22强化521概统答案全集（周洋鑫）考研资料.pdf

2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 1 2022 考研数学全程班同步作业答案高分强化 521 第 1 章 随机事件及其概率 考点考点 1 随机事件的关系随机事件的关系【1】解析：解析：()()()()()()()()1()()P ABP ABP ABP ABP A BP A BP BP BP BP B+=+=+()1()()1()()()()1()()1()P ABP ABP ABP AP BP ABP BP BP BP B+=+=+()()()11()1()P ABP AP ABP BP B+=+=，所以()()()()1()P ABP AP ABP BP B=，即()()()1()()()()P ABP BP BP AP AB=，解得()()()P ABP A P B=，即 事件A和B相互独立所以选 D.【2】解析：解析：A和B不相容，所以()0P AB=，对于选项（C），选项（C）表示相互独立，互不相容与相互独立无必然关联，排除（C）.对于选项（D），根据减法公式()()()()P ABP AP ABP A=，所以（D）正确.【3】解析：解析：对于（C），（D），若AB=，则()0P AB=，特例 1：若()()0,0P AP B，则()()()P ABP A P B，不独立，排除 C.特例 2：若()()0,0P AP B=，则()()()P ABP A P B=，独立，排除 D.本题选（B）.【4】解析：解析：因为21)(1=AP，21)(2=AP，21)(3=AP，41)(4=AP，且41)(42=AAP0)(321=AAAP，可见有)()()()(321321APAPAPAAAP，)()()(4242APAPAAP 故321,AAA两两独立但不相互独立；432,AAA不两两独立更不相互独立，应选(C)【5】解析：解析：AB与C相互独立()()()P AB CP AB P C=又()()()P AB CP ACBC=()()()P ACP BCP ACBC=+()()()()()P A P CP B P CP ABC=+，而()()()()()()P AB P CP AP BP AB P C=+，则()()()()()()()()()P A P CP B P CP ABCP AP BP AB P C+=+，化简得()()()P ABCP AB P C=，即AB与C相互独立.故选（C）.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 2 考点考点 2 加法、减法、乘法公式与条件概率加法、减法、乘法公式与条件概率【1】解析：解析：()()()(|)1()()P ABCP ABP ABCP AB CP CP C=条件概率公式分子借助减法公式分母借助对立事件的结论.由,A C互不相容可知()0P ABC=,代入上式得 3(|)4P AB C=.【2】解析：解析：()()1()P ABP A BP B=条件概率公式,解得()()P ABP B=，对于选项（A）()()1()()1()1()()P ABP ABP ABP B AP AP AP A=1()()()1()11()1()P AP BP ABP AP AP A+=.选（A）.【3】解析：解析：()()()P ACABP AC ABP AB=，其中()()()()ACABACAACBACACB=，因为ACBAC，所以()ACACBAC=，原式()()()()()()()()11122111132222P ACP A P CP ABP AP BP A P B=+.注：由事件,A B C相互独立知,A C相互独立.【4】解析：解析：事件A、B、C全不发生，即事件ABC.7()()1()12P ABCP ABCP ABC=其中()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ABP ACP BCP ABC=+加法公式 又()0P AB=，且ABCAB，所以0()()0P ABCP AB=，进而知()0P ABC=.所以()P ABC111115004446612=+=.【5】解析：解析：()()()()()()()()P ABCP AP BP CP ACP ABP BCP ABC=+加法公式 3()()()()()()()0P AP A P CP A P BP B P C=+两两独立的定义 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 3 293()3()16P AP A=两两独立的定义,解得()()3144P AP A=或 因1()()()2P AP BP C=故1()4P A=.