2020年考研数学三真题.pdf

2020 年数三真题一、选择题(1)设 limxaf(x)axa=b，则 limxasinf(x)sinaxa=()(A)bsina.(B)bcosa.(C)bsinf(a).(D)bcosf(a).(2)函数 f(x)=e1x1ln|1+x|(ex1)(x2)的第二类间断点的个数为()(A)1 个.(B)2 个.(C)3 个.(D)4 个.(3)设奇函数 f(x)在(,+)上具有连续导数，则()(A)x0cosf(t)+f(t)dt 是奇函数.(B)x0cosf(t)+f(t)dt 是偶函数.(C)x0cosf(t)+f(t)dt 是奇函数.(D)x0cosf(t)+f(t)dt 是偶函数.(4)设幂级数n=1nan(x 2)n的收敛区间为(2,6)，则n=1an(x+1)2n的收敛区间为()(A)(2,6).(B)(3,1).(C)(5,3).(D)(17,15).(5)设 4 阶矩阵 A=(aij)不可逆，a12的代数余子式 A12=0，1，2，3，4为矩阵 A 的列向量组，A为 A 的伴随矩阵，则方程组 Ax=0 的通解为()(A)x=k11+k22+k33，其中 k1，k2，k3为任意常数.(B)x=k11+k22+k34，其中 k1，k2，k3为任意常数.(C)x=k11+k23+k34，其中 k1，k2，k3为任意常数.(D)x=k12+k23+k34，其中 k1，k2，k3为任意常数.(6)设 A 为 3 阶矩阵，1，2为 A 的属于特征值 1 的线性无关的特征向量，3为 A 的属于特征值1 的特征向量，则满足 P1AP=100010001的可逆矩阵 P 可为()(A)(1+3,2,3).(B)(1+2,2,3).(C)(1+3,3,2).(D)(1+2,3,2).(7)设 A，B，C 为三个随机事件，且 P(A)=P(B)=P(C)=14，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=112，则 A，B，C 中恰有一个事件发生的概率为()(A)34.(B)23.(C)12.(D)512.(8)设随机变量(X,Y)服从二维正态分布 N(0,0;1,4;12)，则下列随机变量中服从标准正态分布且与X 独立的是()(A)55(X+Y).(B)55(X Y).(C)33(X+Y).(D)33(X Y).1关注公众号【考研题库】保存更多高清资料二、填空题(9)设 z=arctanxy+sin(x+y)，则 dz|(0,)=.(10)曲线 x+y+e2xy=0 在(0,1)处的切线方程为.(11)设某厂家某产品的产量为 Q，成本 C(Q)=100+13Q，设产品的单价为 P，需求量 Q(P)=800P+3 2，则该厂家获得最大利润时的产量为.(12)设平面区域 D=(x,y)x2 y 11+x2,0 x 1，则 D 绕 y 轴旋转所成的旋转体的体积为.(13)行列式a0110a1111a0110a=.(14)设随机变量 X 的概率分布为 PX=k=12k,k=1,2,3,，Y 表示 X 被 3 除的余数，则E(Y)=.三、解答题(15)已知 a，b 为常数，若(1+1n)n e 与bna在 n +时是等价无穷小，求 a，b.(16)求函数 f(x,y)=x3+8y3 xy 的极值.(17)设函数 y=f(x)满足 y+2y+5y=0，f(0)=1，f(0)=1.(I)求 f(x)的表达式.(II)设 an=+nf(x)dx，求n=1an.(18)设 D=(x,y)|x2+y2 1,y 0，连续函数 f(x,y)满足 f(x,y)=y1 x2+xDf(x,y)dxdy，求Dxf(x,y)dxdy.(19)设函数 f(x)在区间 0,2 上具有连续导数，f(0)=f(2)=0，M=maxx0,2|f(x)|.证明：(I)存在 (0,2)，使|f()|M.(II)若对任意 x (0,2)，|f()|M，则 M=0.(20)设二次型 f(x1,x2)=x21 4x1x2+4x22经过正交变换(x1x2)=Q(y1y2)化为二次型 g(y1,y2)=ay21+4y1y2+by22，其中 a b.(I)求 a，b 的值.(II)求正交矩阵 Q.(21)设 A 为 2 阶矩阵，P=(,A)，其中 是非零向量且不是 A 的特征向量.(I)证明 P 为可逆矩阵.(II)若 A2+A 6=0，求 P1AP，并判断 A 是否相似于对角矩阵.(22)设二维随机变量(X,Y)在区域 D=(x,y)|0 y 0,0,X Y 0.Z2=1,X+Y 0,0,X+Y 0.(I)求二维随机变量(Z1,Z2)的概率分布.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料(II)求 Z1与 Z2的相关系数.(23)设某种元件的使用寿命 T 的分布函数为F(t)=1 e(t)m,t 0,0,其他.其中，m 为参数且均大于零.(I)求概率 PT t 与 PT s+t|T s，其中 s 0，t 0.(II)任取 n 个这种元件做寿命试验，测得它们的寿命分别为 t1，t2，tn，若 m 已知，求 的最大似然估计值.关注公众号【考研题库】保存更多高清资料