阵，则 ，均为同类型的分块三角矩阵.2)=.（3）分块对角矩阵）分块对角矩阵=12称为分块对角矩阵，（4）分块对角矩阵性质）分块对角矩阵性质1）分块三角矩阵的所有性质2）1212=1122，3）=12.例.设=3000003500000100200032011，求2，5，.解：=123，1=3，2=3512，3=3121，2=122232=9000001425000005009000118043，=1 2 3=3，5=5=35=243，=123=3000003100000500200031021.四、逆矩阵和伴随矩阵四、逆矩阵和伴随矩阵1.逆矩阵逆矩阵（1）定义）定义.设是阶方阵，如果存在阶方阵，使得=则称为可逆矩阵，而称为的逆矩阵，记为.定理定理.若矩阵是可逆的，则的逆矩阵必唯一.例.设=2513，验证=3512.解：25133512=1001=，35122513=1001=，得证.例 1.设=2110，求的逆矩阵.解：设=是的逆矩阵，=2110=2+2+=1001=，?=0，=1，=1，=2，即=0112=.（2）矩阵可逆的条件）矩阵可逆的条件=两边取行列式 =?.定义定义.若 ，则称矩阵是非奇异的（或满秩的）；否则称为奇异的（或降秩的）.定理定理.是可逆的充要条件.2.伴随矩阵：伴随矩阵：（1）伴随矩阵定义）伴随矩阵定义设阶方阵=，为中元素的代数余子式，矩阵=112111222212称为的伴随矩阵.例.求矩阵=101210325的伴随矩阵.解：11=1025=5，12=2005=10，13=2132=7，21=0125=2，22=1135=10，23=1032=2，31=0110=2，32=1120=2，33=1021=1，=5211022721.（2）伴随矩阵伴随矩阵性质性质=.（伴随矩阵计算方法）（伴随矩阵计算方法）证明：回忆行列式按行展开公式：11+22+11=，=0，.=111221221212112111222212=.类似的，按列展开公式可得=.定理定理.矩阵是可逆的充分必要条件是非奇异（或满秩的）；当非奇异时，有=.推论推论.设，均为阶方阵，只要=，就有=，从而有=.例 1.求方阵=123212133的逆矩阵.解：=123212133=123034010=3410=4 0，所以可逆；11=1233=3，12=2213=4，13=2113=5，同理可求得，21=3，22=0，23=1，31=1，32=4，33=3，得，=331404513，=331404513.3.逆矩阵的运算性质逆矩阵的运算性质(1)若可逆，则亦可逆，且 1=.(2)若可逆，数 0，则可逆，且 1=1.(3)若，为同阶方阵且均可逆，则亦可逆，且 1=.推论：推论：121=12111，注意：，可逆，+不一定可逆，即使可逆，一般 +1+.(4)若可逆，则亦可逆，且 1=.推论：推论：可逆矩阵若对称（反对称），则也对称（反对称）.=1=，对称；=1=，反对称.(5)设，为同阶方阵，=，若可逆，则=.（可逆矩阵消去律成立）(6)若可逆，则有=.例.设为 3 阶方阵，且 =，求行列式 3 2 的值.（其中为的伴随矩阵）.解：=，3 2 =13 =23=233=827=827 2=1627.4.重要结论重要结论若=1,2,均可逆，则有12=1121112=11211例.设=3000003500000100200032011，求.解：=123，=112131=13000000251300000000001123，五、矩阵的初等变换五、矩阵的初等变换1.定义定义（1）初等行（列）变换）初等行（列）变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换：1）对调两行（对调，两行，记作?）；2）以数 0 乘以某一行的所有元素；（第行乘，记作）；3）把某一行元素的倍加到另一行对应元素上（第行的倍加到第行上，记作+）.同理可定义矩阵的初等列变换（所用记号是把换成）.初等变换的逆变换仍为初等变换，且变换类型相同.?逆变换?；逆变换1；+逆变换+.（2）初等矩阵）初等矩阵定义.由单位矩阵经过一次初等变换，得到的矩阵称为初等矩阵.初等矩阵有下列 3 种：1）对施以第（1）种初等变换得到的矩阵.2）对施以第（2）种初等变换得到的矩阵.3）对施以第（3）种初等变换得到的矩阵.初等矩阵的逆矩阵还是同类型的初等矩阵：，=，=1，=，.2.矩阵初等变换的应用矩阵初等变换的应用（1）行列变换与左右乘）行列变换与左右乘定理.