【6】解析：解析：由题设得，()()()()()()()()()1()()P ABP ABP ABP AP ABP A BP A BP BP BP BP B ()1()()()()P ABP BP AP ABP B()()()P ABP A P B 对于（A）选项，()()()()()()()()()1()()P ABP ABP ABP BP ABP B AP B AP AP AP AP A ()1()()()()P ABP AP A P BP AB()()()P ABP A P B 故选（A）【7】解析：解析：由于()()()()()121212|PAABP ABA BPAABP BP B+=，且()()()()()1212|P ABP A BP A BP ABP B+=，则()()()1212P ABA BP ABP A B+=+，选 B.【8】解析：解析：由题意知1(),()()9P ABP ABP AB=因为A和B相互独立，所以A与B，A与B，A与B也相互独立.所以由()()P ABP AB=得()()()()P A P BP A P B=即()1()1()()P AP BP A P B=，解得()()P AP B=又21()()()1()9P ABP A P BP A=，解得2()3P A=.【9】解析：解析：记事件A表示取出一件，结果是三等品；事件B表示B取出一件，结果是一等品.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 4 则()()()()()()60%0211 10%3P BAP BP BAP B AP AP A=.【10】解析：解析：()()()()()()()()PACABACCPACABCP AC ABCP ABCP ABC=()()()()()()()()()PABCACP ACP ABP CP ABCP ABP CP ABC=+（注：()()ABCAC.）,1()()()()121114()0()()444A CP CP ACP A P CP CP CP C=+独立，解得1()4P C=.其中ABCBC，所以()()0P ABCP BC=，所以()0P ABC=.【11】解析：解析：记事件A表示“甲射中”，事件B表示“乙射中”，A与B相互独立，()0.6,()0.5P AP B=，()()()0.6 0.50.3P ABP AP B=事件AB表示目标被命中.()()()()P ABP AP BP AB=+0.60.50.30.8=+=.()()(|)0.75()()P A ABP AP A ABP ABP AB=.考点考点 3 全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式【1】解析：解析：设iA表示取出的零件是第i箱中的，（1,2i=）.jB表示第j次取出的是一等品，（1,2j=）.（I）()()()11121111212()(|)()(|)P BP ABP A BP A P BAP A P BA=+=+1 101 1822 502 305=+=.（II）()()()122115 2766902 14211421P B BP B BP B=.其中()()()12112212P B BP AB BP A B B=+全概率公式 111211212221()(|)(|)()(|)(|)P A P BA P BABP A P BA P BA B=+1 1091 18 172762 50 492 30 291421=+=.【2】解析：解析：对于新生产的每台仪器，设事件A表示“仪器需要进一步调试”，B表示“仪器能出厂”，则A=“仪器能直接出厂”.由全概率公式得()()()()()0 7 1 0 3 0 80 94P BP A P B|AP A P B|A.=+=+=设X为所生产的n台仪器中能出厂的台数，则X服从二项分布()0 94B n,.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 5 （I）0.94nP Xn=；（II）2220.940.06;nnP XnC=（III）12111 0.060.940.94nnP XnP XnP Xnn=考点考点 4 三大概型三大概型【1】解析：解析：记取出的黑球个数为Z，则02,02,02,2XYZXYZ+=.232610,05CP XYC=.（注：抽出两个黑球的概率）11232620,15C CP XYC=.（注：抽出一个白球一个黑球的概率）222610,215CP XYC=.（注：抽出两个白球的概率）【2】解析：解析：设,x y表示随机抽取得两个数，则01,01xy.,x y所有可能的取值可以看做边长为 1 的正方形集合，其面积为 1.记事件A为“两个数之差的绝对值小于12”则满足要求的,x y可以表示为1|2xy.如图由几何概型可知，所求概率为21132()14DSP AS=，其中DS表示图中阴影部分面积，S为正方形的面积.【3】解析：解析：不妨假定甲乙分别到达时刻为,x y，则060,060 xy，,x y所有可能的取值可以看做边长为 60 的正方形集合，此时两人能会面即为正方形区域中的部分区域，根据几何概型公式 60 6045 457()60 6016P A=.【4】解析：解析：由题意知，前 3 次试验中 1 次成功 2 次失败，概率必为123(1).C pp 第 4 次是成功的，其概率为p，故12223(1)3(1).C ppppp=答案为 C.15xy一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 6 第 2 章 一维随机变量及其分布 考点考点 1 分布函数与概率密度分布函数与概率密度的性质的性质【1】解析：解析：利用概率密度的性质，0312031()d()d()d24af xxaf xxbfxxb+=+=+，所以234ab+=故选 A【2】解析：解析：【法【法 1】由1()F x与2()F x为分布函数可知12()()F xF x亦是分布函数，又1122()(),()()f xFxfxFx=，所以12()()F xF x可导，且 121221()()()()()()F xF xf x F xfx F x=+，进而知1221()()()()f x F xfx F x+是概率密度，选 D.【法【法 2】1221()()()()0f x F xfx F x+，122112()()()()d()()1f x F xfx F xxF x F x+=,故选答案 D.【3】解析：解析：()()1111111 01 ee22P XFF=故选 C【4】解析：解析：()kP Xkf x dx+=仅当13k时，22()(63).93kP Xkf x dx+=【5】解析：解析：记iX表示第i个元件的无故障工作时间，()1,2,3i=.123,XXX相互独立，()iXE，()1 e,00,itXtFt=其他，()1,2,3i=.T的可能取值为0T，讨论：（i）0t时，()0TFt=，（ii）0t 时，()12311,TFtP T tP TtP Xt Xt Xt=对立事件 1231P Xt P Xt P Xt=相互独立()()()()()()1231111XXXFtFtFt=分布函数表示概率，31 et=分布函数表示概率.综上()31 e,00,0tTtFtt=若若.（注：()3TE）【6】解析：解析：一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 7 ()1e,012e12e,02xxxxf xx=，()()dxF xP Xxf tt=，（注：分段函数的积分变限函数）当0 x 时，11()()de de22xxtxF xf ttt=；当0 x 时，0000111()()de de de d222xxtttF xf ttttt=+=+011ee022ttx=111(1 e)1e.222xx=+=因此X的分布函数为 1e,0,2()11e,0.2xxxF xx=考点考点 2 常见分布常见分布【1】解析：解析：因为随机变量X和Y同分布，所以()()P AP B=，又事件AXa=和BYa=独立，所以()()()P ABP A P B=，()()()()()()2324P ABP AP BP ABP APA=+=，解得()12P A=，()32P A=（舍去）由()1d2aP Xaf xx+=知02a.所以()223233111dd18882aaaf xxxxxa+=，解得34a=.【2】解析：解析：以()1,2,3iXi=表示第i只元件寿命，以()1,2,3iA i=表示事件“在仪器使用最初200小时内，第i只元件损坏”，则 160032001200ede600 xiiP AP Xx+=.所求概率 1123123111 eP A A AP A P AP A=.【3】解析：解析：一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 8 由题设()XE，则21=DX，于是 DXXP11edxP Xx+=11eex+=.或()1111111 eeP XF=.【4】解析：解析：()210,0.02XN，9.95 101010.05 109.9510.050.020.020.02=XPXP 5105555510.987620.0222222XP=.【5】解析：解析：111111112()1XP XP=，22112()1P Y=，由于12|1|1PXP Y，所以12.，故选择答案A.【6】解析：解析：()14114XpP XP=，()()2515111115YpP YP YP=+=+=，所以对任何实数，都有12pp=.选 A.【7】解析：解析：由2(,)XN，又122P XP X=，所以2=，解得2,4=.根据：若2(,)XN，则()()2221e,2xf xx=+.由2(2,4)XN知()()2222 41e,2 4xf xx=+，即()()22321e,4 2xf xx=+.【8】解析：解析：2(2,)XN，其概率密度关于2x=对称，所以20.5P X=，02240.3PXPX=，故()02020.2P xP XPX=.【9】解析：解析：由标准正态分布概率密度函数的对称性知，=uXP，于是 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 9 11 2 P XxP XxP Xx=，即有12P Xx=，可见根据定义有21=ux，故答案应选（C）【10】解析：解析：()3,YBp，其中120112 d24pP Xx x=，所以Y的概率分布为()()3333131,0,1,2,344kkkkkkP YkC ppCk=.