设为 阶矩阵，1）对施以某种初等行变换，相当于用同种的阶初等矩阵左乘.2）对施以某种初等列变换，相当于用同种的阶初等矩阵右乘.例.=1234563+22?3+22?3+22?1274516，123456100012001=1274516.（2）矩阵等价）矩阵等价定义：如果矩阵可以由矩阵经过有限次初等变换得到，则称矩阵和为等价的，记作 .等价关系的性质：1）自反性 ；2）对称性 若 ，则 ；3）传递性 若 ，则 ；（3）等价标准型）等价标准型定理.任意一个 矩阵经过有限次初等变换，总可以化为形如 min,的矩阵，称之为的等价标准型.例 1.将矩阵化为标准形：=0123301221320310解：1?4?12303012203102132+31321?2+31321?2+31321?12300682007162133+722?4462?3+722?4462?3+722?4462?1000010000001000.（4）推论）推论推论推论 1.对于任意 矩阵，存在阶初等矩阵1，和阶初等矩阵1，使得1112=推论推论 2.对于任意 矩阵，存在阶可逆矩阵和阶可逆矩阵，使得=若为阶可逆矩阵，=，?=，即=.推论推论 3.阶矩阵可逆的充分必要条件是的等价标准形为.定理定理.阶方阵可逆的充分必要条件是可以表示成一些初等矩阵的乘积.（5）用初等变换求逆矩阵）用初等变换求逆矩阵1）一个矩阵求逆）一个矩阵求逆对 2矩阵，施行初等行变换，当把变成时，原来的就变成.例.设=123221343，求.解：，=123221343100010001221331?221331?221331?12302502610021030132?32?123025001100210111?120020001233365111?1000200011323651112 23 1?2 23 1?10001000113232352111=13232352111.2）逆矩阵乘法）逆矩阵乘法求解矩阵方程 =，利用初等行变换的方法，可直接求.例.求矩阵，使 =，其中=123221343，=253143.解：若可逆，则=.，=123221343253143221331?221331?221331?123025026251921232?32?123025001251913253123?253123?1200200011446131+2?1+2?1+2?1000200013246132 23 1?2 23 1?100010001322313，=322313.3）逆矩阵转置）逆矩阵转置 如果矩阵方程为=，则=，矩阵改为=，=，对，作初等行变换，行变换?行变换?行变换?，即可求得，从而获得.例.求解下列矩阵方程：100110111=121011解：转置111011001102111?110010001013211?100010001313211，=331121.六、矩阵的秩六、矩阵的秩1.定义定义在 矩阵中任取行列 ;，位于这些行列交叉处的2个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得到的阶行列式，称为矩阵的阶子式.例.=11103100000011122030，1112=1，例.=11103100000011122030，111031002=6.矩阵的阶子式共有 个.定义.设在矩阵中有一个不等于 0 的阶子式，且所有+1 阶子式（如果存在的话）全等于 0，那么称为矩阵的最高阶非零子式，数称为矩阵的秩，记作秩 或 .矩阵的秩 即为中非零子式的最高阶数.零矩阵的秩规定为 0.例 1.求矩阵=123235471的秩.解：在中，1223 0.又 的 3 阶子式只有一个 ，且 =，=2.例 2.求矩阵=21003100000032254030的秩.解：是一个行阶梯矩阵，其非零行有 3 行，的所有 4 阶子式全为 0.而213032004 0，=3.2.矩阵秩的性质：矩阵秩的性质：（1）若为 矩阵，则 0 min，；（2）若=，=0；（3）若有一个阶子式不为零，则 ；若的所有+1 阶子式全为零，则 ；（4）对于阶方阵而言，有 =；,则1,2,线性相关(以少表多,多的相关).等价命题等价命题:如果向量组 1,2,可由向量组 1,2,线性表示,且 1,2,线性无关,则 .定理定理 4.设 个 维向量 1,2,其中1=11,21,1T,2=12,22,2T,=1,2,T.则向量组 1,2,线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组=有非零解,其中=1,2,=111212122212,=12等价命题等价命题:个 维向量 1,2,线性无关的充分必要条件是齐次线性方程组=只有零解.