【11】解析：解析：(),nVB n p，其中0.100.12 d0.01pP Xx x=，所以nV的概率分布为()()()()10.010.99,0,1,2,n kkn kkkknnP YkC ppCkn=【12】解析：解析：记p为观测值大于3的概率，则3132ln2d8xpP Xx+=Y的可能取值为2,3,3,2,8781)1()1(22211=nnpppCnYPnnn （注：前1n次观测中，“观测值大于3”发生 1 次，第n次观测“观测值大于3”发生.）【13】解析：解析：（I）115 111111848PXP XP X=由X的绝对值不大于 1，则 当1x 时，()0F xP Xx=.当1x时，()1F xP Xx=.当11x时，1,1,11,1PXxP Xx XP XxXP Xx X=+=1,11110P XP XxXP XxX=+1155782816xx+=+=.（注：当1X=时，Xx是必然事件；当1X=时，Xx是不可能事件.）故01,57()11,1611.xxF xxx+=（II）()()()()()7000000016pP XP XP XFFFF=.【14】解析：解析：某人射击次数X的取值为1,2,3,4.()1P Xp=第一次射击射中；()()11P Xp p=第一次射击未中，第二次射击射中；一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 10 ()()221P Xpp=前两次射击未中，第三次射中；()()341P Xp=前三次均未中.注：4X=表示前三次未射中，此时无论第四次是否射中，根据规定，第四次都要射击，所以“前三次未射中”意味着“射击次数为4X=”.考点考点 3 随机变量函数的分布随机变量函数的分布【1】解析：解析：()()333211()11d(1)+=+YyFyP YyPXyP Xyxx()()33111 arctanarctan 1 2+=yxy，故()()263 1()11Yyfyy=+.【2】解析：解析：当0y 时，()0YFy=；当01y 时，2()()YFyP XyPy Xy=00113()ddd424yyXyyfxxxxy=+=；当14y 时，2()()YFyP XyPy Xy=0011111()ddd4242yyXyfxxxxy=+=+；当4y时，()1YFy=.所以3,01,81()(),14,80,YYyyfyFyyy=其他.【3】解析：解析：【法【法 1】不难看出min(,2)YX=，15XE.Y的取值范围为(0,2.(i)当0y 时，()0YFy=；(ii)当2y 时，()1YFy=；（iii）当02y时,()min(,2)F yP YyPXyP Xy=115501()15xyyyXfx dxedxe=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 11 所以1500()10212yYyFyeyy=【法【法 2】不难看出min(,2)YX=，15XE.()min(,2)1min(,2)F yP YyPXyPXy=1,212P XyyP Xy P y=，（i）当2y 时，21P y=，所以()()11XF yP XyFy=，其中()50,0,1 e,02.yXyFyy=（ii）当2y时，20P y=，所以()1F y=.综上1500()10212yYyFyeyy=【4】解析：解析：()min(,2)1min(,2)F yP YyPXyPXy=1,212P XyyP Xy P y=，（i）当2y 时，21P y=，所以()()11XF yP XyFy=，其中()0,0,1 e,02.XyyFyy=（ii）当2y时，20P y=，所以()1F y=.综上00()10212yYyFyeyy=从而()YFy只有一个间断点，故应选（D）.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 12 第 3 章 二维随机变量及其分布 考点考点 1 二维离散型分布二维离散型分布【1】解析：解析：显然0.40.1 1ab+=，可知0.5ab+=.因为事件0=X与1=+YX相互独立，则 101,0=+=+=YXPXPYXXP.因为0,10,1P XXYP XYa=+=，00,00,10.4P XP XYP XYa=+=+，10,11,00.5P XYP XYP XYab+=+=+=，所以有(0.4)0.5aa=+，解得0.4,0.1ab=，故答案应选 B.【2】解析：解析：(),X Y的概率分布为 Y X 1 0 1 0 0 13 0 1 13 0 13 因为221P XY=，所以有222210P XYP XY=,所以0,10,11,00P XYP XYP XY=.利用边缘概率和联合概率的关系得到 10,000,10,13P XYP XP XYP XY=；11,110,13P XYP YP XY=；11,110,13P XYP YP XY=.【3】解析：解析：（I）|(1),0,0,1,2mmn mnP Ym XnC PPmn n=（II）求二维随机变量(,)X Y的概率分布，即求,P Xn Ym=.,|P Xn YmP Ym Xn P Xn=e(1),0,0,1,2!mmn mnnC PPmn nn=.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 13 【4】解析：解析：(,)U V的概率分布为 V U 1 2 1 49 0 2 49 19 ()()()()41,11,1119P UVP XYP XP Y=，()()()42,12,11,29P UVP XYP XY=+=，()()()()12,22,2229P UVP XYP XP Y=，()1,20P UV=.【5】解析：解析：（）10P XZ=表示在没有取到白球的条件下取了一个红球的概率，11122222!1,046103096CCP XZP XZP Z=（）,X Y的可能取值为0,1,2.(,)X Y的概率分布为 Y X 0 1 2 0 14 13 19 1 16 19 0 2 136 0 0 1121222112232211122112211662!3110,0,1,0,64662!1112,0,0,1,636632!11,1,2,10,6910,2,1,20,2,20.9CCP XYP XYCCP XYP XYCCP XYP XYC CP XYP XYP XYC C=不可能事件不可能事件不可能事件 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 14 （注：+2,+2X Y ZX Y=，所以+2X Y 为不可能事件.）【6】解析：解析：X的所有可能取值为0,1，Y的所有可能取值为0,1,2 232610,05CP XYC=，11232620,15C CP XYC=，222610,215CP XYC=，11132611,05C CP XYC=，11122621,115C CP XYC=，1,20P XY=从而(,)X Y的概率分布为 Y X 0 1 2 0 15 25 115 1 15 215 0 考点考点 2 二维二维连续连续型分布型分布【1】解析：解析：X的边缘密度1,01,()0,Xxfx =其他.在()01Xxx=的条件下，Y的条件概率密度10,()0,Y Xyxfy xx =，其他.所以1 01,0(,)()()0,XY Xxyxf x yfy x fxx=，其他.又01,01d d1xy xx yx =，所以1 01,0(,)()()0,XY Xxyxf x yfy x fxx=，其他（II）1112111(,)d ddd1 ln2xxx yP XYf x yx yxyx+=.【2】解析：解析：max,11,111PX YP xYP xP Y=1 13 3=19.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 15 【3】解析：解析：min,PX YxP Xx YxP XxP Yx=独立()()()()()()1111P XxP Yxxx=分布函数表示概率的公式X,Y同分布，选 D.【4】解析：解析：（I）根据概率密度的性质计算(,)d d1f x yx y+=，即()222122dedde221yxyxAyAxA+=，解得12A=.（注：参照积分22221ed1ed22xxxx+=）（II）(,)X Y落在圆222xyr+=内表示222XYr+.所以222212222200e(,)d ddd2rxyrP XYrf x yx y+=222111222200e1e2d21 e222rrr=.【5】解析：解析：(,)X Y的联合密度1,01,|,(,)0,xyxf x y=其他 2,01,d,01,()(,)d0,0,xxXxxyxfxf x yy+=其他.其他,O 1 1 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 16 11d,10,1,10,()(,)dd,01,1,01,0,0,yYyxyyyfyf x yxxyyy+=其他.其他,【6】解析：解析：区域D的面积为221e1111ddd2.exDSxyxx=于是(),X Y的联合概率密度为1,(,),(,)20,x yDf x y=其他.关于x的边缘概率密度为12011d,1e,()()dy220,xXXyxfxfxx+=其他.故 1(2).4Xf=【7】解析：解析：由概率密度的性质，222222()1(,)d ded deed dxxy yxy xf x yx yAx yAx y+=22()eded()xy xAxyxA+=，所以1A=X的边缘概率密度为 222()11()(,)deed()exy xxXfxf x yyyx+=，x +当x +时，条件概率密度 222(,)1()e()xxy yY XXf x yfy xfx+=，y +【8】解析：解析：（I）由条件可知曲线所围成的面积1GS=，所以(,)X Y的联合概率密度为 O 1 2 一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 17 1,(),(,)0,x,yGf x y=其他.