定理定理 5.向量 可由向量组 1,2,线性表出 非齐次线性方程组1,2,12=11+22+=有解 1,2,=1,2,.反之则有,不能线性表出 1,2,12=11+22+=无解 1,2,1,2,.定理定理 6.如果向量组 1,2,中有一部分向量线性相关,则整个向量组也线性相关.证明：不妨设 1,2,线性相关,于是有不全为零的数 1,2,使11+22+=，从而有不全为零的数 1,2,0,0,使11+22+0+1+0=故 1,2,也线性相关.逆否命题逆否命题:如果 1,2,线性无关,则其任一部分向量组也线性无关.整理记忆：向量组部分线性相关,则整体也线性相关;整体线性无关,则任一部分都线性无关.定理定理 7.如果一组 维向量 1,2,线性无关无关,那么把这些向量各任意添加添加 个分量所得到的新向量+维)组 1,2,也是线性无关无关的;如果 1,2,线性相关相关,那么它们各去掉去掉相同的若干个分量所得到的新向量组也是线性相关相关的.例 1.判断下列向量组的线性相关性：（1）1=1124，2=0312，3=30714，解：1031302412714?103011000000，=2 3，线性相关.（2）1=1,1,1，2=1,2,3，3=1,3,6.解：111123136?111012001，=3，线性无关.整理记忆：线性相关的充分必要条件：=0；线性无关的充分必要条件：0.三、向量组的秩三、向量组的秩1.向量组的极大无关组向量组的极大无关组（1）定义）定义一个向量组的一个部分组称为一个极大（线性）无关组，如果他是线性无关的，但再任意添一个向量（如果还有的话）所得向量组线性相关.在向量组 1,2,中,若存在部分组 1,2,满足:1)1,2,线性无关;2)向量组中任一向量 =1,2,均可由 1,2,线性表出.则称向量组 1,2,是原向量组的极大线性无关组.（2）性质）性质1）向量组的极大线性无关组一般不唯一,2）只由一个零向量组成的向量组不存在极大线性无关组,3）一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身.（3）等价与线性表出）等价与线性表出定理 1.一个向量组的任一极大无关组与该向量组本身等价.回顾定理 4.若向量组1，线性无关，而，1，线性相关，则能由1，线性表出，且表法唯一.总结：1）由等价的传递性可知，一个向量组的任两个极大无关组彼此等价，2）两个线性无关且彼此等价的向量组，必含有相同个数的向量.3）向量组任意两个极大无关组所包含的向量个数相同.2.向量组的秩向量组的秩（1）定义）定义向量组1，的任一极大无关组所包含的向量的个数称为向量组的秩，记为 1，规定：只含零向量的向量组的秩为零.若向量组1，线性无关，其极大无关组就是它自身，因此 1，=；反之若 1，=，则向量组1，线性无关.（2）线性表出与向量组的秩）线性表出与向量组的秩定理.若向量组1，可由向量组1，线性表出，则 1，1，.推论：等价的向量组必有相同的秩.注意：上述推论的逆命题不成立，即秩相等的两个向量组未必等价.（3）矩阵的秩与向量组的秩的关系）矩阵的秩与向量组的秩的关系定义：定义：矩阵的行向量组的秩称为矩阵的行秩；矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩.定理定理 1.矩阵的行秩=矩阵的列秩=矩阵的秩.由此，将向量组的秩的计算，转化为矩阵的秩的计算.基本方法:给定一个向量组，求它的一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.定理定理 2.设矩阵，可以相乘，则有 min ，.推论推论.若，为可逆矩阵，则有 =.即“初等变换不改变矩阵的秩”来证明.例 1.求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示.1=1131，2=1113，3=5289，4=1317.解：1131111352891317将向量按列拼成矩阵，只做行变换，化为阶梯形?1000120057001400，极大无关组为1，2，秩为 2.3=321722，4=11+22例 2.设向量组1=1100，2=1211，3=0111，4=1321，5=2641，求一个极大无关组，并将其余向量用这个极大无关组线性表示.解：11001211011113212641?10001100010012102410，所以1，2，4为一个极大无关组，?1000110012100100，3=11+12+04=1+2+04，?1000110012102410，5=11+22+14=1+22+4，备注：向量的内积、正交在第十一章正交矩阵中还会再次讲解备注：向量的内积、正交在第十一章正交矩阵中还会再次讲解.第三节第三节 题型解析题型解析一、选择题一、选择题1.设向量组 1,2,3,4线性无关,则向量组().(A)1+2,2+3,3+4,4+1线性无关(B)1 2,2 3,3 4,4 1线性无关(C)1+2,2+3,3+4,4 1线性无关(D)1+2,2+3,3 4,4 1线性无关答案：C解析：因为 1+2+2+3 3+4+4+1=,所以 1+2,2+3,3+4,4+1线性相关;因为1 2+2 3+3 4+4 1=,所以 1 2,2 3,3 4,4 1线性相关;因为1+2 2+3+3 4+4 1=,所以 1+2,2+3,3 4,4 1线性相关,容易通过证明向量组线性无关的定义法 得 1+2,2+3,3+4,4 1线性无关,选(C).2.设 阶矩阵 =1,2,=1,2,=1,2,记向量组(I):1,2,;(II):1,2,;(III):1,2,若向量组(III)线性相关,则r.(A)(I),(II)都线性相关(B)(I)线性相关(C)(II)线性相关(D)(I),(II)至少有一个线性相关答案：D解析：若 1,2,线性无关,1,2,线性无关,则 =,=,于是 =.因为 1,2,线性相关,所以 =1,2,故1,2,与 1,2,至少有一个线性相关,选(D).3.设向量组(I):1,2,的秩为 1,向量组(II):1,2,的秩为 2,且向量组(II)可由向量组(I)线性表示,则().(A)1+1,2+2,+的秩为 1+2(B)向量组 1 1,2 2,的秩为 1 2(C)向量组 1,2,1,2,的秩为 1+2(D)向量组 1,2,1,2,的秩为 1答案：D解析：因为向量组 1,2,可由向量组 1,2,线性表示,所以向量组 1,2,与向量组 1,2,1,2,等价,所以选(D).二、填空题二、填空题1.设 =1,2,3,4为 4 阶方阵,且 =的通解为 =1,1,2,3T,则 2由 1,3,4表示的表达式为.答案：2=1 23+34.解析：因为1,1,2,3T为 =的解,所以 1+2+23 34=,故 2=1 23+34.三、解答题三、解答题1.设三维向量空间的两组基 1=100,2=110,3=111及 1=121,2=234,3=343,向量 在基 1,2,3下的坐标为111,求 在基 1,2,3下的坐标.解：因为向量 在基 1,2,3下的坐标为111,所以有 =1,2,3111,设向量 在 基 1,2,3下的坐标为1,2,3,则有 =1,2,3123,于是1,2,3123=1,2,3111,故123=1,2,311,2,3111.由1,2,3 1,2,3=111123011234001143100111010111001143,得1,2,311,2,3=111111143,于是123=111111143111=318.附加：向量组练习附加：向量组练习1.设向量组 1,2,3线性无关,且 1+2+43,21+2 3,2+3线性相关,则 =解：(1+2+43,21+2 3,2+3=1,2,312011411,因为 1,2,3线性无关,而 1+2+43,21+2 3,2+3线性相关,所以12011411 3,即12011411=0,解得 =5.2.设 =123,=3+11,=+2 49,且,两两正交,则 =,=解：因为,正交,所以3+2+2+3=0,+2+2 8+27=0,3+6+2 3 4+9=0,解得 =4,=13.3.设 1=100,2=110,3=111和 1=102,2=114,3=021为三维空间的两组基,则从基 1,2,3到基 1,2,3的过渡矩阵为解：令过渡矩阵为,则1,2,3=1,2,3,则 =1,2,311,2,3.由111110011012001241100102010251001241,得过渡矩阵为 =102251241.4.设向量组 1=1+23,2=211,3=111线性相关,但任意两个向量线性无关,求参数.解：向量组 1,2,3线性相关的充分必要条件是1,2,3=0,而1,2,3=12 1+211311=+1+5,所以 =1 或者 =5,因为任意两个向量线性无关,所以 =5.5.设 1,2,为 个线性无关的 维列向量,且与向量 正交.证明:向量 为零向量.