当01x时，0()(,)d1dxXfxf x yyyx+=，当12x 时，20()(,)d1d2xXfxf x yyyx+=，X的边缘概率密度为,01,()2,12,0,Xxxfxxx=其它.（II）当01y时，Y的边缘概率密度为2()(,)d1d22yYyfyf x yxxy+=.当01y时，|(|)X Yfx y有意义，此时|1,2,(,)22(|)()0,X YYyxyf x yyfx yfy=其他.【9】解析：解析：（I）1,23,()0,Xxfx=其他.当()23Xxx=时，有|1,3(|)30,Y Xx yfy xx=其他 所以()()|1,23,3,(|)30,XY Xxx yf x yfx fy xx=其他.又23,31d d13xx yx yx=，所以()()|1,23,3,(|)30,XY Xxx yf x yfx fy xx=其他（II）23,2Dyx y=()21ln 3,23,d,23,()(,)d30,0,yYyyxyfyf x yxx+=其他,其他,【10】解析：解析：【详解】（I）01,1Dyy x=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 18 ()1233 d,01,1,01,()(,)d20,0,yYx xyyyfyf x yx+=其他,其他.所以()2|2,01,1(|)()0,X YYxy xf x yyfx yfy=其他.将12y=代入上式得|81,11(|)3220,X Yxxfx=其他.（II）22223331|122211841617(|)dd3223327327X YxxP XYfxxx=考点考点 3 二维正态分布二维正态分布【1】解析：解析：由已知可得)1,0(),1,1(NYNX,且,X Y相互独立，故 0(1)0P XYYPXY=1,01,0P XYP XY=+1 11 111 01 02 22 22P XP YP XP Y=+=+=.【2】解析：解析：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布.因XY和相互独立，且(0,1)XN，(1,1)YN，所以 211(,)XYN u+222(,)XYN u 其中10 1 1EXEY=+=+=，20 11EXEY=所以112P XY+=，112P XY=，选（B）.【3】解析：解析：X和Y相互独立，且()()1,1,0,1XNYN，所以2XY+与2XY亦服从正态分布.又()221,E XYEXEY+=+=()221E XYEXEY=，所以()()221121,21,XYNXYN+，进而知1212P XY+=，1212P XY=.选 B.【4】解析：解析：因为,X Y相互独立且分别服从正态分布,所以ZXY=亦服从正态分布;又2()0,3EZE XYDZDXDY=+=,所以()20,3ZN，一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 19 进而知Z的概率密度函数为2261()e,6zf zz=+.【5】解析：解析：随机变量(,)X Y服从二维正态分布，且0=，所以,X Y相互独立，所以()()(),XYf x yfx fy=，进而知()()()()()()|,(|)XYX YXYYf x yfx fyfx yfxfyfy=相互独立.所以选（A）.考点考点 4 随机变量函数的分布随机变量函数的分布【1】解析：解析：记114223,YX X YX X=则12,XYY=随机变量1Y和2Y相互独立且同分布,其中1Y的可能取值为0,1，1141414111,1110.16,P YP X XP XXP XP X=110110.84P YP Y=.随机变量12XYY=的可能取值为1,0,1.121210,1010.84 0.160.1344,P XP YYP YP Y=121211,0100.1344,P XP YYP YP Y=01110.7312.P XP XP X=所以1234XXXXX=的概率分布为 X 1 0 1 P 0.1344 0.7312 0.1344 【2】解析：解析：【法 1 1】公式法()(),dZfzf zy yy+=，(),01,01,1,01,0,0,zzyyzzyzyf zy y=其他.其他.讨论：（i）0z 时，()0Zfz=；（ii）01z 时，()20dzZfzz yz=；（iii）12z 时，()()11d2Zzfzz yzz=；（iv）2z时，()0Zfz=.综上()22,012,120,Zzzfzzzz=其他.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 20 【法【法 2】根据随机变量函数的概率密度计算方法计算（分布函数法）Z的可能取值为()0,2，讨论：（i）0z时，()0ZFz=；（ii）2z时，()1ZFz=；（iii）01z时()()00(,)d dddzz xZx y zFzP Z zP XYzf x yx yxxyy+=+=+()222333000111111dd222263zzz xxxyzxxzzz=+=.（iv）12z 时()(,)d dZx y zFzP ZzP XYzf x yx y+=+=()()111211111dd1d2z xzz xzxxyyxxy=+=+区域可加性()()()12321211111111d1122262zzxzxxzz=+=+2323411113333zzzz=+=+.所以()3230,01,01311,12331,2ZzzzFzzzzz=+.进而知()22,012,120,Zzzfzzzz=其他.【3】解析：解析：【法【法 1 1】卷积公式 由卷积公式得()()()dZXYfzfzy fyy+=，()1,011,10,0,Xzyzyzfzy=其他.其他.e,0()0,yYyfy=其他.所以()()e,1,00,yXYzyz yfzy fy=其他.讨论：（i）0z时，()0ZFz=；（ii）01z时，()00e de1 ezyyzzZfzy=;（iii）1z时，()111e deeezyyzzzZzzfzy=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 21 所以()11 e,01ee,120,zzzZzfzz=其他【法【法 2】()()()e,01,0,0,yXYxyf x yfx fy=其他.Z的可能取值为()0,+，讨论：（i）0z时，()0ZFz=；（ii）01z时，()(,)d dZx y zFzP ZzP XYzf x yx y+=+=()()00000de dde1 edzz xzzyyz xx zxyxx=0e1 ex zzzzz=+.（iii）1z时，()(,)d dZx y zFzP ZzP XYzf x yx y+=+=()()11100000de dde1 edz xyyz xx zxyxx=1101 e1 eex zzz=+,综上()10,01 e,011 ee,1zZzzzFzzzz=+所以()11 e,01ee,120,zzzZzfzz=其他【4】解析：解析：由题意知，()()2222ee,22xyXYfxxfyy=+=+，由卷积公式得()()()dZXYfzfzy fyy+=，()()()dZXYfzfzy fyy+=，()()22e,2z yXfzyzy=+，即()()22e,2z yXfzyy=+所以()()()()22222222222eeee2222z yz yyyzzy yXYfzy fy+=，回代得()22222224242eeedded222yzzzzyzy yzyZfzyyy+=对配方 22222444eeeed,222 ztyzzzttz=+=+换元参照积分.一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 22 （注：()()()2220422e1e,2 22zzZfz=()0,2ZN.）【5】解析：解析：因为随机变量X与Y相互独立，由卷积公式 1()()()d2ZXYfzfzy fyy+=2222()()1111eded2222z yz yyy =11()d2yzy+=1()()2zz+=.【6】解析：解析：(,)X Y的联合概率密度1,13,13,(,)40,xyf x y=其他 U的可能取值为0,2 讨论：（i）当0u 时，()0F u=;（ii）当2u 时，()1F u=；（iii）02u 时，()(,)d dx yuF uP UuP XYuf x yx y=22114(2)1(2)44uu=.综上20,01()1(2),0241,2uF uuuu=于是随机变量U的概率密度为1(2),02,()20,uup u=其他【7】解析：解析：()max(,)ZFxP Z xPX Yx=，因为,X Y独立同分布，所以()()2()()()()XYZXYFxP Xx P YxFx F xFx=与 同分布.因此答案为 A.【8】解析：解析：()min(,)1min(,)ZFxP ZxPX YxPX Yx=1,P Xx Yx=一笑而过 考研数学2022 考研数学全程班同步作业高分强化 521 新浪微博考研数学周洋鑫 23 因为,X Y独立同分布，所以()()()1111ZFxP XxP YxP XxP Yx=()()()()()()211111XYXYFxFxF x=分布函数表示概率公式与同分布.选 C.【9】解析：解析：()max(,)UFuP UuPX Yu=，因为,X Y独立同分布，所以()()2()()()()XYUXYXF uP Xu P YuFu F uFu=与 同分布.所以U的概率密度()2()()UXXfuFufu=.其中1 e,0e,0(),()0,00,0uuXXuuFufuuu=，所以()e1 e,0()0,0uuUufuu=.【10】解析：解析：(),1,2G uP XY uP XY u XP XY u X=+=+=+=1,12,2P Y uXP Y uX=+=,1 12 2X YP YuP XP YuP X=+=相互独立()()0.310.72