证明：方法一：令 =1T2TT,因为 1,2,与 正交,所以 =,即 为方程组 =的解,而 1,2,线性无关,所以 =,从而方程组 =只有零解,即 =方法二：(反证法)不妨设 ,令 11+22+0=,上式两边左乘 T得1T1+2T2+T+0T=0因为 1,2,与 正交,所以 0T=0,即 0 2=0,从而 0=0,于是11+22+=,再由 1,2,线性无关,得 1=2=0,故 1,2,线性无关,矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关),所以 =.第十章第十章 线性方程组线性方程组第一节第一节 考试要求考试要求1.了解线性方程组的消元解法；线性方程组的解2.会做判定线性方程组有无解；解向量；3.熟练求解齐次、非齐次线性方程组的基础解系和通解。第二节第二节 知识讲解知识讲解一、一、线性方程组的齐次与非齐次线性方程组的齐次与非齐次1.认识线性方程组认识线性方程组一般的非齐次线性方程组111+122+1=1,211+222+2=2,11+22+=,该方程组的系数矩阵=111221221212，就是若干个列向量拼成的,且其增广矩阵?=，=11122122121212就是系数矩阵再添加一个列向量拼成的.把上述方程组写成向量的形式便不难看出,该方程组的末知数就是向量组中各成员的系数:11+22+=其中=12,=1,2,=12.所以从本质上说,方程组问题就是向量组问题,方程组和向量组是同一个问题的两种表现形式,其本质一样,所以解决方法也一样.【线性代数的灵魂】求解线性方程组,就是对增广矩阵作初等行变换,化成行阶梯形矩阵,然后求解.2.方程组方程组的齐次与非齐次的齐次与非齐次111+122+1=0,211+222+2=0,11+22+=0称为 个方程 个未知量的齐次线性方程组齐次线性方程组,其向量形式为11+22+=,111+122+1=1,211+222+2=2,11+22+=,称为 个方程 个未知量的非齐次线性方程组齐次线性方程组,其向量形式为11+22+=,其中=12,=1,2,，其矩阵形式为=（或）,其中=111221221212,=12.二、解线性方程组二、解线性方程组1.1.高斯消元法高斯消元法例.用高斯消元法解线性方程组21 2 3+4=21+2 23+4=441 62+23 24=431+62 93+74=9解：上式?2?2?1+2 23+4=421 2 3+4=221 32+3 4=231+62 93+74=923?23?23?1+2 23+4=42 2 23+24=0 52+53 34=232 33+44=3?1+2 23+4=42 3+4=02 4=64=3?2?2?2?1+2 23+4=42 3+4=04=30=0用回代的方法求出解：1=+42=+33=4=3，其中取任意常数.（1）始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换；交换方程次序；行与行相互替换；以不等于 0 的数乘某个方程；一个方程加上另一个方程的倍；（2）上述三种变换都是可逆的.由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的，故这三种变换是同解变换同解变换.2.矩阵初等行变换矩阵初等行变换对线性方程组的消元过程完全可以转换为对增广矩阵的初等行变换过程.用矩阵的初等行变换解方程组：21 2 3+4=21+2 23+4=441 62+23 24=431+62 93+74=9?=211111214366292724491?232?1?232?1?232?1121211123361917422923321431?23321431?23321431?11210222005353344063223+52432?223+52432?112101110000002140631?232?1?232?1?232?11210111000000104030对应的方程组为1+2 23+4=42 3+4=04=3，由下到上逐个解得1=+42=+33=4=3，其中取任意常数.例 1.解线性方程组21+22 3=61 22+43=351+72+3=28.解：?=2211245716328?124069017193013?124018001331326解得唯一解1=12=33=2.例 2.解线性方程组1 22+33 4=131 2+53 34=221+2+23 24=3.解：?=123131532122123?123105400540111?123105400000112最后一个为矛盾方程组 0=2，故方程组无解.（1）系数矩阵与）系数矩阵与增广增广矩阵矩阵线性方程组111+122+1=1211+222+2=211+22+=，系数矩阵=111221221212，增广矩阵?=，=11122122121212，（2）变形为阶梯形矩阵）变形为阶梯形矩阵利用矩阵的初等行变换将?化为阶梯形，?111202200000000112200000012+100，其中 0 =1,，方程组有解的充分必要条件是+1=0.三、线性方程组的解三、线性方程组的解1.1.有解的条件有解的条件即为系数矩阵的秩，=，若+1=0，则?=，若+1 0，则?=+1，线性方程组解的判定定理：线性方程组=有解的充分必要条件是：?=.在有解的情况下，当 =时，有唯一解；当 时，有无穷多解；这时自由未知量个数为 .总结规律：（1）齐次线性方程组）齐次线性方程组1）当 =时1,2,线性无关),方程组有唯一零解;2）当 =时 1,2,线性相关),方程组有非零解,且有 个线性无关解.（2）非齐次线性方程组）非齐次线性方程组1）若 ,不能由 1,2,线性表出),则方程组无解;2）若 =,=(即 1,2,线性无关,1,2,线性相关),则方程组有唯一解;3）若 =,=,则方程组有无穷多解.例 1.为何值时线性方程组1+3=41+2+23=2+61+2+43=2+3有解.解：?=101412614+22+3?1010120123+24+3?1010120003+2+1，当=1 时，?=2，方程组有无穷多解.例 2.下面的线性方程组当，为何值时有解？在有解的情况下，求出全部解.21+2 3+4=11 2+3+4=271+22 23+44=71 2+3+54=解：?=211111117721214512?111103310096963223 14 14?1111011130000000021 5 8，当=5，=8 时，有解.取3，4为自由未知量方程组的通解为1=1 2322=1+1+1323=14=2，其中1、2为任意常数.2.基础解系和解的结构基础解系和解的结构(1)基础解系设 1,2,满足1)是方程组 =0 的解;2)线性无关;3)方程组 =的任一解均可由1,2,线性表出,则称1,2,为 =的基础解系.(2)通解设 1,2,是 =的基础解系,则1)11+22+是方程组=的通解,其中1,2,是任意常数.2)+是 =的解.3.解的性质解的性质（1）齐次线性方程组）齐次线性方程组若 1=,2=,则 11+22=,其中 1,2是任意常数.（2）非齐次线性方程组）非齐次线性方程组设 1,2,是非齐次线性方程组=的解,是对应齐次线性方程组=的解,则：1)1 2是 =0 的解;2)+是 =的解.4.求解方法与步骤求解方法与步骤（1）齐次线性方程组）齐次线性方程组1)将系数矩阵 作初等行变换化成阶梯形矩阵 (或最简阶梯形矩阵 ),初等行变换将方程组化为 同解方程组,故 =和=同解,只需解=即可.设 =,初等行变换=111202200000000112200000012000,其中,是原方程组中方程个数,是未知量个数.2)按列找出一个秩为 的子矩阵,则剩余列位置的末知数即设为自由变量.3)按基础解系定义求出 1,2,并写出通解.（2）非齐次线性方程组）非齐次线性方程组将增广矩阵作初等行变换化成阶梯形(或最简阶梯形)矩阵,求出对应齐次线性方程组的通解,再加上一个非齐次线性方程组的特解即是非齐次线性方程组的通解.1)写出 =的齐次方程组 =,并求 =的通解11+22+,.2)求出 =的一个特解.3)则 =的通解为 11+22+,其中 1,2,为任意常数.四、线性方程组分类求解四、线性方程组分类求解1.具体线性方程组具体线性方程组例 1.求齐次线性方程组1+2 34 5=0,1 2+23 4=0,41 22+63+34 45=0,21+42 23+44 75=0的通解.解：将系数矩阵作初等行变换,化成阶梯形矩阵.=110311121042634242474 2 13 4 111031022210661500221054 3 211031022210009300012413311031022210003100000=,则 =和 =是同解方程组,且 =3.按列找出一个秩为 3 的子矩阵,可取第一、二、四列,则剩余第三、五列位置的元素 3,5即设为自由未知量.取自由未知量 3=1,5=32,代人方程得4=2,2=3+4+125=1+522,1=2+34+5=1+722.由此得通解12345=1+7221+5221+00+20+32=1111